数学学案：课堂探究圆的一般方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一二元二次方程表示圆的条件方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法：(1)(配方法）对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆;（2）（运用圆的一般方程的判断方法求解)即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．【典型例题1】若关于x，y的方程x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示的曲线是圆，则m＋n的取值范围是（）A。B。C.D.解析:因为x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示圆，所以解得n＜,所以m＋n＜.答案:A探究二用待定系数法求圆的方程1．用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下：2．对圆的一般方程和标准方程的选择：（1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2）如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E,F.【典型例题2】(1）已知A(－1,1），B(6,0)，C(－1，7）,则△ABC的外接圆的方程是__________．解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B,C三点的坐标代入方程，解方程组得D＝－6,E＝－8，F＝0,从而圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0。答案:x2＋y2－6x－8y＝0(2)求圆心在y＝－x上且过两点（2，0)，（0，－4)的圆的一般方程,并把它化成标准方程．解:探究三与圆有关的轨迹问题圆是一个双重对称图形,与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等．(1）直接法：根据题设，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点所满足的关系式；（2)定义法:当所列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出点的轨迹方程；（3）相关点代入法:若动点P(x，y)因为圆上的另一动点Q(x1，y1）而运动，且x1，y1可用x，y表示，则将Q点的坐标代入已知圆的方程，求得动点的轨迹方程．【典型例题3】已知一曲线是与两定点（0,0)和（3，0）距离之比为m（m>0)的点的轨迹,求此曲线方程，并说明是什么曲线．思路分析：设动点坐标为(x，y）,将题设条件等式用方程给出,化简方程为最简形式即可．解：设所求曲线上任一点的坐标为P(x，y），由题意得,＝m，即(m2－1）x2＋(m2－1)y2－6m2x＋9m2＝0.当m＝1时，x＝，其轨迹为两点的中垂线；当m≠1时，方程可化为2＋y2＝2，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评求轨迹方程与轨迹是不同的，求轨迹方程时只需要求出方程，求轨迹时，不仅要求出轨迹方程，还要指出方程表示的图形，如果方程中含有参数要分类讨论，如有不符合条件的点要舍去．【典型例题4】已知点P在圆C:x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．解法一：设点M（x，y),点P（x0，y0)，则所以因为点P(x0，y0）在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，所以x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0。所以(2x)2＋（2y)2－8·(2x）－6·（2y）＋21＝0。即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.解法二：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA。圆C的方程可化为(x－4)2＋（y－3）2＝4，圆心C（4,3)，｜CP|＝2,则点A的坐标为。如图所示，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点,则｜MA|＝｜CP|，即|MA|＝1.又当O，C，P三点共线时,|MA|＝1.所以点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋2＝1.探究四求圆关于点（线)对称的圆1．求圆C：（x－a)2＋（y－b）2＝r2关于点P(x0，y0）对称的圆的方程，首先要找出圆心C(a，b)关于点P(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变，即得所求圆的方程．2．求圆关于直线mx＋ny＋p＝0对称的圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点即可．【典型例题5】试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称的曲线C′的方程．思路分析:对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．解法一：设P′(x，y）为所求曲线C′上任意一点，P′关于l的对称点为P（x0,y0)，则P（x0，y0）在圆C上．由题意可得解得(*）因为P（x0，y0）在圆C上，所以x20＋y20－x0＋2y0＝0，将（＊)代入，得（y－1）2＋（x＋1）2－（y－1）＋2（x＋1)＝0.化简，得x2＋y2＋4x－3y＋5＝0,即曲线C′的方