第24讲暑期检测（提升卷）

绝密★启用前|试题命制中心第24讲暑期检测（提升卷）考生注意：本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（上海市奉贤中学高三开学考试）抛物线的焦点为椭圆的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________【答案】【分析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到，求得后即可得到抛物线方程.【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为设抛物线方程为：，则抛物线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题.2．（2020·宝山区·上海交大附中高三开学考试）如果方程的两个根为、，那么的值为________【答案】【分析】先对方程进行因式分解变形得，求出的值，即可得答案；【详解】，或，，，故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）已知是R上的奇函数，则“”是“f

”的__________条件．选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”【答案】充分不必要【分析】利用奇函数的定义：若，则，则f

，可证明充分性成立；反之，通过举出反例令f

，当时，满足f

，但，则必要性不成立．【详解】函数f

是奇函数，若，则，则f

，即f

成立，即充分性成立；若f

，满足f

是奇函数，当时，满足f

，此时满足f

，但，即必要性不成立．故“”是“f

”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数的奇偶性，还考查分析求解问题的能力，属于基础题．4．（上海市七宝中学高三开学考试）（为虚数单位），则________【答案】【分析】设(),则,代入,整理后由复数相等的条件列式求得的值,根据的模为,即可求得.【详解】设(),则,代入,得:故:根据的模为故答案为:.【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.5．（上海市控江中学高三开学考试）方程的解是【答案】【分析】利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．【详解】由得，设t＝2x，则t＞0，则方程等价为t2+t2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝2（舍）由2x＝1得x＝0，故答案为．【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．6．（2021·上海市实验学校高三开学考试）若函数在区间上的零点个数为个，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】令，根据二倍角公式可得，即可求出函数的零点，从而求出参数的范围；【详解】解：令，得，即，故当时，零点分别为，因为函数在区间上的零点个数为个，所以.即故答案为：7．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）已知向量，满足，，则的取值范围是_____________.【答案】【分析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，令，平方得，由余弦函数的值域可得答案.【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则，令，则，又，所以，当时，有最大值20，当时，有最小值16，所以：，即的取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积运算，运用向量的数量积运算求向量的模，再由函数的值域求向量的模的最值的问题，属于中档题.8．（2020·宝山区·上海交大附中高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则实数最小值是________【答案】49【分析】因为，可知是的垂直平分线，，设，、、的长即可用表示，再利用余弦定理表示，利用数量积的定义将用表示，，利用函数求出，即得最小值.【详解】如图圆心，，因为，

所以是的垂直平分线，设与相交于点，则点是的中点，设，则，，恒成立，所以，在中，由余弦定理得：，所以，，因为，所以时，，即所以，故实数最小值是，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.9．（2021·上海徐汇区·位育中学高三开学考试）如图，已知，为的中点，分别以､为直径在的同侧作半圆，､分别为两半圆上的动点(不含端点､､)，且，则的最大值为___________.【答案】【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

