20个专题+100道压轴题及解析

20个专题+100道压轴题及解析

目录

1.二次函数典型题...................................................2

2.复合函数典型题..................................................4

3.创新型函数.......................................................6

4.抽象函数典型题..................................................11

6.函数的应用典型题...............................................21

7.函数与数列综合典型题...........................................23

8.数列的概念与性质典型题.........................................34

9.Sn与an的关系典型题...........................................40

10.创新型数列....................................................43

11.数列一不等式..................................................45

12.数列与解析几何................................................48

14.双曲线典型题..................................................54

15.抛物线典型题..................................................57

16.解析几何中的参数范围问题.....................................59

17.解析几何中的最值问题..........................................66

18.解析几何中的定值问题..........................................69

19.解析几何与向量典型题..........................................72

20.探索问题.......................................................80

22.100道压轴题详解......................................125-210页

1.二次函数

1.对于函数/0)=加+3+1)%+0-2(awO),若存在实数尤0,使/(/)=%成立,则

称小为的不动点.

(1)当。=2,》=-2时，求/(x)的不动点；

(2)若对于任何实数口函数八幻恒有两个相异的不动点，求实数。的取值

范围；

(3)在⑵的条件下，若y=/a)的图象上45两点的横坐标是函数/(%)的不动

点，且直线>="+看是线段"的垂直平分线，求实数。的取值范围.

分析:本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力，

函数与方程思想

解：/(x)=ax2+(h+V)x+b—2(a，0),

(1)当。=2,》=-2时，/(X)=2X2-X-4.

设了为其不动点，即2/-x-4=x,则2X2—2XY=0.所以可=-1,/=2,即的不

动点是T2.

(2)由/(%)=工得加+hx+)-2=0.

由已知，此方程有相异二实根，所以&=/_4吐2)>0,即十一①+&>0对任意

恒成立.

<0,「.16〃—32。<0,「.()v。<2.

(3)设A(X,，X),B(W，M),直线y=b+五匕是线段AB的垂直平分线，.•.4=-1.

记AB的中点MA，/),由⑵知/=-丁.ax2+bx+b-2=Q,:.x+x=-一

2al2a

M人y=k,x-\---1--卜L,..--b-.b.1-l--

12a2+\2a2a2a2、+-\

/一a一1、1一枝后

化简得：以一五彳1=一力2一1广=彳，当”4时，等号成立.

4口TZ./Z6Z•-2

2

gp6--,+00

44J

例2已知函数/(%)=奴?+4x-2,若对任意多,”R且x产乙,都有

/内+犬2)<〃西)+/(々)

I2)2

(I)求实数。的取值范围；

(II)对于给定的实数。，有一个最小的负数"(a),使得x«M(a),0]时，

TW/(x)W4都成立，则当。为何值时，/⑷最小，并求出“⑷的最小值.

([)••/x+x2)/(玉)+/(*2)+b%+c+ax2+/?%2+c

X

=~-(Xl-2)'<0,

•・・x尸马,，。>0.，实数。的取值范围为(。，”).

(II)Vf^=cvc2+4x-2=a(x+^\-2--,显然/(o)=-2,对称轴x=-2<o。

\aJa。

(1)当_2_/<-4,即()<av2时，M(6?),且/[M(叫=-4.

令江+4x-2=-4,解得x=—2±6^,

a

此时火。)取较大的根，即M(a)=±H巨=.「：.,V0<«<2,

a。4-2。+2

-2—>-1

')2*

(2)当-2-3-4,即a22时，且/[M(a)]=4.

令江+4X_2=4,解得x=-2±V^,此时〃⑷取较小的根，即

a

知⑷=-2一^^-6

,4+6〃+2，

V«>2,・,.♦.)=j4+：_2—当且仅当。=2时，取等号.

3

V-3<-l,.•.当"2时，"(a)取得最小值一3.

