2024年中考数学复习考点帮：考点19 相似三角形模型（解析版）

考点19相似三角形基本模型

在命题趋势

相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显，所以被总结了很多的模型，比如：A字图、8

字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。而掌握了这类模型的套路后，可以更快的应对相似三角

形类的应用。所以考生需要对该考点完全掌握。

1

y知识导图

点考向

一、A字图及其变型

二、8

字图及其变

型

三一k

般母子型

四、一线三等角

五、手拉手模型

考向一、A字图及其变型“斜A型”

当DE〃BC时

当NADE=NACB时

△ADE^AABC

△ADE<^AACB

性质：

性质：

ADAEDE

&==ADAEDE

ABACBC~AC=~AB=~BC

②丝=丝

-DBEC

☆:斜A型在圆中的应用:

如图可得：△PABs/iPCD

典例引微

「，一▲L

s

1.如图，在△ABC中，DE//BC,DE=2,8c=6,则—的值为（）

SABC

【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：七〃BC,

；・\AOEsXNBC,

.•・池=匡）2=&）2=2

ABC母%，9

故选：C.

2.如图，在△A8C中，DE//FG//BC,AD：AF：AB=\：2：5,则S“OE：S四边形OEGF：S四边形产GCB=()

B.1：4：25C.1：3：25D.1：3：21

【分析】由DE"FG〃BC,可得△AOES/XA尸GsZ\A8C,又由AO：AF：AB=\：2：5,利用相似三角

形的面积比等于相似比的平方，即可求得S“DE：SMFG：SMBC=1：4：25,然后设△A。七的面积是a,

则aAFG和△ABC的面积分别是3a,21小即可求两个梯形的面积，继而求得答案.

【解答】解：*：DE//FG//BCt

：,WDEsXAFGs/\ABC,

•'•AD：AF：AB=1：2：5,

S^DE：SMFG：SMBC=1：4：25,

设△A。石的面积是a,则AAFG和△ABC的面积分别是4a,25a,

则S网m形DFGE=S&AFG-SA4DH=3。，S四边形P8CG=S"8c-S"FG=21。，

S^ADE：S四边脑DFGEzS四边形FBCG=1：3:21.

故选：D.

3.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形

纸片ABCO如图5所示，其中N4=NC=90°,A8=7厘米，BC=9厘米，CO=2厘米，那么原来的直

角三角形纸片的面积是54或毁平方厘米.

【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出A。长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相

似二角形的性质，即可解决问题.

【解答】解：(1)分别延长6,BA交于M,连接BD,设△MBC的面积是5(cm2),

I\

VZC=ZZ)45=90°,

:.DC2+BC2=AB2+AD2=BD1,

...22+92=72+AD2,

AAD=6(cm),

•••△AO8的面积=Lo・AB=2X6X7=21(，/),/XOCB的面积=_loc・8C=2X2X9=9(cm2),

2222

，料边形ABC。的面积=21+9=30(cm2),

•••△OMA的面积=(S-30)(a??),

NMAD=NMCB,

：・2MDAs4MBC,

・江皿一zAD、2=,2、2=4

FMBC(而)(百)寸

•.•S-30_■419

S9

A5=54(cm2).

(2)分别延长4Q,BC交于N,设△M4B的面积是S'(cm2),

由(1)知四边形ABCZ)的面积=30(cm2),

•・・/N=NMZNCD=ZA=90°,

:.△NCDsANAB,

.^ANCD_zDCs2_心)2:4

FNABAB丐)语，

・

•S--'------3--0一-■4■•

S'49

•'•S'=—(cm2),

3

・・・原来的直角三角形纸片的面积是54C7712或毁7"2.

3

故答案为：54或强.

3

4.如国，矩形OEFG的边力E在△48C的边8C上，顶点G、尸分别在边AB、AC上.已知BC=6c〃bDE

=3。机，EF=2cm,那么△45C的面积是12cm2.

【分析】过点A作AN_L8C,先利用相似三角形的判定说明4AG尸S^ABC,再利用相似三角形的性质

求出△A8C的高，最后利用三角形的面积得结论.

【解答】解：过点A作AN_L8C,垂足为N,交G尸于点M.

