2015中考数学真题分类汇编：二次函数(压轴题)

26.(13分)(2015•福州)如图，抛物线y=x?-4x与x轴交于O,A两点，P为抛物线上一

点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.

(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；

(2)若两个三角形面积满足SAPOQ」SZXPAQ，求m的值；

3

(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,

求：①PD+DQ的最大值；②PD・DQ的最大值.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，

即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹

锐角的度数；

(2)分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBES/^ABF对应边成比例即可求

得；

(3)①过点C作CH〃x轴交直线PQ于点H,可得aCKQ是等腰三角形，进而得出

AD±PH,得出DQ=DH,从而得出PD+DQ=PH,过P点作PM±CH于点M,则△PMH

是等腰直角三角形，得出PHSPM,因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM

的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PHV&Z^,设PD=a,则

-a,得出PD・DQSa(&匹-a)=-a2+&/&=-(a-3A/2)2+lS.当点P在抛物线

的顶点时，a=3\巧，得出PD・DQR8.

解答：解：(1)Vy=x2-4x=(x-2)2-4,

.••抛物线的对称轴是x=2,

,直线y=x+m,

.••直线与坐标轴的交点坐标为(-m,0),(0,m),

.♦•交点到原点的距离相等，

二直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，

.••直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45。，

故答案为x=2、45。.

(2)设直线PQ交x轴于点B,分别过。点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F,

显然当点B在OA的延长线时，SAPOQ=^SAPAQ不成立；

①当点B落在线段OA上时，如图①，

SAPOQ_OE_1

^APAQ川3

由△OBEsZ\ABF得，.咽」屈二,

ABAF3

.,.AB=3OB,

.•.OB」OA,

4

由y=x2-4x得点A(4,0),

/.OB=1,

AB(1,0),

/.l+m=0,

/.m=-1；

②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB」OA=2,

2

AB(-2,0),

:.-2+m=0,

:.m=2,

综上，当m=-1或2时，S△POQ^S△PAQ;

(3)①过点C作CH〃x轴交直线PQ于点H,如图③，可得ACKQ是等腰三角形,

ZCDQ=45°445°=90°,

AAD±PH,

・・・DQ=DH,

・・・PD+DQ=PH,

过P点作PMLCH于点M,则△PMH是等腰直角三角形，

.,.PH=V2PM,

.•.当PM最大时，PH最大，

二当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6,

」.PH的最大值为丐，_

即PD+DQ的最大值为6我.

②由①可知1：PD+PHS6&,

设PD=a,则DQ<W^-a,

.,.PD«DQ<a(65/2-a)=3+6^=-(a-3&)2+18,

当点P在抛物线的顶点时，a=3、历，

.,.PD«DQ<18.

；.PD・DQ的最大值为18.

图①

点评：本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和

性质，难度较大.

25.(10分)(2015•莆田)抛物线y=ax?+bx+c,若a,b,c满足b=a+c,则称抛物线y=ax2+bx+c

为“恒定"抛物线.

(1)求证：“恒定"抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；

(2)已知"恒定"抛物线y-V3x2-遥的顶点为P,与x轴另一个交点为B,是否存在以Q

为顶点，与x轴另一个交点为C的"恒定"抛物线，使得以PA,CQ为边的四边形是平行四

边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

专题：综合题.

分析：(1)由"恒定"抛物线丫=2*2+6*+。，得到b=a+c,即a-b+c=0,即可确定出抛物线恒

过定点(-1,0)；__

(2)先求出抛物线y=V3x2-代的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA//CQ,

PA=CQ；存在两种情况：_

①作QM_LAC于M,则QM=OP=V^，证明Rt4QMC丝RtaPOA,MC=OA=1,得

出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a(X+2)2-JW把点A坐标代入求出a的

值即可；_

②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQCgZXOPA,得出OQ=OPS，

得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+V^，把点C坐标代入求出a的值即可.