2复合函数

1.已知函数“X)满足"log〃x)=其中"0,且"1。

2

(1)对于函数/(%),当XG(T1)时，/(l-,W)+/(l-m)<0,求实数m的取值范

围；

(2)当XG(Y°，2)时，〃%)-4的取值范围恰为(YO,0),求a的取值范围。

解：/(logx)=^--(x-x_1)(a>0^a*l)

uCl—1

设r=log“x,则x="，=-a")：.f(x)=^-(ax-a-x)

a-1a-1

当ae(0,l)时，-A-<0,J「T/.V=/⑴在其定义域上T

a—1

当aG(l,+s)时，-A->0,优3a-7/.y=/(x)在其定义域上T

a—1

V"0且"1,都有y=/(x)为其定义域上的增函数

又=-优)=-/(x)为奇函数

a—1

(1)当xw(—U)时,f(l-m)+f(l-m2)<0：./(I-m)<-/(I-m2)-f(m2-1)

<-l<m2-l<l=>l<m<V2

l-m<m2-1

(2)当Xe(-00,2)时，・・•F(x)=/(%)-4在(-00,2)上T,且值域为(-8,0)

尸(2)=/(2)-4=0

/,储—y)=4——=44+1=4〃a=2±V3

292

a--1a-a-1a

例2.函数f(x)是尸高-1(XGR)的反函数，g(x)的图象与函数产片的

1U+1X—I

图象关于直线y=x-i成轴对称图形，记尸(x)=/(x)+g(%)。

(1)求尸(6的解析式及其定义域；(2)试问厂(%)的图象上是否存在两个不

4

同的点A、B,使直线AB恰好与)，轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若

不存在，说明理由。

解.(1)y=———110'+1=-^-10'=3x=lg4，

师，'—>]0，+]>+11h+y

/(x)=lg—^(-Kx<l)

1+x

•・•g(x)的图象与>=宁的图象关于直线y=成轴对称图形

g(x)+i的图象与八七千+1==的图象关于直线y=x对称

X—IX—1

a_9r

即：g(x)+l是"——^的反函数xy-y=3-2x

X-I

/、1x+3I

(y+2)x=y+3g⑴g(j)=

y+2x+2

1-Y1

F(x)=/(x)+g(x)=lg-——+——-(-1<X<1)

1+xx+2

(2)假设在A©的图象上存在不同的两点A、B使得加口轴，即去eR使得

方程怛：£+:7=，有两不等实根

-

1"I人人I乙

设"F=-i+三，则，在(一1，1)上,且‘>。

1IXXIL

••・尤=匕，L=T«,*丸eR使得方程lgr+^=c有两不等正根

XII.A/ILIIIJ

Z4~12

\gt=c--------=(c-l)+-------

r+3f+3

…2

设〃(r)=lg(/),/Q)=(c-l)+y^

9

由函数图象可知：Vee/?,方程lgf=(c-l)+不仅有唯一正根二.不存在点A、

B符合题意。

3.设aeR且"0'e为自然对数的底数，函数f(X)=ex-x-\,g(x)=^x2ex.

(1)求证:当时，。他8(%)对一切非负实数X恒成立;

5

(2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a有关的正常数与,使

得/®)>g(x。)成立？如果存在，求出一个符合条件的与；否则说明理由.

分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用

所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法

解：(1)当。0时,/(%)«8(>)01《京2+与'令心)=。2+二1=力，(幻=了(“一_L)

-2e,2ee

v«>l,x>0h'(x)>O,=>〃(x)在［0,+oo)上单调递增，

〃(x)>〃(O)=1=>f(x)<g(x)

1<0

(2)/Uo)>g(xo)=>y%o+^V^-(1),

乙e

需求一个飞,使(1)成立，只要求出心)=犷+燮-1的最小值，满足心濡<。,

•・•，(%)=%(。一上)在(0,-lnQ)上|

ex

(—lna,+8)JL|,，(尤)mE=，(—Ina)=耳In~。+。(―In。+1)—1

只需证明■|1112。+。(111。+1)-1<0在。6(0,1)内成立即可，

令0(a)=^ln2a+a(-lna+l)-l=>(p\d)=g(ln2a)>On(p(a)

为增函数=>9(。)<夕⑴=0。+〃(一Ina+1)-1<0,

••.Q(x))min<。，故存在与a有关的正常数x°=Tna(O<a<l)使⑴成立。

3.创新型函数

1.在R上定义运算软23夕=-：(。-。(4-》)+4加(13、。为实常数)。记工(%)=/2-2°,

力(％)=%-»,令/(%)=/(%)位4(%).

