数学学案：课堂导学基本不等式（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k，总有（）A。2∈M，0∈MB。2M,0MC.2∈M，0MD.2M,0∈M解析:M={x｜x≤},∵=k2-1+=(k2+1)+—2≥—2>2，∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值。在本例中表达式经过变形化为“x+(a>0）”型的式子，然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时，形如“x+(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型，有很多最值问题可转化为该类型,因此，在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M（-2，0),N（2，0）,动点P满足条件｜PM｜—|PN|=,记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2)若A,B是W上的不同两点，O是坐标原点,求的最小值.解析:（1)由｜PM｜-|PN｜=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=。又半焦距c=2,故b=。所以W的方程为=1（x≥）.（2）设A(x1，y1）,B（x2,y2）,则xi2—yi2=(xi+yi）（xi—yi)=2（i=1，2）。令si=xi+yi，ti=xi—yi，则siti=2,且si〉0，ti〉0(i=1，2），所以=x1x2+y1y2=(s1+t1）(s2+t2)+(s1-t1）（s2—t2）=s1s2+t1t2≥=2。当且仅当s1s2=t1t2，即时“="成立,所以的最小值是2.变式提升1若对任意正数x，y，都有a≤,则实数a的最大值是（）A.B.2C.D。解析:由≥=,故选A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例2】已知x〉0,y>0，且+=1,求x+y的最小值.解法一：∵x>0,y〉0,+=1,∴x+y=(x+y）(+)=10+≥10+6=16，当且仅当。又∵+=1,∴x=4，y=12时，上式等号成立.故当x=4，y=12时，x+y取最小值16.解法二:∵+=1，x〉0,y〉0，∴y=且x〉1。故x+y=x+=x++9=（x—1）++10≥6+10=16。当且仅当x—1=，∵x〉1，∴x=4时上式等号成立。解法三：∵+=1,∴y+9x=xy，得(x-1)(y-9)=9。又由条件知x>1，y〉9,∴x+y=（x—1）+(y-9)+10≥+10=16。当且仅当x-1=y—9=3，即x=4,y=12时，x+y取最小值16。温馨提示解法一、解法三的技巧性较强，解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些，这是解此类问题的通法。类题演练2若a,b，c>0且a(a+b+c）+bc=4—，则2a+b+c的最小值为（）A.-1B.+1C。+2D.-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-a（a+b)+(a+b）c=(a+b）（a+c)=4—。而2a+b+c=(a+b)+(a+c）≥=—2.当且仅当a+b=a+c，即b=c时等号成立。答案：D变式提升2已知x，y∈R+，且x+y=1,求+的最小值.解法一：0<x〈1。记f（x）=+=+.令t=2-x,∵x∈(0,1）,∴-x∈（-1,0)，t∈(1,2）。则f（x）=,∵t∈（1,2），∴t+。∴-（t+)≤，0〈3—（t+）≤3。∴f（x)==3+。∴f（x)max=3+。此时t=t=2—x=x=2—。解法二：由得0〈x<1。∴=(x+y)（）=3+x。当且仅当（又x+y=1)时“=”成立,即x=2-,y=—1时,的最小值为3+.三、利用基本不等式解决实际应用问题【例3】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为am，高为bm，已知流出的水中杂质的质量分数与乘积ab成反比，现有制箱材料60m2思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与ab成反比，若设y为流出的杂质的质量分数，那么y=，其中k为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积ab为最大.解法一：设y为流出的杂质的质量分数,则y=,k〉0，k为比例系数,依题意,即所求的a，b的值,使y最小。依题设，有4b+2ab+2a=60（a>0,b〉0），得b=（0〈a〈30)。①于是y=当a+2=时取等号,y达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去），将a=6代入①得b=3。∴当a为6m，b为3m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小。解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y=.其中k为比例系数，k>0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值。依题设4b+2ab+2a=60，即ab+2b+a=30（a>0，b〉0)。∵a+2b≥(当且仅当a=2b时取“=”）,∴ab+≤30,可解得0〈ab≤18。由a=2b，及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6，b=3时,ab取最大值,从而y值最小。类题演练3甲,乙两个同学同时到同一个商店分别买了两次糖,甲同学每次买一元钱的,乙同学每次买一斤,如果两次糖的价格不同,问甲，乙两同学谁买的更便宜？解析:甲同学乙同学设糖的价格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花钱2元（a+b)元共买糖(+）斤2斤平均价格甲的平均价格—乙的平均价格=-=〈0。（∵a≠b）答:甲同学买的糖比乙同学便宜。变式提升3某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元.使用规定,不记名，每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元，若使每个同学游8次，每人最少得交多少钱？解析：设分n