数学学案：例题与探究均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1已知a、b、c是正实数，求证：≥a+b+c.思路分析：由于要证的不等式两边都是三项，而我们掌握的均值不等式只有两项，所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b、c是正实数，∴=2c（当且仅当，即a=b时，取等号），（当且仅当，即b=c时,取等号），=2b（当且仅当,即a=c时，取等号）.上面3个不等式相加,得≥2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时，取等号）。∴≥a+b+c。绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法,其逻辑关系是AB1B2B3…Bn-1BnB.(条件）（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知"，推向已知的“性质”,从而逐步推向“未知".变式训练已知a，b,c都是正实数，且a+b+c=1。求证：.思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式,同时对等号成立的条件进行估计.证明:,同理，，,三个不等式相加，得≤。整理，得（当且仅当a=b=c=时，等号成立）。例2x＜时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值，但是x·并不是定值,也不能保证是正值，所以，必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=（2x—3)++，再求最值.解:y=（2x-3)++=-（）+，∵当x＜时，3-2x＞0,∴=4，当且仅当，即x=—时,取等号。于是y≤—4+=，故函数有最大值.绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3—2x=t，则t＞0，把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了。变式训练1已知x＞0，y＞0且5x+7y=20，求xy的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正;②定；③相等.解：xy=·5x·7y≤.当且仅当5x=7y，即x=2,y=时取等号。∴xy的最大值为。变式训练2若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____________.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察,方法是均值不等式放缩。或者利用函数法来解决。方法一:由ab=a+b+3≥+3（等号成立条件为a=b），整理,得ab-—3≥0，（—3）（+1)≥0。∴≥3,∴ab≥9。方法二:由ab=a+b+3，可得b=（a＞0，b＞0），∴a＞1，又ab=a·=［(a—1）+1］=(a+3）+=a—1+4+，等号成立条件为a—1=,即a=3。答案：［9，+∞)例3求y=（0＜x＜π）的最小值.思路分析：在运用基本不等式求最值时,经常会出现不满足“正数、定值、等号"的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形,常要讨论函数的单调性,再作出判断.本题的关键是等号取不到时,通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值.解：∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1。设t=，t∈（0，]，则sinx=2t，∴y=t+(0＜t≤）.可证明函数y=t+，当t∈（0，］时为减函数。∴当t=，即=，sinx=1，x=时，y有最小值2+=.∴ymin=。黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件，而得出错误的解法和答案：∵0＜x＜π,∴0＜sinx≤1。∴y==2。∴ymin=2。变式训练已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）。（1)当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围。思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值。（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化。（1)解：当a=时,f（x)=，∵f（x）在区间［1，+∞）上为增函数，∴f（x）在区间［1，+∞）上的最小值为f(1）=.（2）解法一：在区间［1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立。设y=x2+2x+a，则y=x2+2x+a=（x+1）2+a—1在x∈[1，+∞）上递增，∴当x=1时，ymin=3+a.于是只需3+a＞0时，函数f（x)恒成立，故a＞—3.解法二：f（x)=，x∈［1，+∞），当a≥0时，函数f（x）的值恒为正,当a＜0时，函数f（x)递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，于是只需3+a＞0时,函数f（x）＞0恒成立，故a＞-3。解法三：在区间［1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立a＞—x2—2x恒成立.又∵x∈［1，+∞），∴a应大于u=—x2-2x，x∈［1，+∞)的最大值，∴a＞-(x+1）2+1，x=1时u取得最大值—3，∴a＞—3.例4某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3，深为3m,如果池底每1m2的造价为150元，池壁每思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型，构造函数及定值，然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为xm，另一边的长度为dm,则d=。又设水池总造价为y元。根据题意,得y=150×+120（2×3x+2×3×）=240000+720（x+）≥240000+720×2x·=297600，当且仅当x=，即x=40时,y取得最小值297600。答:水池底面一边长40m时,总造价最低为297600元。绿色通道:实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件。如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［，］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值。解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840，设纸张面积为Scm2,则S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10)x+160，将x=代入上式,得S=5000+,当,即λ=(＜1）时,S取得最小值.此时高x==88cm，宽λx=×88=55cm。如果λ∈［，]，可设≤λ1＜λ2≤，则由S的表达式，得S(λ1）—S(λ2)=。又,故＞0.∴S（λ1）—S(λ2)＜0。∴S（λ）在区间［,]内单调递增.从而对于λ∈［,］,当λ=时，S（λ)取得最小值。答：画面高为88cm,宽为55cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［，］，当λ=时,所用纸张面积最小.问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高。当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n。但高处空气清新，嘈杂音较小,