(I)如果函数"0在力=1处有极值试确定b、C的值；

(II)求曲线上斜率为C的切线与该曲线的公共点；

(III)记g(x)=|/(x)|(-IKXWI)的最大值为”.若M2%对任意的b、C恒成立，

6

试示k的最大值。

2322

解：*•*/(x)=f](x)0(x)=-^(x—3c)(x-3Z?)+4Z?c=-^-x+bx-\-cx+bc/./'(x)=—x+2/zx+c

(i)由/(X)在处有极值q,可得

[r⑴=-i+2b+c=orr

/⑴，+…」，解得二阈二3

Iv733i

若力=l，c=-l,则/3=-胃+2x-l=-(x-l)Y0,此时〃x)没有极值;

若人=—1,c=3,贝ljr(x)=-f-2x+3=-(x-l)(x+3)o

当》变化时，"H、/'a)的变化情况如下表：

XS-3)-3(-3,1)1(L+oo)

/'(X)—0+0—

单调递极小值单调递极大值

/(■X)

_4单调递减

减-12增-3

・•.当x=l是，”力有极大值4,故匕=-1，c=3即为所求。

(II)设曲线y=/(x)在4=£处的切线的斜率为C,

222

,/f'(x)=-x+2bx+c,-t+2bt+c=c,t-2bt=Q0解得，=。或，=2力。

若"0,则/(。)=从，得切点为(。,秘)，切线方程为V=M+反；

若f=2b,则/(2匕)=产+3儿，得切点为(2"y+3从j,切线方程为y=cx+bc+>3。

—x3+hx2+cx+bc=cx+hcox3-3bx2=0解得％=%2=0,x=3b,

若-33

则此时切线y=cx+A与曲线y=/(x)的公共点为(o,bc),(36,4)c)；

(2)若-^x3+bx2+cx+bc-cx+hc+^b3=x3—3bx2+4b3=0,

解得玉=工2=»,鼻=-6,此时切线y=cx+A+g/与曲线y=/(》的公共点为

(2"[人3+3bc),卜包齐)。

综合可知，当。=。时,斜率为C的切线与曲线y=〃x)有且只有一个公共点(。，。)；

7

当。H。，斜率为C的切线与曲线尸〃x)有两个不同的公共点，分别为(。氏)和

(344历)或(2若工，+3可，,包齐)。

(Hi)g(x)=|r(x)|=--片+〃+c

⑴当网>1时,函数y=/'(x)的对称轴X=b位于区间T1]外，f(x)在上的最

值在两端点处取得，故知应是g(T)和g⑴中较大的一个。

2M><g(l)+^(-l)=|-l+2Z?+c|+|-l-2Z?+c|>|4^|>4,即：.M>2

⑵当网41时,函数y=/'(x)得对称轴X=b位于区间TH之内

此时M=max{g(—l),g6,gS)}

由r⑴-八-1)=劭,前Q)-r(±i)=smi)2>0

若-1W"W0,则P⑴<f(-l)<P(b),g(-l)<max{g(-1),g(b)}

于是M=max{|r(-i)|,，s)|}z；(|/3|+|r3)|"g(|/F)iTrs)|)=gs-i)2

若04/41,则£(-l)4£a)WfQ>L,/.g(1)<max{^(-l),g(b))

于是M=max{|r(-ws)|}弓(/(-1)|+/s)|)(帅=gs+ly>；

综上，对任意的b、c都有MN；

而当，匕=0，c=g时，g(无)=-Y+；在区间[―1,1]上的最大值”=；

故MNK对任意的b,C恒成立的k的最大值为go

1

例2.设函数/(》)=一]:昼了-(x>。),其中㈤表示不超过》的最大整数，如

口+㈤+[”

[2]=2,[1]=0,[1.8]=1,

(I)求吗)的值;

(II)若在区间23)上存在X,使得k成立,求实数k的取值范围；

(III)求函数/⑴的值域.

8

32

-+-

13

解：(1)因为切=1舟=。,所以吟=23

3232

乙3乙[-]•[-]+[-]+[-]+112

2323

(II)因为"x<3,所以㈤=2,4=0,

则/(x)=*+g).求导得广@)=；。-5),当2。<3时，显然有((x)>0,

所以/⑴在区间12,3)上递增，即可得小)在区间[2,3)上的值域为它学,

在区间⑵3)上存在X,使得〃x)必成立,所以

(III)由于小)的表达式关于x与:对称,且X>0,不妨设X>1.

