2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】圆中的分类讨论思想（解析版）

圆中的分类讨论思想知识方法精讲1．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．2．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．3．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．4．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．5．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．8.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共9小题）1．（2021秋•崇川区校级月考）是的弦，，则弦所对的圆周角是A． B． C．或 D．或【考点】圆周角定理【分析】由的弦所对的圆心角，根据圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦所对的圆周角的度数【解答】解解：的弦所对的圆心角，弦所对的圆周角的度数为：或．故选：．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意弦所对的圆周角有一对且互补．2．（2020秋•溧阳市期末）已知是半径为2的圆内接三角形，若，则的度数为A． B． C． D．或【考点】垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含角的直角三角形的性质，求得答案．【解答】解：如图，作直径，连接，则，是半径为2的圆内接三角形，，，，，，，，的度数为：或．故选：．【点评】此题考查了圆周角定理与含角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．是的弦，，则弦所对的圆周角是A． B．或 C． D．或【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：；当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：；所以弦所对的圆周角是或．故选：．【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．4．已知在半径为2的中，圆内接的边，则的度数为A． B． C．或 D．或【考点】圆周角定理；解直角三角形【分析】过圆心作的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心角的度数，由此可求出的度数．（注意所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）【解答】解：如图，连接、，过作于．在中，，，，，．点的位置有两种情况：①当点在如图位置时，；②当点在点位置时，．故选：．【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用．注意点的位置有两种情况，不要漏解．5．如图，的半径为1，是的一条弦，且，则弦所对圆周角的度数为A． B． C．或 D．或【考点】垂径定理；圆周角定理【分析】连接、，过作的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数；由于弦所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧；所以弦所对的圆周角也有两个，因此要分类求解．【解答】解：如图，连接、，过作的垂线；在中，，；，；；四边形是的内接四边形，；因此弦所对的圆周角有两个：或；故选：．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质；注意：弦所对圆周角有两个，不要漏解．6．（2021秋•孝南区月考）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是A．或 B． C． D．或【考点】点与圆的位置关系【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【解答】解：①当点在圆外时，圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为7，圆的直径为，该圆的半径是2.5；②当点在圆内时，点到圆周的最短距离为2，最长距离为7，圆的直径，圆的半径为4.5，故选：．【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．7．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是A．或 B． C． D．或【考点】点与圆的位置关系【分析】设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可．【解答】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则：此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离有两种情况：当此点在圆内时，如图所示，半径；当此点在圆外时，如图所示，半径；故圆的半径为或故选：．【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．8．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是A． B． C．或 D．或【考点】点与圆的位置关系【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点在圆内时，直径最小距离最大距离；当点在圆外时，直径最大距离最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是；②当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是．故选：．【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．9．（2020秋•丽水期末）已知外接圆的半径为2，，则的度数是A． B．或 C．或 D．或【考点】三角形的外接圆与外心【分析】作直径，点在上，点在上，如图，根据圆周角定理得到，再利用正弦的定义求出，则利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得到和的度数．【解答】解：作直径，点在上，点在上，如图，为直径，，在中，，，，，即的度数是或．故选：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．二．填空题（共7小题）10．（2020秋•佳木斯期末）的半径为，，是的两条弦，，，．则和之间的距离为或．【考点】垂径定理；平行线之间的距离；勾股定理【分析】分两种情形讨论：①如图1中，和在圆心的同侧，连接，，作直线于交于点，由，即可推出，则为，之间的距离，通过垂径定理和勾股定理求出和的长度即可．②如图2中，和在圆心两侧，连接，，作直线于交于点，由，即可推出，则为，之间的距离，通过垂径定理和勾股定理求出和的长度即可．【解答】解：①如图1，当和在圆心的同侧，连接，，作直线于交于点，，，，，，，的半径为，，，，，．②如图2，当和在圆心两侧，连接，，作直线于交于点，，，，，，，的半径为，，，，，．平行弦，之间的距离为或．故答案为：或．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．（2020•枣阳市校级模拟）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆周角的度数为或．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是．【解答】解：根据题意，弦与两半径组成等边三角形，先所对的圆心角，①圆周角在优弧上时，圆周角，②圆周角在劣弧上时，圆周角．圆周角的度数为或．【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的．12．（2021秋•台安县期中）一个已知点到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是6或3．【考点】点与圆的位置关系【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【解答】解：①当点在圆外时，圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为9，圆的直径为，该圆的半径是3；②当点在圆内时，点到圆周的最短距离为3，最长距离为9，圆的直径，圆的半径为6，故答案为6或3．【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．13．平面上一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为5或2．【考点】点与圆的位置关系【分析】解答此题应进行分类讨论，点可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点在圆内时，则直径，因而半径是；当点在圆外时，直径，因而半径是．故答案为5或2．【点评】解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．14．在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是或．【考点】垂线段最短；勾股定理；直线与圆的位置关系【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．【解答】解：如图，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．根据勾股定理求得．分两种情况：（1）圆与相切时，即；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．或．【点评】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．15．（2022秋•武汉期末）如图，，分别与相切于，两点，为上异于，的一点，连接，．若，则的大小是或．【考点】圆周角定理；切线的性质【分析】连接、，根据切线的性质得到，，进而求出，分点在优弧上、点在劣弧上两种情况，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接、，，分别与相切于，两点，，，，，当点在优弧上时，，当点在劣弧上时，，故答案为：或．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为1的与的一边相切时，的长为或或．【考点】切线的判定与性质【分析】分三种情况讨论解答：①与边相切，②与边相切，③与边相切，依据题意画出图形，利用切线的性质，过点分别作各边的垂线段，利用比例式即可求得结论．【解答】解：①当与边相切时，如图，过点作，则为切点，．，．．，，；此时，点与点重合．②当与边相切时，如图，过点作，则为切点，．，．．由①得：，．，解得：；③当与边相切时，如图，过点作于点，则为切点，．过点作于点，，，．．，，．．．．，，．．，．综上，当半径为1的与的一边相切时，的长为或或．故答案为：或或．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，利用切线的性质得到圆心到直线的距离等于圆的半径和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．三．解答题（共2小题）17．（2021秋•新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心点放置在的中点上，与直角边重合，如图1所示，，，，，量角器交于点，，现将量角器绕点旋转，如图2所示．（1）点到边的距离为．（2）在旋转过程中，求点到距离的最小值．（3）若半圆与的直角边相切，设切点为，求的长．【考点】圆的综合题【分析】（1）如图1，过点作于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求得答案．（2）当时，点到的距离最小，再由，即可求得答案．（3）分两种情况：①当半圆与相切时，如图2，设切点为，连接，运用勾股定理即可求得答案；②当半圆与相切时，如图3，设切点为，连接，运用勾股定理求得，再利用勾股定理即可求得．【解答】解：（1）如图1，过点作于点，，，，，，，，即点到边的距离为，故答案为：（2）为的中点，，当时，点到的距离最小，，点到距离的最小值为．（3）①当半圆与相切时，如图2，设切点为，连接，，在中，，，，；②当半圆与相切时，如图3，设切点为，连接，，在中，，，，在中，；综上所述，的长为或．【点评】本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题．18．如图1，平行四边形中，，，．点为射线上一点，以为直径作交、于、两点．设的半径为．（1）如图2，当与相切时，4．（2）如图3，当点与点重合时，①求线段长度；②求阴影部分