解答：(1)证明：由“恒定"抛物线y=ax?+bx+c,

得：b=a+c,

即a-b+c=0,

,抛物线y=ax2+bx+c,

当x=-1时，y=0,

二"恒定"抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A(-I,0)；

(2)解：存在；理由如下：

，恒定“抛物线y=V3x2-V3>

当y=0时，V3x2-75=0,

解得：x=±l,

VA(-1,0),

AB(1,0)；

：x=0时，y=-遥，_

二顶点P的坐标为(0,-遥)，

以PA,CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，

，PA〃CQ,PA=CQ,

,存在两种情况：

①如图1所示：作QM_LAC于M,

则QM=OP=«,ZQMC=90°=ZPOA,

在RtAQMC和RtAPOA中,

[CQ=PA,

ARtAQMC^RtAPOA(HL),

，MC=OA=1,

，OM=2,

•••点A和点C是抛物线上的对称点，

，AM=MC=1,

.•.点Q的坐标为(-2,-遥)，_

设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的"恒定"抛物线的解析式为y=a(x+2)2-b,

把点A(-1,0)代入得：

...抛物线的解析式为：y=V3(X+2)2-

即y=V3X2+4A/3X+3V3；

②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，

.•.点C坐标为(1,0),

；CQ〃PA,

二ZOQC=ZOPA,

在△OQC和AOPA中，

'/0QC=N0PA

<ZCOQ=ZAOP，

,CQ=PA

.,.△OQC^AOPA(AAS),

.,.OQ=OP=V3，

.•.点Q坐标为(0,b)，_

设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的"恒定"抛物线的解析式为y=ax2+V3，

把点C(1,0)代入得：a=-V3，_

，抛物线的解析式为：丫=-后2+愿；

综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA,

CQ为边的四边形是平行四边形，___

抛物线的解析式为：丫=心2+4扬+3典，gJcy=-V3X2+V3.

点评：本题是二次函数综合题目，考查了新定义"恒定"抛物线、用待定系数法求抛物线的解

析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难

度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才

能得出抛物线的解析式.

26.（13分）（2015•泉州）阅读理解

抛物线y号X?上任意一点到点（0,1）的距离与到直线y=-1的距离相等，你可以利用这

-性质解决问题.

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+l与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A,

B两点，分别过A,B两点作直线y=-1的垂线，交于E,F两点.

（1）写出点C的坐标，并说明NECF=90。；

（2）在aPEF中，M为EF中点，P为动点.

①求证：PE^+PF1^（PM2+EM2）；

②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值

范围.

考点：二次函数综合题；勾股定理；矩形的判定与性质.

专题：综合题；阅读型.

分析：（1）如图1,只需令x=0,即可得到点C的坐标.根据题意可得AC=AE,从而有

ZAEC=ZACE.易证AE〃CO,从而有/AEC=/OCE,即可得到NACE=NOCE,

同理可得/OCF=/BCF,然后利用平角的定义即可证到NECF=90。；

(2))①过点P作PHJ_EF于H,分点H在线段EF上(如图2①)和点H在线段EF

的延长线(或反向延长线)上(如图2②)两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及

平方差公式即可证到PE\PF2-2PM2=2EM2,即PE2+PF2=2(PM2+EM2)；

②连接CD,PM,如图3.易证CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM,

然后根据①中的结论，可得：在APEF中，#PE^P^(PM2+EM2),在4PCD中，

WPC2+PD2=2(PM2+CM2).FhMC=EMnJWPC2+PD2=PE2+PF2.根据PE=PF=3可

求得PC?+PD2=18.根据1<PD<2可得IVPDWd,BPI<18-PC2<4,从而可求出

PC的取值范围.

解答：解:(1)当x=0时，y=k»O+l=l,

则点C的坐标为(0,1).

根据题意可得：AC=AE,

.*.ZAEC=ZACE.

VAE1EF,CO1EF,

，AE〃CO,

，/AEC=/OCE,

ZACE=ZOCE.

同理可得：ZOCF=ZBCF.

ZACE+ZOCE+ZOCF+ZBCF=180\

A2ZOCE+2ZOCF=180",

AZOCE+ZOCF=90°,即/ECF=90°；

(2)①过点P作PH1EF于H,

I.若点H在线段EF±,如图2①.