当x=l时，5=1,则”1)=3;当x>l时，设x=n+a,neN*,0<«<l.

n+a+

则[x]=n,[]=o,所以f^=f(n+a)=n+a.

设g(x)=x+J,g(x)=l-p->0,

g(x)在[1,+8)上是增函数,又〃v〃+a<”+l,.•.〃+：4"+a+/^<”+l+£,

1

n+—〃+1।H----1--、

当XW2时,/(X)G--------3•=/„(neN*,w>2

n+\n+\'

当xe(l,2)时，/(x)e(l,$=《故xeQ+oo)时，/⑴的值域为HUIZU-UInU—

.i

b„=--------^±l=i+-则/“=&，N).

n—2

n〃(〃+l)(〃+2)，.,•当n>2时，a2=a3<a4<・・・<an<…

又bn单调递减，b2>b3>->bn>-a2,b2)=12Ml3M14MInM

L=[q，瓦)=1,I2=[a2,b2)=I，

...IlUI2U-UInU-=IlUI2=,弓]，=

综上所述,小)的值域为卅昌(!

例3.我们用minki，和max、.,…,s”｝分别表示实数si，…,L中的最小

者和最大者.

(1)设/(x)=min{sinx,8sx},g(x)=max{sinx,cosx},xe[0,2万],函数/(幻的值域为

9

A,函数g*)的值域为B,求AC8；

(2)提出下面的问题：设外,%,…，%为实数，KWR,求函数

/(%)=«1\x-xy\+a1\x-x2\+---+an\x-xn\

(为<々<-.<七,€/?)的最小值或最大值.为了方便探究，遵循从特殊到一般

的原则，先解决两个特例：求函数f(x)=\x+2\+3\x+l\-\x-U和

g(x)=|x+l|~4|x-l|+2|x-2|的最值。得出的结论是：［/(x)］min=min(r(-2),/(-l),/(l)},

且/(x)无最大值；［g(x)lw=maxk(-l),g⑴,g⑵},且g(x)无最小值.请选择两个学

生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；

(3)试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明(如

果结论是分类的，请选择一种情况加以证明).

解：(1)A=-1，与，B=一争，.・.AQB=一冬日.

(2)若选择学生甲的结论，则说明如下，

-3x-6,xW-2

—x—2—2<Yv—1

〃幻=，于是/⑶在区间(-8,-2］上是减函数，在［-2,-1］上是

DA+4,1<X-：1

3x+6,x>1

减函数，在上是增函数，在口，+8)上是增函数，所以函数的最小值是

min{/(-2),/(-1),/(1)},且函数/⑴没有最大值.

若选择学生乙的结论，则说明如下，

x—1,—1

g⑺」‘于是在区间(一夕t上是增函数,在Tn上是

一5x+9,l<xW2

-x+1,x>2

增函数，在口⑵上是减函数，在2+8)上是减函数.所以函数g(x)的最大值是

max{g(-l),g⑴,g(2)},且函数g(x)没有最

小值.

10

(3)结论：

若q+/+•••+%>。，贝！)"(xXLin=min{/(Xi)J(%2),…J®)}；

若q+a2+---+a„>0,则"(%)小=max),/(x2),•••,/(x„)}；

若q+%+…+a“=0,则"(Xin=min{/(X1)J(X2),--J(x“)},

"⑼一=max{/(X),A/),•••,/(%)}

以第一个结论为例证明如下：

■:q+w+…>0,:.当xe(-8,x/时，

/(幻=一(弓+a2+…+a“)x+(qX]+a2x2+…+a“x”)，是减函数，

当xe[x“,+oo)时，f(x)=(ai+a2+--+an)x-(alxi+a2x2+---+a„xn),是增函数

当时,函数/(X)的图像是以点(XJ(XJ),(%"a))，…，(ZJ(Z))为端点

的一系列互相连接的折线所组成，

所以有"(x)]min=min{/,(%)),/(x2),•••,/(%„)}.

4.抽象函数

1.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l对称，对任意XI、

X2E[0,；]，都有f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),且f(l)=a>0.

⑴求f(；)、包:)；(2)证明£6)是周期函数；(3)记2吁乳11+1),求无。叫).

