浙江省湖州市部分学校2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测九年级数学一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为(

)

A.14 B.12 C.342.二次函数y=2(x-2A.(-2,5) B.(2,5) C.(-2,-5) D.(2,-5)3.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是(

)A.13 B.12 C.234.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=36∘，则∠BOCA.72∘ B.54∘ C.36∘5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上．若∠BOD=120∘，则∠A.120∘ B.60∘ C.100∘6.已知抛物线的顶点坐标是2,1，且抛物线经过点3,0，则这条抛物线的函数表达式是(

)A.y=x-22+1 B.y7.如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是A.37°

B.74°

C.53°

D.63°8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1A.AB=4

B.b2-4ac>0

9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(-2,0)，对称轴为直线x=-12.对于下列结论：①abc<0；②2a+A.1个

B.2个

C.3个

D.4个10.如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A=α，A.若α+β=70°，则DE- m 20°

B.若α+β=70°，则DE-二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知抛物线y=k-2x2的开口向上，写出一个满足条件的12.做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：抛掷总次数50100500800150030005000杯口朝上频数5151001683306601100杯口朝上频率0.10.150.20.210.220.220.22估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为

(结果精确到0.1)13.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是

．14.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点(位于AB两侧)，CD=AD，且∠ABC=70∘，则∠15.在半径为5的圆O中AB,CD分别是它的两条弦，且AB/​/CD，其中AB=8，CD16.在平面直角坐标系内，已知点A(-1,0)，点B(1,1)，若抛物线y=ax2-x三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如果a3=b4=c518.(本小题8分)

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．

(1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P；

(2)求AC的长．19.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且位于AB异侧，BC，AD的度数分别为60°，100°，请仅用直尺按要求作图．

(1)画出一个大小为30°的角，并写出该角．

(2)画出一个以AD为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形．20.(本小题8分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．

(1)求证：DB=DC；

(2)若∠EAD=60°21.(本小题8分)如图，在⊙O中，弦AD=BC，OE⊥AB于E

(1)求证：AB=(2)若⊙O的半径为5，CD=8，BC=422.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD⌢的中点，连结CD，CA，AD.延长AC，

(1)求证：OC//(2)若CE=45，BD23.(本小题12分)

已知二次函数y=x2-(1)证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；(2)若An-3,y1，(3)若二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2(其中x1>x2)，t是关于24.(本小题12分)定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．

(1)概念理解：如图，在▵ABC中，∠BAC=90∘，点D是BC的中点．试证明：以点A(2)问题探究：已知一条抛物线经过x轴的两点E、F(E在F的左边)，(3)应用拓展：将抛物线y1=-x2+23x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2.抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N(M在N左侧)，把▵PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第答案和解析1.【答案】A

【解析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，∴落在红色区域的概率=1故选：A．2.【答案】D

【解析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为y=2(∴其顶点坐标为：(2,-5)．故选：D3.【答案】C

【解析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为46故选：C．4.【答案】A

【解析】根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠∴∠BOC故选：A．5.【答案】B

【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得∠A【详解】解：∵∠BOD∵∠A∴∠DCE故选：B．6.【答案】D

【解析】本题考查了y=ax-h2+k的图象和性质，对于二次函数y【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是2,1，∴设抛物线的函数表达式为y=将点3,0代入得：0=a解得：a=-1∴抛物线的函数表达式为y=-故选：D7.【答案】C

【解析】解：如下图，连接OA，

∵A是劣弧DF的中点，

即弧DA=弧FA，

∴∠DOA=∠FOA，

∵∠EOD=32°，

∴∠DOA=∠FOA=12(180°-∠EOD)=74°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD=18.【答案】C

【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点B的坐标为(1,0)，

∴A(-3,0)，

∴AB=1-(-3)=4，所以选项A正确，不合题意；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴Δ=b2-4ac>0，所以选项B正确，不合题意；

∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，

∴b=2a>0，

∴ab>0，所以选项C不正确，符合题意；

∵x=-1时，y<0，

∴a-b+c<0，所以D正确，不合题意．

故选：C．

用抛物线的对称性可确定A点坐标为(-3,0)，则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a>0，再利用对称轴方程得到b=2a>0，则可对选项C9.【答案】B

【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，

把(-2,0)，(1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得：

4a-2b+c=0a+b+c=0，

解得b=ac=-2a，

∴2a+c=0，故②正确；

∵抛物线开口方向向下，

∴a<0，

∴b=a<0，c=-2a>0，

∴abc>0，故①错误；

∵am2+bm=am2+am=a(m+12)2-14a．14(a-2b)=14(10.【答案】B

【解析】解：连接BE，设DE的度数为θ，

则∠EBD=12θ，

∵AE为直径，

∴∠ABE=90°，

∵∠A=α，

∴∠AEB=90-α，

∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+12θ，

∴90°-α=β+12θ，

解得：θ=180°-2(α+β)，

即DE的度数为180°-2(α+β)，

A、当α+β=70°时，DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；

B、当α+11.【答案】3(答案不唯一)