•.•M为EF中点，

，EM=FM」EF.

2

根据勾股定理可得：

PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2

=2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2)

=EH2-MH2+HF2-MH2

=(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH)

=EM(EH+MH)+MF(HF-MH)

=EM(EH+MH)+EM(HF-MH)

=EM(EH+MH+HF-MH)

=EM»EF=2EM2,

：.?^+?^=2(PM2+EM2)；

H.若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上，如图2②.

同理可得：PE2+PF2=2(PM2+EM2).

综上所述：当点H在直线EF上时，都有PEZ+PF^Z(PN^+EM?)；

②连接CD、PM,如图3.

：ZECF=90°,

二CEDF是矩形，

是EF的中点，

，M是CD的中点，且MC=EM.

山①中的结论可得：

在4PEF中，<(PM2+EM2),

在4PCD中，有PC?+PD2=2(PM2+CM2).

VMC=EM,

.,.PC^PDWE^PF2.

：PE=PF=3,

.,.PC2+PD2=18.

Vl<PD<2,

Al<PD2<4,

A1<18-PC2<4,

.,.14<PC2<17.

VPOO,

•••Vn<pc<VT7

图2①

图1

24.(12分)(2015♦福建)如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(1,-I)的抛物线经过

点B(5,3),且与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点O到直线AB的距离；

(3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且NMND=/OAB,当△DMN与AOAB

相似时，请你直接写出点M的坐标.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

(2)根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB?的长，根据勾股定理的逆定理，可得NOAB

的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；

(3)根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可

得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标.

解答：解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1,

将B点坐标代入函数解析式，得

(5-1)2a-1=3,

解得a」.

4

故抛物线的解析式为y=1(x-1)2-1；

(2)由勾股定理,得OA2=P+12=2,OB2=52+32=34,AB2=(5-1)2+(3+1)2=32,

OA2+AB2=OB2,

...ZOAB=90°,

O到直线AB的距离是OA=&；

(3)设M(a,b),N(a,0)

当y=0时，'（x-1）之-1=0,

解得X]=3,X2=-1，

D（3,0）,DN=3-a.

①当△MNDs^OAB忖，颐-DIj,即”3二

OAABV2W2

化简，得4b=a-3①

M在抛物线上，得b,（a-1）2-1②

4

'4b=3-a

联立①②，得1,,、2,，

b号（a-1）z-1

解得ai=3（不符合题意，舍），a2=-2,b^,

4

Mi（-2,白），

4

当△MNDs/\BAO时、期-她,即*31a,

BAOA4V2V2

化简，得b=12-4a③，

rb=12~4a

联立②③，得[1,.2,

西（a-1）z-1

解得ai=3（不符合题意,舍），a2=-17,b=12-4x（-17）=80,

M2（-17,80）.

综上所述：当△DMN与AOAB相似时，点M的坐标（-2,2），（-17,80）.

4

点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股

定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上

的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.

25.（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于

点C,点D为抛物线的顶点，请解决下列问题.

（1）填空：点C的坐标为（0,3）,点D的坐标为（1,4）：

（2）设点P的坐标为（a,0）,当IPD-PCI最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；

（3）在（2）的条件下，将4BCP沿x轴的正方向平移得到aB'C'P',设点C对应点C'

的横坐标为t（其中0<tV6）,在运动过程中aB'C'P'与4BCD重叠部分的面积为S,

求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？

备用图1备用图2

考点：二次函数综合题.

分析：(1)根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；

(2)求IPD-PCI的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P.因为IPD-PCI

小于或等于第三边CD,所以当IPC-PDI等于CD时，IPC-PDI的值最大.因此求出

过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；

(3)过C点作CE〃x轴l,交DB于点E,求出直线BD的解析式，求出点E的坐标,

求出P'C'与BC的交点M的坐标，分点C'在线段CE上和在线段CE的延长线上

两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S,再求得其最

大值即可.

