第5课时基本不等式

第5课时基本不等式编写：廖云波【回归教材】1.基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2.几个重要的不等式（1）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.（2）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即3.均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.4.常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.【典例讲练】题型一利用基本不等式求最值【例11】对勾函数求下列函数的最值（1）已知，则函数的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为，所以，,当且仅当，即时，等号成立.故当时，取最大值，即.故答案为：3.（2）已知，则函数的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故当时，取最小值，即.故答案为：3.（3）已知，则函数的最小值为___________.【答案】【例12】最值定理（1）已知，则取得最大值时的值为________．【答案】

【解析】【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；【详解】解：（1），当且仅当，即时，取等号．故答案为：.（2）若x，y为实数，且，则的最小值为（

）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【详解】由题意可得，当且仅当时，即等号成立.故选：C．【例13】“1”的妙用（1）若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】，当且仅当时，即时，的最小值为.故答案为：.（2）已知，，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得.【详解】因为所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：【例14】分离常数法当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.【例15】换元法已知正数x，y满足，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，，则，即，∴，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.【例16】消元法已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根据变形得，进而转化为，用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【例17】一元二次不等式法已知，，，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】由，可推出，而，代入所得结论即可．【详解】解：，，即，当且仅当，即或时，等号成立，，，的最大值为．故答案为：．【例18】拆项法是不同时为0的实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．归纳总结：【练习11】（1）已知，求函数的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【答案】（1）；（2）18．【解析】【分析】（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.【详解】（1）设，因为，可得，且，故，因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立．所以函数的值域为．（2）由，可得，即，则．当且仅当，即且时，等号成立，所以的最小值为．【练习12】已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用乘1法即得.【详解】∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.【练习13】已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】证明，由，即，结合基本不等式求出，即可得出答案.【详解】解：因为，则，则，即，又，因为，所以，所以，即，当且仅当时，取等号，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：2.【练习14】已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．【详解】由已知，当且仅当时等号成立，所以，，又，所以，即的最小值是4，此时．故选：C．【练习15】设，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设，则，条件，所以，即.故选：D.法二：（三角换元）由条件，故可设，即，由于，，故，解得所以，，所以,当且仅当时取等号.故选：D.题型二求数、式的范围【例21】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则(1)ab的取值范围是__；(2)a＋b的取值范围是____．【答案】（1）_[9，＋∞)（2）[6，＋∞)[解析](1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，令t＝eq\r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．∴t≥3即eq\r(ab)≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(eq\f(a＋b,2))2．今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．【例22】已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是。【答案】【解析】因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.归纳总结：【练习21】若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81【答案】D【解析】【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D题型三证明不等式【例31】（1）设且．证明：；（2）已知为正数，且满足．证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将展开可得，由题意可得，，都不为，则即可求证；（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论【详解】（1）因为，所以，因为，所以，，都不为，则，所以.（2）因为a，b，c为正数，，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，即【例32】设，为正实数，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号；归纳总结：【练习31】设a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；（2）根据均值不等式可证不等式成立.(1)因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，即，即，当且仅当时，等号成立.(2)因为,所以，当且仅当时，等号成立，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.题型四实际应用【例41】在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．【详解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是，故选：B【例42】的外接圆半径，角，则面积的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选：A【例43】春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时．(1)求该车型的平均车长；(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？【答案】(1)5(2)80千米/小时【解析】【分析】（1）依题意当时，，代入计算可得；（2）由（1）可得，利用基本不等式计算可得；(1)解：由题意：当时，，，．该车型的平均车长为5米．(2)解：由（1）知，函数的表达式为（）．，．当且仅当，即时取等号．故当汽车的平均速度为千米/小时时车流量达到最大值．归纳总结：【练习41】如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.【答案】

4

48【解析】【分析】设，则，则，结合基本不等式即可得解.【详解】解：设，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.【练习42】根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．【答案】．【解析】【分析】用料最省时，即三棱锥体积最大，由垂直关系确定为球直径，由球体积求得，设，表示出棱锥体积，由基本不等式得最大值．【详解】解：设球的半径为R，由球的体积，解得．因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．由可知，AC为截面圆的直径，故可设，在中，，在中，，所以．当且仅当，即时，等号成立．所以当用料最省时，．【练习43】在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（，），则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值．【详解】连接，如图，中，，点满足，,，，（，）,,因为，，三点共线，所以，，,所以=()()==，当且仅当,即时取“”，则的最小值为.故选：A.【请完成课时作业（五）】

【课时作业（五）】A组基础题1．若、，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.2．已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.【详解】因为，，，所以，∴，当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C3．已知是圆上一点，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号（），要使尽可能大，则，依题意，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：B4．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，则可得，从而可求出面积的最大值【详解】因为，所以由正弦定理可得，得，由余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为，故选：B5．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标可得，由，利用基本不等式取等条件可确定当取最小值时，由此可得双曲线离心率.【详解】由题意得：；（当且仅当时取等号），当取最小值时，双曲线的离心率为.故选：C.6．若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；，解得，，所以的最大值为故选：A7．若、、均大于0，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值.【详解】解：、、均大于0,当且仅当时取“=”,的最大值为.故选:C8．（多选题)设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式判断．【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD9．已知正实数、满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【详解】10．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.【详解】由得．又，当且仅当，即当时等号成立，∴，∴的最大值为．故答案为：11．已知，且，则的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】，而，当且仅当时等号成立，由可得或，故，当且仅当或等号成立，故的最小值为.故答案为：.12．能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时，隔热层厚度__________厘米.【答案】【解析】【分析】根据题意解得参数的值，及函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最小值即可.【详解】解：由题意得，当时，，解得，又，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.13．在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简，结合角度的范围与正切函数值即可；（2）根据余弦定理结合基本不等式、三角形三边的关系求解即可因为，所以，当且仅当时等号成立，即，解得或（舍去），即的最小值为4，当且仅当时等号成立.故答案为：4(1)∵，∴，即，∵，∴，∵，∴.(2)由余弦定理可知，代入可得，当且仅当时取等号，∴，又，∴的取值范围是.B组能力提升能1．已知，，，且，则（

）A．有最大值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最小值1【答案】A【解析】【分析】根据，在同理得到其他不等式，将不等式相加化简即可得出结论【详解】，，有①当且仅当时等号成立

②当且仅当时等号成立

③