解：⑴因为对xl,x2E[0,”，都有f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),所以

f(x)=/(^+^)=/(^)^0,xe[0,1]

又因为f(l)=f(；+；)=f(；)f(l)=f(il)=f(l)・f())二

44444L*■+*T*T*■

Lf(!)]2

又f(l)=a>0.*.f(|)=ai,f(；)=a：

证明：⑵依题意设y=f(x)关于直线x=l对称，故f(x)=f(l+l—x),即

f(x)=f(2—x),x£R.

11

又由f(x)是偶函数知f(―x)=f(x),xeRAf(-X)=f(2—x),xeR.

将上式中一x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数，且

2是它的一个周期.

解：⑶由⑴知f(x)20,x£[0,1]

Vf(1)=f(n•；)=f(；+(n—1)(；)•f((n—1)•；)

22n2n2n2n2n

........=f(；)•f(；)f(；)二[f(y-)]=ai,.•・f(；)=a].

2n2n...2n2〃2n

又・・丫6)的一个周期是2

.•・£(211+；)=£(4),因止匕an=a五，/•lim(ln«„)=lim(7^_ln^)=0-

2n2n“一>8/I—>002n

例2.定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有/(加+/=/(㈤/㈤,

且当x>0时，0<f(x)<lo

(1)判断f(x)的单调性；(2)设

B=((x,y)\f(ax-y+42)=laeR),若AuB为空集,试确定a的取值范围。

解：(1)在=㈤中，令加=1,间=o,得/(1)=/(1)〃0),因为八1)。0,

所以40)=1。

在/(冽+%)=」(»-/(%)中,令加=x,n=-x

因为当x>0时,0</(%)<1,所以当x<0时-x>0,

而/―,所以〃加看>1>0

又当X=0时，/(0)=1>0,所以，综上可知，对于任意XCR,均有1/(x)>0。

设一8<勺<心<+00,贝1」心一芥1>0，0</(小_$)<1

所以〃心)=加1+(M一()]=/(X1)-/(x2-X1)</(X1)

所以丁=/。)在R上为减函数。

(2)由于函数y=f(x)在R上为减函数,所以〃马加2)=a2+外>加)

即有又fQx-y+贬)=1=/⑼,根据函数的单调性，有数-行也=0

12

由AuB=°,所以直线ax-1y+也=0与圆面x2+j?<1无公共点。因此有

解得-14a41。

5.导函数一一不等式

1.已知函数./Xx)=e*-6，xeR

(I)若ge,试确定函数/(x)的单调区间；

(H)若左>0,且对于任意xeR,/(W)>。恒成立，试确定实数*的取值范围;

(III)设函数尸(幻=/(幻+/(-X),求证：F(1)F(2)F(n)>(en+l+2)2(neN*)-

分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考

查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学

思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。

解：(I)由％=6得/(》)=^-秋，所以r(x)=e，-e.

由小龙)>0得x>\,故f(x)的单调递增区间是(1，+8),

由尸(幻<0得X<1,故/3的单调递减区间是(-8,1).

(II)由/(H)=/(W)可知/(N)是偶函数.

于是/(IXA对任意XGR成立等价于/(幻>。对任意Q0成立.由

/'(x)=e'_%=0得x=lnk.

①当0(0,1］时，r(x)=e'—左>1-心0(x>0).此时/(x)在。+8)上单调递增.

故f(x)N/(0)=l>0,符合题意.

②当履(1,+8)时，ln%〉().当了变化时广⑴，/(幻的变化情况如下表：

X（O,lnQInk（In匕+8）

/'(X)—0+

/(X)单调递减极小值单调递增

13

由此可得，在[。，+8)上，f(x)^f(\nk)=k-k\nk.

依题意，左-左如左>0,又左>l,.i<Ae<.综合①，②得，实数攵的取值范围是0<攵<e.

(Ill)F(x)=f(x)+f(-x)=e'+/,

X+Xr+xA,+X2

•1•F(xi)F(x2)=QI2+6一但+*2)+e再一处+已一司"2>e-i2+e-(^+^2)4.2>e+2,

.•.F(l)F(/i)>en+1+2,

F(2)F(»-l)>e,,+l+2

F(»)F(l)>e,,+'+2.

由此得,[F(1)F(2)尸(明2=[F(1)产(0[尸⑵尸[F(n)F(l)]>(en+1+2)n

故尸⑴尸⑵F(n)>(efl+1+2)2,neN,«

/20

2.设./1(>)=§,对任意实数，，记g,(x)=#x-

(I)求函数y=/(x)-g8(x)的单调区间；(II)求证:(i)当x>o时，f(x)>gt(x)

对任意正实数，成立；

(ii)有且仅有一个正实数不，使得&5)2&(/)对于任意正实数「成立。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知

识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)

思想方法

(I)解：J=y-4x+y.

