2024-2025学年高中数学课时素养评价八3.2数学证明含解析北师大版选修1-2

PAGE课时素养评价八数学证明(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是 ()A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理 D.一次三段论【解析】选C.这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.2.诗歌是一种抒情言志的文学体裁,用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感,诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律,人们经常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋,使抽象理性的数学问题诗词化,比如诗歌:“十里长街闹盈盈,庆祝祖国万象新;佳节礼花破长空,长街灯笼胜繁星;七七数时余两个,八个一数恰为零;三数之时剩两盏,灯笼几盏放光明”,则此诗歌中长街上灯笼最少有____盏 ()

A.70 B.128 C.140 【解析】选B.由七七数时余两个,可知灯笼数除以7余2,则A,C,D错.3.下面几种推理过程是演绎推理的是 ()A.在数列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式B.由平面三角形的性质,推想空间四面体性质C.某校高二共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推想各班都超过50人D.两条直线平行,同旁内角互补,假如∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°【解析】选D.A选项,在数列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2)由此归纳出{an}的通项公式,属于归纳推理;B选项,由平面三角形的性质,推想空间四面体性质,属于类比推理;C选项,某校高二共有10个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推想各班都超过50人,也属于归纳推理;D选项,具有明显的大前提,小前提,结论,属于典型的演绎推理的三段论形式.综上,可知,只有D选项为演绎推理.4.“在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,求证:∠ADE=∠ABC”中,包含了________层三段论推理 ()

A.1 B.2 C.3 【解析】选B.三角形的中位线平行于底边,(大前提)AD=DB,AE=CE,(小前提)所以DE∥BC,(结论)两直线平行,同位角相等,(大前提)∠ADE与∠ABC为同位角,(小前提)所以∠ADE=∠ABC,(结论)故含有两层三段论推理.【补偿训练】下列三句话按“三段论”模式排列依次正确的是 ()①y=cosx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cosx(x∈R)是周期函数.A.①②③ B.②①③C.②③① D.③②①【解析】选B.因为“三段论”的结构是“若S是P,Q是S,则Q是P”,所以该“三段论”应是“三角函数是周期函数,y=cosx(x∈R)是三角函数,y=cosx(x∈R)是周期函数.”二、填空题(每小题5分,共10分)5.若有一段演绎推理:“大前提:整数是自然数.小前提:-3是整数.结论:-3是自然数.”这个推理明显错误,则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”).

【解析】整数不全是自然数,还有负整数,故大前提错误.答案:大前提6.甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队,老师要支配他们四人的出场依次,以下是他们四人的要求.甲:我不跑第一棒和其次棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:假如乙不跑其次棒,我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话,支配了一种合理的出场依次,满意了他们的全部要求,据此我们可以断定,在老师支配的出场依次中跑第三棒的人是________【解析】由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒,则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个,当丙跑第三棒时,乙只能跑其次棒,这时丁是第一棒,甲是第四棒,符合题意,当乙跑第三棒时,丙只能跑其次棒,丁只能跑第四棒,甲跑第一棒,不符合题意,故跑第三棒的人是丙.答案:丙三、解答题(每小题10分,共20分)7.用三段论证明通项公式为an=cqn(c,q为常数,且cq≠0)的数列{an}是等比数列.【证明】等比数列中QUOTE为常数(大前提),因为an=cqn(cq≠0),所以an-1=cqn-1,所以QUOTE=QUOTE=q(常数)(小前提),所以数列{an}是等比数列(结论).8.已知f(x)=QUOTE,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.【解析】因为f(x)=QUOTE,所以f(0)+f(1)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.同理可得f(-1)+f(2)=QUOTE,f(-2)+f(3)=QUOTE.猜想f(x)+f(1-x)=QUOTE.设x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.(15分钟·30分)1.(5分)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 ()A.π是无限不循环小数,无限不循环小数是无理数,所以π是无理数B.π是无限不循环小数,π是无理数,所以无限不循环小数是无理数C.无限不循环小数是无理数,π是无理数,所以π是无限不循环小数D.无限不循环小数是无理数,π是无限不循环小数,所以π是无理数【解析】选D.依据三段论推理的标准形式,逐一分析四个答案中的推导过程,可得出结论.对于A,小前提与大前提间逻辑错误,不符合演绎推理三段论形式;对于B,大小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式对于C,小前提和结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,符合演绎推理三段论形式且推理正确.2.(5分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个宏大的创建,算筹事实上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此,3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9个数字表示的两位数的个数为 ()A.9 B.13 C.16 【解析】选C.依据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7;数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数;则一共可以表示14+2=16个两位数.3.(5分)α<0,幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是削减的,y=x-2是幂函数,由“三段论”可得结论__________.

【解析】“三段论”的结论是蕴涵于前提下的特别事实,结合大前提,小前提可得答案.答案:y=x-2在区间(0,+∞)上是削减的4.(5分)已知推理:“因为△ABC的三边长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形”.若将其复原成完整的三段论,则大前提是___________________.

【解析】大前提:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形;小前提:△ABC的三边长依次为3,4,5,满意32+42=52.结论:△ABC是直角三角形.答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形5.(10分)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=QUOTE.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.【解析】(1)如图,取AB的中点E,连接CE,DE.因为AC=BC=QUOTE,AB=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC,且平面ADB∩平面ABC=AB,DE平面ADB,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥CE.由已知,得DE=QUOTEAB=QUOTE,CE=1.所以在Rt△CDE中,CD=QUOTE=2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:当D在平面ABC内时,因为BC=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分线上,所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时,由(1)知,AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE,所以AB⊥CD.综上所述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.1.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国闻名数学家张遂在编制《大衍历》中独创了一种二次不等距插值算法:若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替:f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=QUOTE,k=QUOTE,k2=QUOTE.若令x1=0,x2=QUOTE,x3=π,请依据上述算法,估算sinQUOTE的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设y=f(x)=sinx,x1=0,x2=QUOTE,x3=π,则有y1=0,y2=1,y3=0,则k1=QUOTE=QUOTE,k=QUOTE=-QUOTE,k2=-QUOTE,由f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2)=-QUOTEx2+QUOTEx,可得sinx≈-QUOTEx2+QUOTExsinQUOTE≈QUOTE.2.如图所示,三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两相互垂直,O为点A在底面BCD上的射影.(1)求证:O为△BCD的垂心.(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.【证明】(1)因为AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,所以AD⊥平面ABC,所以AD⊥BC,又因为AO⊥平面BCD,所以AO⊥BC,因为AD∩AO=A,所以BC⊥平面AOD,所以BC⊥DO,同理可证CD⊥BO,所以O为△BCD的垂心.(2)猜想:QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.证明:连接DO并延长交BC于E