•・•四边形OEFG是矩形，

:・GF〃DE,GF=DE=3cm,EF=MN=2cm.

设AM=ac/w,则AN=(a+2)cm.

•:GF"DE,

:.XAGFS/\ABC.

•.*GF_,IAM,*

BCAN

•・•13_Ia,.

6a+2

・・・a=2.

.*.AN=4ctn.

SMBC=-^BC*AN=—x6x4=12(cm)2

22

故答案为：12.

5.如图中，点E在84的延长线上，连接EC、4。交于点G,EC交4。于凡己知£4：44=1：2.

(1)求七F：EC；

(2)求FG：GC.

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解即可;

（2）利用相似三角形的判定，先说明△班尸/△口）巴再利用相似三角形的性质和比例的性质求出8C：

FD,最后通过说明△FDGSZXCBG,利用相似三角形的性质得结论.

【解答】解：:四边形4BCD是平行四边形,

：.AB//CD,AB=CD,AD//BC,AD=BC.

(1)VE4：48=1：2,

•・•EA_1■•

EB3

■:AD//BC,

.里=幽=工

**ECEB了

(2)'：AB//CD,

:.XEAFs^CDF.

•延=空=幽=[

••而FDAB

・AD=3=BC

FD2FD

'JAD//BC,

：・2FDGsACBG.

•JG=FD=_2

"GCBC~3

考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”

当NA=NC时

△AJB^ACJD

性质：

ABJA_JB

~CD~1C~1D

1.如图，在△ABC中，中线AO与中线BE相交于点G,联结OE.下列结论成立的是（）

A.DG=1AGB.险MC.也些」D.也CDE」

3EGABS^AGB4?

【分析】由4。，BE是△4BC的中线，得到。七是△ABC的中位线，推出△OEGs/iABG,ACDF^A

CBA,由相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：AD,BE是△A8C的中线，

・・・DE是△ABC的中位线，

：.DE//AB,DE=X\B,

2

：・»DEGSAABG,

：.DG：AG=DE：AB=l：2,BG：EG=AB：DE,也匹£=/DE_\2=_l_t

2△AGBAB4

.•・OG=XAG,

2

<BG：EG=AB：DE=2：1,

:,GB：BE=2：3,

**•S^GBtS/\AEB=2：3,

VAE=EC,

S丛£8=工％/咏，

2

•\S^GB=—S^ABC,

3

.：ACDESACBA,

・5ACDE_/DE、2_1

%ABC前4

・'・SACDE=L/.ABC，

4

・^ACDE3

结论成立的是S^DEG—

SAAGB4

故选：C.

2.如图，在平行四边形ABC。中，尸为BC的中点，延长A。至点E,使。£：AD=\：3,连接E尸交。C

于点G,则SaCFG：SADEG等于()

A.9：4B.2：3C.4：9D.3：2

【分析］利用平行四边形的性质可得AD〃8GAD=BC,,再根据线段中点的定义可得CF=1BC=1AD,

22

然后证明8字模型相似三角形AEOGs△尸CG,利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：:四边形A8CO是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

,・,/为6。的中点，

：.CF=-^BC,

2

.\CF=XAD,

2

•：AE//CF,

；・NE=NGCF,NEDG=NC,

：,2EDGSAFCG,

,:DE：AD=\：3,

：.DE=^AD,

3

4-AD

.*.5ACFG：SADEG=（—）2=（-----）2=（—>2=9，

DE得AD24

故选：4.

3.如图，在正方形ABC。中，E为AO上的点，连接C£以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC,

ED于点N,M,再分别以M,N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在NCEO内交于点P,连接

2

EP并延长交OC于点H，交8C的延长线于点G.若48=16,AE：AD=\：4,则EH的长为6^.

【分析】根据题中作图判断EP是NOEC的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC,再利用角平分线

的性质和平行线的性质得到CG,利用相似三角形的判定和性质求出OH,最后利用勾股定理得结论.

【解答】解：•・•以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC,ED于点、N,M,

再分别以M,N为圆心，以大于长为半径作瓠，两弧在NCE。内交于点P,连接EP,

2

・・・EP是NQEC的角平分线，

:./DEG=NCEG.