解答：解：(1)*.*y=-x~+2x+3=-(x-1)~+4,

：.C(0,3),D(1,4),

故答案为：0；3；1；4；

(2)•.•在三角形中两边之差小于第三边，

,延长DC交x轴于点P,

设直线DC的解析式为y=kx+b,把D、C两点坐标代入可得(k+b=4,解得［k=l,

Ib=3Ib=3

直线DC的解析式为y=x+3,

将点P的坐标(a,0)代入得a+3=0,求得a=-3,

如图1,点P(-3,0)即为所求；

(3)过点C作CE〃x,交直线BD于点E,如图2,

由(2)得直线DC的解析式为y=x+3,

由法可求得直线BD的解析式为y=-2x+6,直线BC的解析式为y=-x+3,

在y=-2x+6中，当y=3时，x=-1,

•••E点坐标为3),

2

设直线P'C'与直线BC交于点M,

"：P'C//DC,P'C与y轴交于点（0,3-t）,

二直线P'C'的解析式为y=x+3-t,

t

XR

y=-x+3,/

联立，，解得《

尸x+3-t6-t,

二点M坐标为（上,

29

VBZC//BC,B'坐标为（3+t,0）,

二直线B'C'的解析式为y=-x+3+t,

分两种情况讨论：

①当0<t<心时，如图2,B'C'与BD交于点N,

2

y=-2x+6”,x=3-t

联立，解得I

y=-x+3+t,y=2t

.♦.N点坐标为(3-t,2t),

,_

S=SABc'PSABMP-SABNB'-X6X3--(6-t)x-1(6-t)--tx2t=--t-+3t,

22224

其对称轴为仁^,可知当0<t<卫时，S随t的增大而增大,当t及时，有最大值

52216

••.N点坐标为（支电，12~2t）,

33

S—S/^BNP'-(6-t)x------Ax(6-t)---------1(6-t)2-1t~~

23221212

t+3；

显然当？<t<6时，S随t的增大而减小，当t学时，S-2Z

2216

-^t2+3t(0<t<^)

42Q

综上所述，S与t之间的关系式为s=,且当t二时，S

徐2-t+3(卞t<6)2

有最大值，最大值为21

16

点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质

和二次函数的性质等知识点.在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）

中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示HIE、M、N的坐标是解

题的关键，注意分类讨论思想的应用.本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较

大.

28.（12分）（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+bx+c,经过A

3

(0,-4）,B（xi,0）,C（X2»0）二点，且lx2-X]l=5.

(1)求b,c的值；

(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在,

求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理山.

X

考点：二次函数综合题.

分析：（1）把A（0,-4）代入可求c,运用两根关系及1X2-X,l=5,对式子合理变形，求b；

（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称

轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；

（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB,求出OB的

中点坐标，代入抛物线解析式即可,，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判

断是否为正方形即可.

解答：解：（1）♦.•抛物线y=-2x2+bx+c,经过点A（0,-4）,

3

/.c=-4

又•.•由题意可知，XI、X2是方程-2x2+bx-4=0的两个根,

3

.*.xi+xi=-?b.X|X2=6

2

由已知得⑻-xi)2=25

又•:（X2-X1）2=（X2+X1）2-4x|X2=^b2-24

_24=25

解得b=±M,当b=&时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.

33

3

(2)♦.•四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线

的对称轴匕

2

又：y=-2X-骂-4=-2(x+工)2国，

33326

.••抛物线的顶点(-1，里)即为所求的点D.

26

(3):四边形BPOH是以0B为对角线的菱形，点B的坐标为(-6,0),根据菱形

的性质，点P必是直线x=-3与

抛物线丫=-&2_超*-4的交点，

33

当x=-3时，y=--x(-3)2-Mx(-3)-4=4,

33

二在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形.

四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能

是(-3,3),但这一点不在抛物线上

点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点

的方法.

28.(10分)(2015♦酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),

C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使ANAC的面积最大？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的

解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式，则可求得抛

物线的对称轴；

(2)点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,

连接AP,此时4PAB的周长最小，可求出直线BA'的解析式，即可得出点P的坐

标.

