第八章第4节两套抛物线的焦半径与焦点弦公式-

第4节两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：标准方程图形焦半径公式焦点弦公式2．如图，设抛物线的焦点为F，为抛物线的一条焦点弦，．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下：①；②；③.典型例题【例1】抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，则______.【解析】由焦半径公式，【答案】4变式1抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，且，则点A的坐标为______.【解析】设，则.【答案】变式2抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：，设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长.解法2：直线l被抛物线C截得的弦长.【答案】变式3抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线被抛物线C截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为，弦长.【答案】【例2】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_____.【解析】设，则，所以，故.【答案】变式1过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，且，则______.【解析】不妨设直线的倾斜角为锐角，如图，设，则，所以，，从而，故.【答案】变式2过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则______.【解析】不妨设直线为如图所示的情形，设，则，，.【答案】变式3已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于点A，线段与抛物线C相交于点B，且，则抛物线C的方程为______.【解析】如图，作于，直线的倾斜角为120°，由抛物线定义，，所以，易得，所以，解得：，故抛物线C的方程为.【答案】变式4设F为抛物线的焦点，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为原点且的面积为，若线段的中垂线与x轴相交于点M，则______.【解析】解法1：如图，，设直线，，，其中，联立消去x整理得：，故，，所以中点为，中垂线的方程为，令得：，所以，故，又，原点O到直线l的距离，所以由题意，，所以，将代入整理得：，所以.解法2：如图，，则，①，设中点为G，则，所以，由①知，故.【答案】2变式5过抛物线焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于A、B和D、E四点，则四边形面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，，设直线的方程为，，，联立消去x整理得：，所以，，故，用替换m可得：，从而四边形的面积当且仅当时等号成立，即四边形面积的最小值为32.解法2：不妨设直线为，则直线的倾斜角为，由焦点弦公式，，，四边形的面积，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，则______.【解析】由焦半径公式，.【答案】42.（★★）抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，且，则点A的坐标为______.【解析】设，则.【答案】3.（★★）抛物线的焦点为F，过F斜率为3的直线l与抛物线C交于A、B两点，则=______.【解析】设直线l的倾斜角为，.【答案】4.（★★★）抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则的面积为______.【解析】设，则，所以，故.【答案】5.（★★★）过抛物线焦点F的直线l与C交于A、B两点，若，则______.【解析】如图，设，则.【答案】6.（★★★）过抛物线的焦点F的直线1与C交于A、B两点，若，则______【解析】设直线的倾斜角为，则.【答案】47.（★★★）过抛物线的焦点F的直线与C交于A、B两点，若，则______.【解析】设，则，，【答案】8.（2012·重庆·★★★）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，，则=______.【解析】不妨设直线的倾斜角为锐角，如图，设，则，所以，从而，故.【答案】9.（★★★）如下图所示，经过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C及其准线相交于A、B、C三点，若，且，则______.【解析】设，则，过B作准线于D，则，，所以.【答案】310.（★★★★）过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交圆于M、N两点，其中P、M位于第一象限，则的最小值为______.【解析】如图，设，由题意，，，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F为抛物线的焦点，经过F且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，线段的中垂线与x轴相交于点M，则=______.【解析】解法1：由题意，，直线的方程为，设，，联立消去x整理得：，所以，，从而中点G为，故中垂线的方程为令得：，所以，故，所以.解法2：如图，G为中点，由题意，是等腰直角三角形，，所以.【答案】212.（★★★★）已知抛物线的焦点为F，准线为l，若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段与抛物线C相交于点B，且，则抛物线C的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取，则，直线的方程为，由得：，解得：，显然点B在x轴上方，所以，故，从而点B的坐标为因为，而，，所以，解得：，故抛物线C的方程为.解法2（特值法）：取直线的倾斜角为120°，如图，则，此时，而，所以，将、代入可得，故抛物线C的方程为.解法3（极限位置分析法）：让点A无限接近点，则点B无限接近原点，此时即为，解得：，所以抛物线C的方程为解法4：设，则，由可得，即所