•・•四边形A8CO是正方形，

：,AD=DC=AR=]6,/力=90°,AD//RC.

VAE：AD=\：4,AE+ED=\6,

••"E=4,ED=\2.

在RtZXEDC中，

£C=7DE2+DC2=7122+162=2°-

,:AD〃BC,

:•4G=NDEG=/CEG.

：.EC=CG=20.

■:AD"BC,

：.XEDHS4GCH.

・DH=ED=JL2=3.

••而CG20?,

■:DH+HC=CD=16,

:.DH=6.

在RlZXED”中，

£W=7ED2+DH2=A/122+62=*^1^=•

故答案为：(yyJ~S.

4.如图，在口ABC。中，G是CO延长线上一点，连接8G交AC,AO于E,F.

(1)求证：AABESACGE；

【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到NA8E=NCGE,再利用对顶侑相等，可得△ABES^CGE；

（2）利用平行四边形对边平行，证明△AMsacEB,得到处上，再由（1）得，典M上，从而

EC3EGEC3

求解.

【解答】（1）证明：•・•四边形48co为平行四边形，

：,AB//CD,

:.4ABE=NCGE,

又丁/AF.R=/CGF.,

:.△ABEsACGE.

（2）解：设FO=〃?，则4F=2m,

**•AD=3nif

•・•四边形ABCD为平行四边形，

：.AD//BC,BC=AD=3m,

：・/EAF=NECB,ZAFE=ZCBE,

：.AAEFsACEB

・AE=AF=1

••前BCT

又；AABEs&CGE,

・BE=AE=_2

**BGEC~3'

即理的值为2.

EG3

5.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A,B,C,。均在格点上.

（1）在图①中，里的值为1：3；

PA

（2）利用网格和无刻度的直尺作图，，呆留痕迹，不写作法.

①如图②，在A8上找一点P,使4P=3；

②如图③，在BO上找一点P,使AAPBsACPD.

【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可.

（2）①根据勾股定理得AB的长为5,再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；

②作点A的对称点4',连接A'。与BO的交点即为要找的点尸，使aAPHs△。尸D

【解答】解：（1）如图①中，

，：AB〃CD,

:•△PCDSMBA.

.?D=CD=I

故答案为：1：3；

①取格点E,F,连接所交A8于点尸，点P即为所求的点.

由勾股定理知：A5=^32+42=5-

•・NP=3,

:,BP=2.

•:BE"FA,

:•△EPBSAFPA.

YAP：BP=AF：BE=3z2.

，取格点E,F,连接交AB于点尸，点P即为所求的点;

②如图③所示，作点A的对称点A',

连接A'C,交于点P,

点P即为所要找的点,

\*AB//CD,

:.△APBs/XCTO.

考向三、一般母子型:

；当NABD=NACB时|其中：

△ABD^AACB：NA是公共角

;性质：IAB是公共边

AB^=AD^AC]D与BC是对应边

典例引

j'4▲L

1.如图，在△48。中，CD工AB于点D,有下列条件：①N4=N8C。；②NA+NBCD=NADC；③电芈

CDAC

@BC1=BD-BA.其中能判断△A8C是直角三角形的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据题目中①②③®给出的条件分别判定△BCQs^BAC或△48CSA4CO即可求得NAC8=

90,，计算能求证△BCDs/XBAC或AABCs/^ACO的个数即可解题.

【解答】解：©vZA=ZBCD,N4+NAC£>=90°,

/.ZBCD+ZACD=90A,故本命题成立；

②条件不足，无法求证N4C8=90°,故本命题错误；

®'：BD：CD=BC：AC,ZADC=ZCDB=90°,

.-.RtAADC^RtACDfi,（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）

:./4CO=N8；

•・・/8+NBCD=90°,

・・・/ACO+N8CO=90°,

•・•/AC"4ACDMBCD,

AZACB=90°；故本命题正确；

④'：Bd=BDXBA,

•BC=BA

.•而前'

,:乙B=/B,

:.XABCs^CBD,

AZACB=90°,故本命题成立，

故选：D.

