2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(

)A.1a<1b B.ac22.已知函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象为连续不断的一条曲线，则“f(a)⋅f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知三棱锥P−ABC的顶点都在半径为53的球面上，AB=1，BC=3，AC=2，则三棱锥P−ABC体积的最大值为A.32 B.1 C.34.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若∀x1、x2∈[0,+∞)且x1≠x2时，f(x1A.[−2,1] B.[0,1] C.[0,2] D.[−2,2]二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={0,2,4}，B=(0,+∞)，则A∩B=______．6.直线x+y−1=0的倾斜角为______．7.已知z∈C，若z⋅i=1−2i(i为虚数单位)，则|z|=______．8.(x−1)10的展开式中x9的系数为______.(9.已知cosα=35，α是第四象限角，则tanα=______．10.已知f(x)=1−e−x,x>0,ex+m,x<0,若定义在(−∞,0)∪(0,+∞)11.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为

．12.数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为______．13.若向量a，b满足(a+b)⋅b=7，且|a|=14.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有______种．(用数字作答)15.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8，记bm为{an}16.设点P(x1,y1)在椭圆x28+三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题15分)

在△ABC中，a=5，b=6．

(1)若cosB=−45，求A和△ABC外接圆半径R的值；

(2)若△ABC的面积S=15718.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)设AB=2，若四棱锥P−ABCD的体积为83，求点A到平面PBD的距离．19.(本小题15分)

流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1(9≤k≤29,k∈N∗)日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．

(1)若k=9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．20.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，点(−1,22)在椭圆C上，过点F作一直线交椭圆于P、Q两点，且坐标原点O关于点F的对称点记为T．

(1)求椭圆的方程；

(2)求△PQT面积的最大值；

(3)设点21.(本小题18分)

定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系．

(1)判断函数f(x)=log2(8x2)和g(x)=log12x是否具有C关系；

(2)若函数f(x)=ax−1和g(x)=−x−1不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若定义域都为区间参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.{2,4}

6.3π47.58.−10

9.−43

10.−1

11.(8+812.5.5

13.π614.90

15.(n−2)⋅16.2

17.解(1)∵cosB=−45，B∈(0,π)，

∴sinB=1−cos2B=35，

在△ABC中，由正弦定理，得asinA=bsinB=2R，即5sinA=635=2R，

∴sinA=12，R=5，

∵a<b，又A∈(0,π2)，

∴A=π6，R=5；

(2)由S△ABC18.(1)证明：因为底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因为AC∩PA=A，AC、PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

(2)解：因为四棱锥P−ABCD的体积为83，

所以13⋅PA⋅S正方形ABCD=83，即13×PA×2×2=83，

所以PA=2，

由勾股定理知，PB=PD=BD=22，

所以△PBD是等边三角形，其面积为S△PBD=12×22×22×sin19.解：(1)记11月n日新感染者人数为an(1≤n≤30)，则数列{an}(1≤n≤9)是等差数列，

a1=20，公差为50，又a10=410，

则11月1日至11月10日新感染者总人数为(a1+a2+…+a9)+a10=(9×30+9×82×50)+410=2480人；

(2)记11月n日新感染者人数为an(1≤n≤30)，

11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an=50n−20，

当k+1≤n≤30时，an=(50k−20)−20(n−k)=−20n+70k−20，

因为这30天内的新感染者总人数为11940人，

20.解：(1)根据题意可得a2−b2=11a2+12b2=1，解得a2=2，b2=1，

所以椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)由题可得原点O关于点F的对称点T的坐标为(2,0)，

设过点F的直线l的方程为x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

所以x22+y2=1x=my+1，得(m2+2)y2+2my−1=0，

其中△=4m²+4(m²+2)=8m2+8>0，y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，

则|y1−21.解：(1)由已知得log2(8x2)=−log12xx>0，化简得log2x=−3，

解得x=18，故此时函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系；

(2)由已知得ax−1=x+1在[1,+∞)上无解，

x=1显然不满足上式，故a=x+1x−1=x−1+2x−1≥2x−1⋅2x−1=22(当且仅当x=3时取等号)，

故a<22时，原方程无解，即函数y=f(x)和y=g(x)不具有C关系，

即所求a的范围是(−∞,22)；

(3)由