【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k-2>0，据此求出k的范围，得到合适的【详解】解：因为抛物线y=所以k-2>0，即k>2，故k则k可以取3．故答案为：3(答案不唯一)．12.【答案】0.2

【解析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2，故答案为：0.213.【答案】8

【解析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键．【详解】解：红球m个，白球8个，黑球n个，∴取出白球的概率为8m+8+n∵取得白球的概率与不是白球的概率相同，∴8∴m当m+∴m与n的和是8故答案为：8．14.【答案】35∘/35【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据∠BAD=∠DAC【详解】解：∵AB是⊙∴∠ACB∵∠ABC∴∠BAC∵DA∴∠DAC∵∠ADC∴∠DAC∴∠BAD故答案为：35∘15.【答案】1或7

【解析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论．连接OC、OA，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF,【详解】解：连接OA,OC.过点O作OE⊥AB于E当AB和CD在圆心的同侧时，如图所示，

∵AB//∴OF∵OE∴AE根据勾股定理，得OE=则EF=当AB和CD在圆心的两侧时，如图所示，

∵AB//∴EF∵OE∴AE根据勾股定理，得OE=则EF=故答案为：1或7．16.【答案】1≤a<9【解析】分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求【详解】设线段AB所在的直线解析式为：y∵点A(-1,0)，点B∴解得，k∴∵抛物线y=ax∴令12x∴△=9-8∴①当a<0时，解得：a∴②当a>0时，解得：a∴1≤综上所述：1≤a<9故答案为：1≤a<917.【答案】解：令a3=b4=c5=k，

∴a=3k，b=4k，c=5k，

∵3a-【解析】令a3=b4=c5=k，从而表示出a，b，c18.【答案】解：(1)如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，

则点P即为所求．

(2)由勾股定理得，AC=4【解析】(1)连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．

(2)利用勾股定理计算即可．

本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．19.【答案】解：(1)如图，∠CAB=30°；

(2)如图：等腰△DAE为所求；

【解析】(1)由BC的度数为60°，可知它所对的圆周角度数为30°，由此即可解题；

(2)由AD的度数为100°，AB是⊙O的直径，可得BD的度数为80°，进而可得∠DAB=∠DAO=40°，∠CAD=70°，延长DO交AC与E点即可得到∠AED=70°，从而可得等腰三角形△20.【答案】(1)证明：∵AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠EAD=∠BCD，∠CAD=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCD，

∴DB=DC；

(2)解：连结OB、OC，如图，

∵∠DCB【解析】(1)先根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，再利用圆内接四边形的性质得到∠EAD=∠BCD，利用圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，所以∠CBD=∠BCD，从而得到结论；

(2)连结OB、OC，如图，利用(1)的结论得到∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，则21.【答案】【小题1】证明：∵AD∴AD⌢=即AB⌢∴AB【小题2】解：连接OB，如图所示：∵AB=CD=8∴EB由勾股定理，得OE=同理可得OH=∴OE

【解析】1.

本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；由题意易得AB⌢2.

连接OB，由勾股定理，得OE=3.22.【答案】【小题1】证明：∵C为ABD∴AC∴AC∵AB是⊙∴∠ADB∴BE∴OC【小题2】解：连结BC，则∠ACB∵OC=∴∠OAC∵OC∴∠OCA∴∠OAC∴EB∵∠ACB∴BC∴CA∴AE设⊙O的半径r，则EB∴DE∵A∴(2r整理得r2解得r1=5,r∴

⊙O的半径为5

【解析】1.

本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；根据垂径定理的推理可知OC⊥AD，由直径对直角可知BE⊥2.

连结BC，则∠ACB=90∘，利用等腰三角形的性质可证∠OAC=∠OCA，由平行线的性质可得∠OCA=∠E，进而可证23.【答案】【小题1】证明：在二次函数y=∵Δ∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；【小题2】解：∵An-∴当y1=y∴二次函数对称轴为n-∴x解得，m=-∴二次函数解析式为：y=【小题3】解：令y=0，则x∵Δ∴x∵x解得，x1=m∵t∴t如图所示，当t=m时，解得，m=±1∴当t<m时，m>1

【解析】1.

本题主要考查二次函数与x轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与x轴交点的判定方法“Δ>0，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数