由丁'=父-4=0,得％=±2.因为当xe(-oo,-2)时，/>0,

当xe(—2,2)时，/<0,当xe(2,+8)时，/>0,

故所求函数的单调递增区间是(-，-2),(2,+8),单调递减区间是(-2,2).

(II)证明：(i)方法一：

人工3232t-i।2

h(x)^f(x)-gl(x)=--tx+-t(x>0),则/(幻=/_八，

14

当，>0时，由〃'(x)=0,得x=j,当xe(x；+8)时，〃'。)>。，

所以〃3在(0，+8)内的最小值是/)=().故当x>0时，/(x)2g,(x)对任意正实数

，成立.

方法二：

、229-1-

对任意固定的x>0,令恤)=&(犬)=户》-,">0),则/⑺=丁(-为，

由“Q)=0,得/=/.当0々<丁时，"⑺>0；当时，“《)<0,

所以当好/时，〃⑺取得最大值力，)=#.因此当x>0时，/(x)》g(x)对任意正

实数》成立.

(ii)方法一：

/(2)=|=g,(2).由⑴得，获2)》当⑵对任意正实数f成立.

即存在正实数%=2,使得心⑵三以⑵对任意正实数r成立.

下面证明天的唯一性：

当"2,%>0,f=8时，/(%)=，，g,(%)=4xo-与，

由⑴得，¥>4/当，再取r=x°3,得g,35)=子，

所以&(/)=4f-与<卑=8媪(/)，即"2时，不满足g.r(Xo)Ng,(Xo)对任意/>。都成

立.

故有且仅有一个正实数与=2,使得心(%)0，&(%)对任意正实数/成立.

方法二：对任意与>0,8式/)=4%-4，

因为g，(x°)关于，的最大值是1。3,所以要使&(%)三.(%。)对任意正实数成立的充

分必要条件是：

4x(j,即(X0-2)2(%+4)W0,①

又因为小〉。，不等式①成立的充分必要条件是%=2,所以有且仅有一个正实

15

数玉=2,

使得g,5)，£5)对任意正实数,成立.

3.定义函数fn(x)=(l+x)n—1,x>—2,n£N*

(1)求证：fn(x)2nx；

(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)—f2(x)

在区间[a,0]上的值域为[ka,0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区

间[a,0],若不存在，说明理由.

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知

识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思

想方法

解：⑴证明：fn(x)—nx=(l+x)n—1—nx,

令8(x)=(l+x)n—1—nx,则g'(x)=n[(l+x)n—1—1].

当x6(—2,0)时，g(x)V0,当x£(0,+°°)时，g(x)>0,

Ag(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数，

则g(0)也是最小值..••g(x)20,即fn(x)2nx(当且仅当x=0

时取等号).

注：亦可用数学归纳法证明.

(2)Vh(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2:.h'(x)=(l+x)2+x,2(1

+x)=(1+x)(l+3x)

1

令h'(x)=0,得x=-1或x=—

A1

当

z当

Xe/-2IXel

k•X—

z—1,一§)时,

h'(x)<0；

16

x

当x£(―3,+8)时，h5(x)>0.

故作出h（x）的草图如图所示，讨论如下:

14

①当一3WaV0时,h(x)最小值h(a)=ka.*.k=(l+a)2^g

411_4_3

②当一§时h(x)最小值h(a)=h(—§)=—^=ka^=27a

14

414

③当a=一可时h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)2，§,a=—3

时取等号.

14

综上讨论可知k的最小值为此时[a,0]=[—30].