以为直径的半圆方程为以为直径的半圆方程为，

设，可得即有，即又可得，即，，则可得即时，的最大值为，

故答案为：1．【点睛】关键点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，解答本题的关键是建立平面坐标系，得出，，由得出，由，属于中档题.10．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图像上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，点对与可看作一个“姊妹点对”.已知函数，则的“姊妹点对”有__________个．【答案】2【解析】根据题意，作出函数的图象关于原点对称的图象，以及函数的图像，如下图，观察图象可得：它们的交点个数是个；即的“姊妹点对”有个．点睛：根据题意：“姊妹点”，可知，欲求的“姊妹点”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．11．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知､与､是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为___________.【答案】【分析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于的方程，也即是函数和的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点，，，，借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合只能有1个元素.【详解】转化为和图像交点，为了简化问题，我们可以研究，，设，，设，，，，①由图像易知，1个交点容易得到，如时，可求得唯一一个交点为而0个交点和2个交点都是不可能的.②假设有0个交点，由题意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0个交点；③假设有2个交点，，，∴，，∴，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集不是无限集时，集合的元素个数只有1个.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.12．（2019·上海普陀区·曹杨二中高三开学考试）若数列满足，且对任意都有，则的最小值为________.【答案】8【分析】根据题意，分析数列的前5项，结合递推公式分析可得在在中，最大为，设，分析可得，且，将其变形可得，可以得到数列是首项为﹣2，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列通项公式，则有，据此分析恒成立可得答案．【详解】解：根据题意，数列满足当时，有，则，，分析可得：在中，最大为，设，则有，且，变形可得：，所以数列是首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则，则，即，又为递增数列，且，所以若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8；故答案为8【点睛】本题考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）已知是二次函数，不等式的解集是，则的解集是（）A．(0，e) B．(1，2) C．(0，1) D．(2，e)【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集可得当时，，从而可得，再利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】是二次函数，不等式的解集是，可得时，，所以时，则，解得，所以的解集是(0，1).故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集、指数函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14．（上海黄浦区·格致中学高三开学考试）若，满足约束条件，则的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值.【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:,根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点,联立,解得,所以,将代入目标函数可得的最大值为6.故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.15．（2020·上海市行知中学高三开学考试）已知平面上点O与线段，若线段上有个异于端点A、B的互异动点、、、，且满足，、，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据共线求得的关系式，结合基本不等式求得的取值范围.【详解】，所以对任意均成立，并且当且仅当时等号成立.由于共线，所以，由于在线段上且异于端点，结合以及平行四边形法则可知.若，此时为线段中点，仅有点，但.所以.故选：B【点睛】本小题主要考查基本不等式，属于中档题.16．（2021·上海市实验学校高三开学考试）单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】假设是中大于0的最大的4项，由题意得和中至少有一个是中的项，得到，进而得到和都不是中的项，再由题意得和中至少有一个是中的项，得到以，得出中大于0的最多有3项，进而得出存在数列满足题意，得到答案.【详解】假设是中大于0的最大的4项，对于来说，因为，所以和都不是中的项，又由题意得和中至少有一个是中的项，所以是中的项，且，所以，对于来说，因为，所以和都不是中的项，又由题意得和中至少有一个是中的项，所以是中的项，且，所以，所以，矛盾，所以中大于0的最多有3项，同理，中小于0的最多有3项，加上0，故的最大值为7，此时存在数列满足题意.故选C.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（2020·宝山区·上海交大附中高三开学考试）已知函数.（1）画出的图像；（2）求不等式的解集；（3）若不等式，对于任意的，任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）图像见解析；（2）；（3）或.【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由图象得的最小值，然后问题转化为对任意恒成立，引入函数，这是关于的一次函数，由一次函数性质易得结论．【详解】（1）由题设知的图像如图所示.（2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像，的图像与的图像的交点坐标为，由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，∴不等式的解集为．（3）由函数图像性质可知，当时，取得最小值，则原问题转化为对任意恒成立，即对任意恒成立，记函数，要使对任意恒成立，只需，即，解得：或.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．18．（2021·宝山区·上海交大附中高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求曲线的方程；（2）若点也在曲线上，且，求的面积；（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在满足题意，证明见解析.【分析】（1）根据双曲线定义，结合焦点坐标，写出双曲线方程；（2）设，根据条件写出，代入双曲线方程，解得两点坐标，从而求得面积；（3）不妨设在第一象限，则，，设，表示出斜率，，证得，从而.【详解】（1）根据定义动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线右支，故曲线右支的方程为（2）设，则且，故因为，均在曲线上，所以当时，，的面积为；当时，，的面积为；综上，的面积为（3）当时，易知，，若存在，则.不妨设在第一象限，则，，设，则，，即，综上，存在满足题意.19．（2020·宝山区·上海交大附中高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【答案】（1）6；（2）4；（3）或.【分析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆的方程为∴,由椭圆定义可得：.∴的周长为（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，∴∵准线方程为∴∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.（3）设，点到直线的距离为.∵，∴直线的方程为∵点到直线的距离为，∴∴∴①∵②∴联立①②解得，.∴或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.20．（2020·上海市行知中学高三开学考试）定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集，①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）①；②.【分析】（1）写出的所有非空子集，然后计算积数，并变形可证；（2）猜想，用数学归纳法证明；（3）设的元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为，则，构造集合，则，的元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为，两者结合可得．【详解】（1）证明：集A有七个非空子集“积数”之和，即（2）解：有限数集，可得数集A中的所有非空子集的“积数”之和；下面，证明（数学归纳法），改变一下记号，的积数和记为．当时，命题成立；当时，，假设命题成立；当时，由于，即在原来A中k个元素的基础上增加一个元素，那么集合中所有非空子集含盖了A中的所有非空子集，并增加了含有元素的子集，共个故它的“积数”之和包括，再增加了，即因此，对一切命题成立.（3）解，有限数集的所有子集的积数之和，设集