2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理内容标准学科素养1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简洁的推理；2.了解合情推理在数学发觉中的作用.加强直观想象提升数学运算严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第34页[基础相识]学问点一归纳推理eq\a\vs4\al(预习教材P70－72，思索并完成以下问题)(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？提示：属于归纳推理．学问梳理归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．学问点二类比推理eq\a\vs4\al(预习教材P72－74，思索并完成以下问题)科学家对火星进行探讨，发觉火星与地球有很多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们运用了什么样的推理？提示：类比推理．学问梳理类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．学问点三合情推理eq\a\vs4\al(预习教材P74－77，思索并完成以下问题)归纳推理和类比推理有何区分与联系？提示：区分：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．学问梳理合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过视察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理，通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程eq\x(从详细问题动身)→eq\x(视察、分析、比较、联想)→eq\x(归纳、类比)→eq\x(提出猜想)思索：1.归纳推理有哪些特点？提示：(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．如闻名的哥德巴赫猜想、费马猜想等．(2)由归纳推理得到的结论带有揣测的性质，所以“前提真而结论假”的状况是有可能发生的，结论是否正确，须要经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)一般地，假如归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越牢靠．(4)归纳推理能够发觉新事实，获得新结论，是科学发觉的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步探讨的起点，帮助人们发觉问题和提出问题．2．类比推理有哪些特点？提示：(1)类比推理是从人们已经驾驭了的事物的属性，推想正在探讨的事物的属性，即以原有相识作基础，类比出新的结果．(2)由类比推理得到的结论也具有揣测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具．(3)假如类比的两类对象的相像性越多，相像的性质与推想的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越牢靠．3．合情推理有哪些特点？提示：(1)合情推理的依据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、试验和实践的结果，以及个人的阅历等．(2)合情推理的结论往往超越了前提所界定的范围，仅仅是一种猜想，既可能为真，也可能为假．(3)在数学探讨中，得到一个新结论之前，合情推理经常能帮助我们揣测和发觉结论；合情推理不能作为数学证明的工具，但经常能为我们供应证明的思路和方向．[自我检测]1．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大解析：三个白色、两个黑色，依次类推，出现以5为周期的重复现象，所以第36颗珠子相当于新一轮的第一颗，故为白色．答案：A2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行类比解析：类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，则扇形的面积公式为S＝eq\f(弧长×半径,2)＝eq\f(lr,2).答案：C3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：面积涉及两个变量，故面积比为边长比的平方；体积涉及到三个变量，故体积比是边长比的立方．答案：1∶8授课提示：对应学生用书第35页探究一归纳推理[例1](1)视察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________．(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．[解析](1)本题主要考查数字的推理，由(1＋1)，(2＋1)(2＋2)；(3＋1)(3＋2)(3＋3)，可以推理出第n个等式的等号左边式子为(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)，由2×1,22×1×3,23×1×3×5，可以推理出第n个式子的等号右边式子为2n×1×3×5×…×(2n－1)．(2)f1(x)＝eq\f(x,1－x)，f2(x)＝f1[f1(x)]＝eq\f(f1x,1－f1x)＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)；f3(x)＝f2[f2(x)]＝eq\f(f2x,1－2f2x)＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2·\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－22x)；…猜想fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).[答案](1)(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(2)eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)延长探究在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(x∈N*)的表达式．[解析]∵f(x)＝eq\f(x,1－x)，∴f1(x)＝eq\f(x,1－x).又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－3x)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(\f(x,1－3x),1－\f(x,1－3x))＝eq\f(x,1－4x).因此，可以猜想fn(x)＝eq\f(x,1－nx).方法技巧(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特殊留意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的改变规律；②要特殊留意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，经常用到归纳推理揣测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②依据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．跟踪探究1.已知正项数列{an}满意Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，求出a1，a2，a3，a4，并推想正项数列{an}的通项公式．解析：令n＝1，有S1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，即a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，化简可得aeq\o\al(2,1)－1＝0，因为a1＞0，所以a1＝1；令n＝2，有S2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，即a1＋a2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，化简可得aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0，因为a2＞0，所以a2＝eq\r(2)－1；令n＝3，有S3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，即a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，化简可得aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，因为a3＞0，所以a3＝eq\r(3)－eq\r(2)；令n＝4，有S4＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋\f(1,a4)))，即a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋\f(1,a4)))，化简可得aeq\o\al(2,4)＋2eq\r(3)a4－1＝0，因为a4＞0，所以a4＝2－eq\r(3).因为a1＝1＝eq\r(1)－eq\r(0)，a2＝eq\r(2)－1＝eq\r(2)－eq\r(1)，a3＝eq\r(3)－eq\r(2)，a4＝2－eq\r(3)＝eq\r(4)－eq\r(3)，归纳揣测正项数列{an}的通项公式为an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).[例2]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：依据上面的规律，第n(n∈N*)个“金鱼”图须要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[解析]视察易知第1个“金鱼”图须要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分须要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分须要火柴棒6根……由此可揣测第n个“金鱼”图须要火柴棒的根数比第(n－1)个“金鱼”图须要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图须要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列{an}，易求得通项公式为an＝6n＋2(n∈N*)．[答案]C方法技巧归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面图形或空间图形的改变规律，探讨其一般性结论，通常需将图形问题数字化，呈现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：跟踪探究2.图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)，(3)是由这样的小正方体摆放而成的．依据这样的方法接着摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层……将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)依据要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________；(3)Sn＝________(n∈N*)．解析：第1层：1个；第2层：3个，即(1＋2)个；第3层：6个，即(1＋2＋3)个；第4层：10个，即(1＋2＋3＋4)个……由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，S10＝55.答案：(1)10(2)55(3)eq\f(nn＋1,2)探究二类比推理[例3]设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论：设等比数列{bn}的前n项积Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．[解析]设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)．在等比数列{bn}中，通过类比，有T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．证明如下：易知T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，所以eq\f(T8,T4)＝b5b6b7b8，eq\f(T12,T8)＝b9b10b11b12，eq\f(T16,T12)＝b13b14b15b16，所以eq\f(\f(T8,T4),T4)＝eq\f(\f(T12,T8),\f(T8,T4))＝eq\f(\f(T16,T12),\f(T12,T8))＝q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．[答案]eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)方法技巧(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比学问点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪探究3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解析：如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(