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使aNAC面积最大.设N点的横坐标

为t,此时点N(t,刍2一骂+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式，即可求得

55

NG的长与4ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案.

解答：解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),

把点A(0,4)代入上式得：a=^,

5

.•.y=J(x-1)(x-5)工2_型*+4/(x-3)2-以，

55555

.••抛物线的对称轴是：X=3；

(2)P点坐标为(3,3).

5

理由如下：

•.•点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,

...点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4)

如图1,连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时4PAB的周长最小.

设直线BA'的解析式为y=kx+b,

把A'(6.4),B(1,0)代入得(*6k+b

[0=k+b

；.y=_|x-

•.•点P的横坐标为3,

：.P(3,W).

5

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.

设N点的横坐标为t,此时点N（t,it2-驾+4）（0<t<5）,

55

如图2,过点N作NG〃y轴交AC于G；作AD_LNG于D,

02

由点A（0,4）和点C（5,0）可求出直线AC的解析式为：y=-A+4,

5

把x=t代入得：y=-&+4,则G（t,-当+4）,

55

此时：NG=-&+4-一驾+4）=-S2+4t,

5555

VAD+CF=CO=5,

•，-SAACN=SAANG+SACGN=^AMXNG+ANGXCF=ANG»OC=^X（-£+4t）x5=-

22225

2t2+10t=-2（t-2）2国,

22

/.当tg时，4CAN面积的最大值为名，

22

由t至，得：尸&2-建1+4=-3,

255

AN走，-3）.

2

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数

形结合思想的灵活应用.

28.（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax?的图象经过点（2,1）.

（1）求二次函数y=ax?的解析式；

（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax?的图象交于点A（x］、yi）>B（x?、y2）两

点.

①当m二时（图①），求证：AAOB为直角三角形；

2

②试判断当mH卫时（图②），Z^AOB的形状，并证明；

2

（3）根据第（2）问，说出一•条你能得到的结论.（不要求证明）

考点：二次函数综合题.

分析：（1）把点（2,1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；

（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明

△ACO-AODB,可证明NAOB=90。，可判定aAOB为直角三角形；②可用m分别

表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证

明△ACOSAODB,结合条件可得到/AOB=90。，可判定aAOB为直角三角形；

（3）结合（2）的过程可得到aAOB恒为直角三角形等结论.

解答：（1）解：；y=ax2过点（2,1）,

/.l=4a,解得a=^,

4

.••抛物线解析式为

(2)①证明:

3

y=5x+4

x=-2或x=8

当m=^时,联立直线和抛物线解析式可得〈,，解得.

212y=ly=16

y=4x

AA（-2,1）,B（8,16）,

分别过A、B作ACLx轴，BDJ_x轴，垂足分别为C、D,如图1,

图1

；.AC=1,OC=2,OD=8,BD=16,

..丝旦/，且NACO=/ODB,

OCBD2

.,.△ACO^AODB,

.,.ZAOC=ZOBD,

XVZOBD+ZBOD=90°,

AZAOC+ZBOD=90°,即NAOB=90°,

.•.△AOB为直角三角形；

②解：AAOB为直角三角形.

证明如下：

y=mx+4x=2m-2dm2+4

当mQ时，联立直线和抛物线解析式可得.

12，解得<.____2或

2尸厂(m-Vin2+4)

x=2nH-27m2+4

<,f

2

y=("正+4)

二A(2m-纣1rl2+,(m-42+4)?),B(2m+%再(m+41n2+4)?),

分别过A、B作AC_Lx轴，BDJ_x轴，如图2,

BD=(m+7^；)之

OD=2m+2^in2+4,

...ACLOELm-Jin'+q,且/ACO=/ODB,

OCBD2

.,.△ACO^AOBD,

，ZAOC=ZOBD,

又•.•NOBD+/BOD=90。，

，/AOC+/BOD=90°,即/AOB=90°,

.♦.△AOB为直角三角形；

（3）解：由（2）可知，一次函数丫=11^+4的图象与二次函数y=ax?的交点为A、B,

则AAOB恒为直角三角形.（答案不唯一）.

