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文档简介

第二十三章三角函数的图像与性质思维导图知识要点知识要点1.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(k∈Z)

函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR

图像值域[-1,1][-1,1]R对称性对称轴:

对称中心:(kπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心:

对称中心:

周期2π2ππ单调性单调增区间:单调减区间:单调增区间:[2kπ-π,2kπ](k∈Z)单调减区间:

[2kπ,2kπ+π](k∈Z)单调增区间:

奇偶性奇函数偶函数奇函数2.“五点法”作图(1)y=sinx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0),,(π,0),,(2π,0).(2)y=cosx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1),,(π,-1),,(2π,1).3.函数y=Asin(ωx+φ)的特征若函数y=Asin(ωx+φ)[A>0,ω>0,x∈(-∞,+∞)]表示一个振动量,则A叫做振幅,叫做周期,叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.4.y=Asin(ωx+φ)的图像变换(1)若先平移再伸缩,则平移的单位|φ|.(2)若先伸缩再平移,则平移的单位.5.函数y=asinx+bcosx可化成正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的形式y=asinx+bcosx=,其中tanθ=,常见形式是a∶b=1∶1(∶),a∶b=1∶,a∶b=3∶4.典例解析典例解析【例1】辨析感悟:对三角函数的图像与性质理解.(1)由sin(30°+120°)=sin30°知,120°是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.()(2)函数y=是奇函数.()(3)函数y=sinx的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).()(4)存在x∈R,使得2sinx=3.()【变式训练1】函数sinα=,求a的取值范围【例2】求函数y=cos2x+sinx-1,x∈[-π,0]的最大值与最小值.【变式训练2】求函数y=cos2x-sinx,x∈[0,π]的最大值与最小值.【例3】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,则ω=________.【变式训练3】已知函数f(x)=Asin(wx+φ)在一个周期内的一个最高点为,一个最低点为,则w=_______,φ=________.【例4】已知f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且(1)求ω和φ的值;(2)作出函数f(x)在[0,π]上的图像.【变式训练4】函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),图像的一个对称中心为.求:(1)φ的值;(2)f(x)的增区间.【例5】已知函数y=Asin(ωx+φ)的周期为π,且图像上有一个最低点为M.求f(x)的解析式.【变式训练5】已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π)的最小正周期为4π,且图像有一个最低点为.求f(x)的解析式.【例6】将函数y=cos2x的图像怎样平移可以得到函数y=cos的图像?【思路点拨】利用左“加”右“减”的平移规律.【变式训练6】函数y=的图像通过向右平移个单位,得到另一个函数图像,求平移后函数的解析式.【例7】已知函数f(x)=sin2x-cos2x.求f(x)的最小正周期和对称轴方程.【变式训练7】已知函数f(x)=.求f(x)的最小正周期和最大值.高考链接高考链接1.函数y=的图像是()2.函数y=的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π3.把函数y=的图像向右平移,得到的图像所对应的函数是()A.y=B.y=C.y=D.y=4.(四川省2018年对口升学考试试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的对边分别为a,b,c.(1)设△ABC的面积为S,证明:S=;(2)已知△ABC的面积是1.记u=a2+b2-abcosC.证明:u≥.同步精练同步精练选择题1.将函数f(x)=的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图像,则g(x)的解析式为()A.g(x)=cos2xB.g(x)=cos2x-2C.g(x)=D.g(x)=2.函数f(x)=2cos2x+1是()A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数3.函数y=cos2x的图像的一个对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=4.函数y=的一个单调增区间为()A.B.C.D.5.下列函数中周期为π且为偶函数的是()A.y=B.y=C.y=D.y=6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件填空题7.要得到函数y=的图像,只需将函数y=的图像向_______平移________个单位.8.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=_______.9.函数f(x)=2sin22x的

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