2024高考数学讲义：不等式

2024高考数学讲义：不等式

目录

1.相等关系与不等关系2

2.比较两个数（式）的大小.........................................................4

2.1.［题组练透］...............................................................4

2.2.比较两个数大小的常用方法................5

3.不等式的性质与应用............................................................5

3.1.角度一不等式命题的推论................................................

3.2.角度二求代数式的取值范围6

4.基本不等式...................................................................8

5.利用基本不等式求最值.......................................................10

5.1.角度一配凑法求最值....................................................10

5.2.角度二常数代换法求最值................................................11

5.3.角度三消元法求最值....................................................11

6.消元法在基本不等式求最值中的应用..........................................12

7.利用基本不等式解决实际问题................................................13

8.利用基本不等式求解实际问题................................................13

8.1.技巧一加上一个数或减去一个数使和或积为定值..........................14

8.2.技巧二平方后再使用基本不等式.........................................15

8.3.技巧三展开后求最值....................................................15

8.4.技巧四形如以丁型函数变形后使用基本不等式.........................15

8.5.技巧五用“1”的代换法求最值............................................16

8.6.技巧六代换减元求最值................................................16

8.7.技巧七建立求解目标不等式求最值.....................................17

9.二次函数与一元二次方程、不等式..............................................18

9.1.三个“二次”间的关系......................18

9.2.不含参数的一元二次不等式的解法..........20

10.解一元二次不等式的4个步骤................................................21

11.解含参数的一元二次不等式的步骤............................................22

12.一元二次不等式恒成立问题...................................................23

12.1.角度一形如於）20如）W0）（x£R）的不等式确定参数的范围...............23

12.2.角度二形如五工）20。£［〃，田）的不等式确定参数范围.....................23

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12.3.角度三形如人外＞0（/£团，勿）的不等式确定参数范围.....................24

13.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法....................................25

1.相等关系与不等关系

课程标准考向预测

考情分析：不等式性质在高考中单独命题

较少，多出现在解题过程中，其中不等式性

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握

质与指数、对数函数性质结合将是高考的热

不等式的性质.

点，题型以选择题为主.

学科素养：逻辑推理.

I整知识I.............................................»

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系

g—b>O<^a>b；u—b=O^>a=b；g—b<O^a<b.

2.等式的性质

(1)如果4=〃，那么〃=出

(2)如果4=/?,b=c,那么4=C；

(3)如果a=b,那么a±c=b±c；

(4)如果。=Z?,那么ac=be；

(5)如果a=/?,c#0,那么?=~.

LV-

3.不等式的基本性质

(1)对称性：a>h^>h<ai

(2)传递性：a>b,b>c=^a>c；

(3)可加性：a>b=>a+c>b~\~cfa>b,c>d=a+cZ〃+d；

(4)可乘性：a>b,c>On〃c>bc,

a>b>0,c>d>。=ac>bd；

(5)可乘方：”21)；

(6)可开方：a>b>O=>，\[ci(〃WN,〃22).

不等式的两类常用性质

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(1)倒数性质

①4匕,ab>0=：V、；

②aVbVg：>7；

C<L/

J

③a>b>30<c<6/=>-；

®0<a<x<b或<7<x</?<0=>!$4.

(2)有关分数的性质

若a>b>Of/w>0,则

①真分数的性质

b<♦+/〃bb-m

>--(Z-?-—/77>O)；

ciaa~in

②假分数的性质

aa+maa-m

><(。一〃z>0).

~bb+m'bb-m

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)两个实数〃，〃之间，有日.只有a=b,三种关系中的一

种・()

(2)若£>1,则。》.()

(3)同向不等式具有可加性和可乘性.()

(4)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.()

答案:⑴J(2)X(3)X(4)J

2.(多选)(必修5P74例1改编)下列结论正确的是()

A.若a>b,c>0,贝ljac>bc

B.若a>b,0(),则。〉£

C.若a>b,则a-\-c>b-\~c

D.若a>b,则a-c>b—c

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3

3.若实数〃比较加+2与寸的大小.

3m2—in-1nt1+机+1

解析：〃z+2一a

1—mm~1

Vm2+/w+1>0恒成立，

3

・•・当时，"?+2>「—

1~m

当〃zVI时，〃，+2<宣

2.2.比较两个数大小的常用方法

［注意］对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值脸证法比较大小.

3.不等式的性质与应用

3.1.角度一不等式命题的推论

(1)(2020.湖北鄂州鄂南高中月考)已知实数a,b,c满足c4<o,那

么“4C<0”是“成立的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)对于任意实数〃，b,c,d,则下列命题正确的是()

A.若ac^bc2,则

B.若a>b,c>d,则a+c>b+d

C.若a>b,c>d>贝ijac>bd

D.若a>b,则!>!

(1)B(2)AB［⑴若ac、<0,且(:<力<。，则必有c<0<4,由。>c,ez>0,得

故由4c<0可推出4b若ab>ac,且c<b<a,则。>0.事实上，若

()<C</?<67,贝|J〃C>().故曰推不出QC<().因此，“好<()”是“成立的

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充分不必要条件.故选B.

(2)若a(r>bc2,贝4a>b,A对；

由不等式同向可加性，若a>b,c>d,贝Ua+c>/?+d,B对；当。=2,b=1,

c=—1,d=—2时，有〃>/?,c>d,但ac=bd,C错.令。=—1,/?=—2,则(

弓.D错，故选AB.]

判断关于不等式的命题的真假的方法

(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考

虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断.

(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利

用指数函数、对数函数、察函数等函数的单调性进行判断.

(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后

进行比较、判断.

3.2.角度二求代数式的取值范围

11一己知一l<x<4,2<)，<3,则x-y的取值范围是,3x+2y的取

值范围是________.