点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角

三角形的判定等知识点.在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示

出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结

合（2）的过程得出.本题知识点较多，综合性很强，难度较大.

26.（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=-&?+bx+c（b、c为常数）的顶

2

点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,点C的坐标为（4,3）,直角

顶点B在第四象限.

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式._

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为我时，试证

明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q,

取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请

说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）如答题图2,设顶点P在直线AC匕并沿AC方向滑动距离正时，到达P',

作P，M〃y轴，PM〃x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得AP'PM是等腰直

角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后

的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；

（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B',由分析可知，当B'、Q、

F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B'F的长度.

解答：解：（1）•••等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,C的坐标为（4,3）

，点B的坐标为（4,-1）.

•.•抛物线过A（0,-1）,B（4,-1）两点，

c=-1

•**1»

-=X16+4b+c=-l

2

解得：b=2,c=-1,

...抛物线的函数表达式为：y=--ix2+2x-1.

2_

（2）如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离加时，到达P',

作P'M〃y轴，PM〃x轴，交于M点，

:点A的坐标为（0,-1）,点C的坐标为（4,3）,

二直线AC的解析式为y=x-1,

,••直线的斜率为1,

...△P'PM是等腰直角三角形，

♦.*PP'=y/2>

：.P'M=PM=1,

.••抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，

Vy=-AX2+2X-1=-—（x-2）2+1,

22

平移后的抛物线的解析式为y=-工（x-3）2+2,

2

令y=o,则0=-A（X-3）2+2,

2

解得X1=1,X=52，

，平移后的抛物线与x轴的交点为（1,0）,（5,0）,

翻尸一万（X-3）‘2（X=1rx=3

解<z,得4或4

y=x-l1尸01尸2

二平移后的抛物线与AC的交点为（1,0）,

...平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1,0）.

（3）如答图3,取点B关于AC的对称点B',易得点B'的坐标为（0,3）,BQ=B'Q,

取AB中点E

连接QF,FN,QB',易得FN〃PQ,且FN=PQ,

四边形PQFN为平行四边形.

，NP=FQ.

.,.NP+BQ=FQ+B,Q>FBZ={22+42=2后.

.•.当B'、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2代.

点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、

几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等

知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大.

28.(10分)(2015•酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),

C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使4PAB的周长最小？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使aNAC的面积最大？

若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的

解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式，则可求得抛

物线的对称轴；

(2)点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,

连接AP,此时aPAB的周长最小，可求出直线BA'的解析式，即可得出点P的坐

标.

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使aNAC面积最大.设N点的横坐标

为t,此时点N(t,g2一骂+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式，即可求得

55

NG的长与4ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案.

解答：解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),

把点A(0,4)代入上式得：a=l

5

/.y」(x-1)(x-5)=^x2--i^x+4=-^(x-3)2--,

55555

抛物线的对称轴是：x=3；

(2)P点坐标为(3,m).

5

理由如下：

;点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,

.••点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4)

如图1,连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时4PAB的周长最小.

图1

设直线BA'的解析式为y=kx+b,

把A'(6,4),B(1,0)代入得＜P=6k+b

I0=k+b

•••点P的横坐标为3,

555

,*.P(3,§).

5

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使aNAC面积最大.

设N点的横坐标为t,此时点N(t,&2一驾+4)(0<t<5),

55

如图2,过点N作NG〃y轴交AC于G；作ADLNG于D,

02

由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为：y=-&+4,

5

把x=t代入得：y=-&+4,则G(t,-3+4),

55

此时：NG=-3+4-(当？-骂+4)=-9t2+4t,

5555

•；AD+CF=CO=5,

•',SAACN=SAANG+SACGN=--AMxNG+—NGxCF=-^-NG»OC=^-x(-&~+4t)x5=-

22225

2t2+10t=-2(t-22+—,

22

当tW时，4CAN面积的最大值为世，

22

由t=2得：丫=_£一驾+4=-3,

2