例4.已知/（幻=累（》€尺）在区间[TH上是增函数。

（1）求实数。的值组成的集合A；

（2）设关于x的方程/（力=；的两个非零实根为匹、x试问：是否揭"，使

.12o

得不等式加+的+12|玉-々1对VaeA及，恒成立？若存在，求机的取值范围；

若不存在，请说明理由。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知

识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归（转

化)思想方法

解：⑴:/(%)=学《(i)

・，，/、。)•

2(r+2)；—(2x；—2x2(x~—ax—2)

••7(%)=-------4-+-2--)-2------=-----(尤-2z-+-2->z-

/(幻在[-1,1]上T.・./'(X)=2°对v"e[T1]恒成立

即VxG[-1,1],恒有-—ox-240成立

17

g(-l)=«—1<0:.-\<a<\

设g(x)—x2—ax—2

g(i)=-a-l<0/.A=[-1,1]

2x-a

(2)/U)x~-ax—2=0

x2+2x

△=。2+8>0阳、9是方程一_"_2=0的两不等实根，且%)4-x2=a,

x}x2=—2

2

.*.|x,-x2|=+x2)-4X,X2=J/+8e[2A/2,3]

加+加i+i4X]一期|对Va€A及fG[T』恒成立

m2+51+1N3对V，恒成立

hQ)=/n•，+(m2—2),tG[—1,1]

.・.他"0对VfG[-1,1]恒成立

=m2-m-2>0m<-1或机>2

=><

h(l)=m2+m-2>0m<-2或根>1

:.3me(-00,-2]32,+oo)满足题意

5.已知函数/(x)=ln(e*+a)(a>0)。

(1)求函数丁=/(X)的反函数V="'(%)和/(X)的导函数f'M.

(2)假设对Vxe[ln(3a)/n(4a)],不等式|加-尸(x)|+ln(1(x))<0成立，求实数加的取

值范围。

分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明

等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.化归(转化)

思想方法

解：(1)y=ln(/+a)ex+a=eyex=ey-ax=ln(ey-a)

・・・尸(x)=ln(e*~)...y=ln("+a)Af1^-

(2)V^e[ln0a),ln(4«)],|吁尸(x)|+ln(f(x))<0成立

•ex,e"+a

•\|m-\n(ex-a)|<-In-----In-----

e'+aex

18

丁•—[\n(ex+«)—%]<m—\n(ex-ci)<ln(ev+a)—x

设g(x)=ln(ex—d)—\n(ex+tz)4-x,h(x)=ln(ex—a)+]n(/+a)—xxe[ln(3a)Jn(4a)]

Vxe[ln6a)』n(4a)]恒有g(x)<m<h(x)成立

g'(x)=，--------------+1*.*XG[ln(3a),ln(4u)]/.exe[3«,4«]

e'-ae"+ci

/.0<ex-a<ex<ex+a——>1,0<——<1

ex-aex+a

.・.g，(x)>(),g(x)在[ln(3a)』n(4a)]上T

g(x)max=g(ln@a))(机

riI?

即ln(3«)一ln(5a)+ln(4。)<mm>ln(—a)

l(x)=-^—+咯--1>0/I(x)在[ln(3a),ln(4")]上T

e-ae+a

•\m<A(x)min=〃(山6。))m<ln(2a)+ln(4q)—ln(3a)m<In(—a)

17Q

・•・加的取值范围是（3丁。）,1呜0）

6.设函数7（x）1

(nGN,且〃A1,尤£N).

（I）当x=6时，求卜+」的展开式中二项式系数最大的项；

（II）对任意的实数X,证明"2X）；"2）>y，（x）（/，（x）是的导函数）;

（III）是否存在。eN，使得an<卦+{|V3+1）〃恒成立?若存在，试证明你的

结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

（I）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

\nJn:

（II）证法一因./■（2x）+/（2）=（l+：+（1+：）

-1+-

19

>211.214in141

+mi+；=2/(x)

kri)nn

证法二:

2H/[2n2/]

1

因/(2x)+/(2)=1+-1+=214---1+-

n।44-；n

而2f(x)=21+-山+1]

\〃In)

1

故只需对和进行比较。

n

令g(x)=x-lnx(Ql),有g(x)=」=H'由£」=0,得x=l

9

XXX

因为当0<x<l时，g(x)<。，g(x)单调递减；当l<x<+8时，g'(x)>0,g(x)单调

递增，所以在x=l处g(x)有极小值1

故当x>l时，g(x)>g(l)=l,从而有x-lnx>l,亦即x>lnx+l>lnx

故有(l+j>ln(l+J恒成立。所以/(2力+/(2”2八同，原不等式成立。

(III)对帆£N,且加>1

+C：

1——1-

\m

<2+3+11

十一++——

2!3!k\m\

△1111

<2H------1------FH;---T+~\----；-----T

2x13x2m(m-l)