解析：V—2<)<3,/.—3<_2,

-4<比一y<2.

由—1<v<4,2<y<3,得—3<3x<12,4V2y<6,

/.l<3x+2y<18.

答案:(-4,2)；(I,18)

1.利用不等式的性质求取值范围的方法

由。勺(x,))</?,c、<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围，可利用待定系数法解

决，即设F(x,)，)=〃次居y)+〃g(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得机，〃的

值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得尸(x,)，)的取值范围.

2.此类问题的一般解法

(1)建立待求整体与已知范围的整体的关系；

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（2）通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围.

1.若a〈b〈O,则下列不等式不能成立的是（

A.\a\>\h\B.a2>ab

DI*a<b<09得间>|例，A成立；因为火灰0,所以。2>°也B成立；因为

a<b<0t所以:>1,C成立；当a=-2,b=—\时，已了=—1,:=一；，

丁丁不成立.故迄D.］

2.（多选）（2020•山东泰安四中月考）下列说法正确的是（）

A.若〃>仍|,则於坊2

B.若a>b,c>d,则a—c>Z?—d

C.若a>b,c>d,则ac>bd

D.若a>b>0,c<0,则、吟.

vt

AD［对于A,因为。>依20,根据不等式的性质可得。2>店，A正确；对于

B,取〃=3,b=2,c=—1,d=-3,满足c>d.而3—（―1）=4<2—（-3）=

5,即〃一c<b—d,所以B不正确；对于C,取Q=2,b=1,c=—2,d=-3,

满足a>b,c>d,但是ac=-4<bd=-3,所以C不正确；对于D,因为a>b>0,

c<（）,所以］>0,-0（）,所以手>~，所以§，D正确.综上可知,

AD正确.］

3.若一1令<），<3,求x-y的取值范围.

解析：因为一1<Y<3,-1<}<3,所以一3<一产1,所以一4a一）（4.又因为

x<y9所以x—），<（）,所以一44一产0,即x-y的取值范围是（一4,0）.

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4.基本不等式

课程标准考向预测

考情分析：利用基本不等式求最

1.掌握基本不等式向《等①，

值、证明不等式、求参数的取值范围等

/?>()).仍是高考热点，多出现在解答题的运算

2.结合具体实例，能用基本不等式中.

解决简单的求最大值或最小值的问题.学科素养：数学运算、逻辑推理.

V学生用书P16

I整知识I..............................»>

1.基本不等式：板W号

(1)基本不等式成立的条件是心0,Q0.

(2)等号成立的条件是：当且仅当时取等号.

(3)其中铝称为正数小■的算术平均数,我称为正数小♦的几何平

均数.

2.利用基本不等式求最值问题

已知心>(),)，>(),则

(1)如果积犯是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2g(简

记：积定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是,(简

记：和定积最大).

?常用结论

1.活用几个重要的不等式

足+白》2ab(a,Z?eR)；A22(〃，〃同号).

2,①+321/+序

S，Z?eR)；—(a〃£R).

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2.巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基

本不等式中“正”“定”“等”的条件.

I练基础I................................

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数y=x+!的最小值是2.()

q।b

(2)当620时，2.()

(3)两个不等式序+/22,力与卑2匹成立的条件是相同的.()

答案:⑴X(2)7(3JX

2.若.。()，)>(),且x+)，=18,则G的最大值为()

A.9B.18

C.36D.81

A[因为x+y=18,_¥>(),/>(),所以而，W王?=9,当且仅当x=y=9时,

等号成立.]

3.(多选)若d8WR,且">0,则下列不等式中，恒成立的是()

A.cr+kr^lahB.a+b^2\[ab

C.~+T>-^=D.~+T22

。byjabab

AD[Va2-hb2—2ab=(a—b)2^0,「・选项A正确；

对于选项B,C,当。VO,bV()时，明显错误；

对于选项D,；+£>2•苴=21

4.(必修5P100练习T1改编)当Q>1时，x+不、的最小值为

解析：当Q1时，工+占=L1+占+1》

2、(I)X±+]=3,当且仅当x—匚士,即冲2时等号成

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立.

答案：3

5.(必修5P1OO练习T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，

则矩形场地的最大面积是n?.

解析：设一边长为xm,则另一边长可表示为(10—x)m,由题意可知

()<¥<1(),

¥*-4-10---Y

则面积S=x(10一工)~5—~>=25,

当且仅当工=10—工，即x=5时等号成立，

故当矩形的长与宽相等，且都为5m时面积取到最大值25m，

答案：25

5.利用基本不等式求最值

5.1.角度一配凑法求最值

E3T⑴设0<1<|，则函数尸443—20的最大值为；

(2)3*+3的最小值为

解析：⑴•••OvQ,?.3-2x>0,

9

-

y=4x(3-2X)=2[2X3_2X)]W2[2"+法)-2

3

当且仅当2x=3—2x,即时，等号成立.

二・函数y=4x(3—2x)(0<x<1)的最大值为?.

(2)3*+含=3(«+1)+3-32243”1).备-3=2718

-3=6^2-3,当且仅当/=啦-1时等号成立，故6啦一3.

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3

答案-

2

华

纳升

导归

配奏法

，利用

关键

数是

、凑常

系数

，拼

变形

灵活

式的

代数

在于

实质

法的

配凑

：

问题

面的

个方

下几

意以

应注

最值

求解

的调

中常数

及等式

变化以

系数的

意利用

础，注

式为基

，以整

技巧

凑的

(1)配

形；

价变

到等

整，做

；

目标

值为

的定

或积

出和

配凑

形以

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(2)代

提.

式的前

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利用基

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项应注

项、添

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