2.如国，RtZXABC中，ZACB=90°,CD_LA8于点O,ZACD=3ZfiCD,E为斜边A4的中点，则他=

DE

【分析】利用相似三角形的判定与性质得到N8CD=NA=22.5°,利用三角形的外角的性质得到NCED

=45°,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得至U4E=CE=8E=LB,设CD=OE=X,则

2

CE=&x，AD=（加+1）x,代入迫化简即可得出结论.

DE

【解答】解：•••NAC8=90°,ZACD=3ZBCD,

：2BCD=225°,N4CZ）=67.5°.

VZACB=90°,CDA.AB,

:.△BCDsgAC,

：.^BCD=ZA=22,5°.

•・・/AC8=90°,E为斜边AB的中点,

：.AE=CE=BE=X\B.

2

，/EC4=NA=22.5°,

A^CED=ZA+ZECA=45°,

•・・CO_LAB,

：.CD=DE.

设CD=DE=x,则CE=42x，

.*.AE=V2V,

：.AD=AE+DE=（V2+1）x,

故选：B.

3.如图，在△ABC中，ZA=90°,点O、E分别在AC、BC边上，BD=CD=2DE,且NC+2NCDE=45°,

【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出N8QE=90°,作OF_LBC于尸，则凡△

DEFS4BEDS/\BDF,得出国卫=还=更=2，设£尸=”，贝I］。v=2x,BF=CF=4x,得出8c=8x,

DFBDBF2

DE=J^x,得出CD=BD=2娓x,AC=6+2，ix,证明△CD尸s2\CB4,得出丝=里，代入计算即可

ACBC

得出结果.

【解答】解：・・・NA=90°,

AZAB£>+ZADB=90o,

•:BD=CD,

：・/DBC=NC,

・•・4ADB=ZDfiC+ZC=2ZC,

VZC+AZCD£：=45O

2

・・・2NC+NC£>E=90°,

Z：ADB+^CDE=9Qn,

:・/BDE=90°,

作。尸_L3C于F,如图所示:

则B/=CRADEFsABEDSABDR

・亚=迈=如=2

一声丽丽万

设EP=x,则。尸=2x,BF=CF=4x,

**.RC=8x>[yE=

:・CD=BD=2®:,AC=6+2遥x,

VZDFC=ZA=90°,NC=NC,

:.XCDFs丛CBA,

即

.CF=CD4°=x

ACBC,6+275x8x

解得：x=娓,

・•・BC=8时

故答案为：8证.

4.如图，在RtZXABC中，NABC=90°,点。是斜边AC的中点，连接。8,线段AE_L线段B。交8。于

点E,交DB于点G,垂足为点G.

(1)求证：EB?=EG,EA；

(2)联结CG,若NCGE=NDBC,求证：BE=CE.

【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；

（2）由直角三角形的性质得BD=1AC=CD,再由相似三角形的判定与性质可得Ed=GE・EA,结合

2

（1）的结论可得答案.

【解答】证明:（1）VAEXBD,

AZBG£=90°,

VZABC=90°,

:.4BGE=ZABE,

V/BEG=ZAEB,

:.XABEsABGE,

.BE=GE

••屈BE'

BPEa=EG・EA；

（2）在RtZXABC中，点。是斜边AC的中点，

:,BD=1AC=CD,

2

:,乙DBC=4DCB,

.:4CGE=/DBC,

:・/CGE=NDCB,

■:NGEC=NGEC,

/.△GEC^ACEA,

.GE_CE

"CEAE'

:,EC2=GE*EA,

由（1）知£B2=£G・EA,

:.Ed=E*,

；・BE=CE.

考向四、一线三等角:

同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）

异侧型

A

典例引顺

1.如图，。于点8,ED工BD于点D.AB=2,DE=4,80=6.点C为8/）上一点，连接AC、CE.当

BC=()时，可使AC_LCE.

E

A.3B.2或4C4D.2或3

【分析】根据垂直定义可得/6=/。=/4。七=9。°,从而利用直角二角形的两个锐角互余可得NA+/

4cB=90°,再利用平角定义可得NACB+NEa）=90°,然后利用同角的余角相等可得NECO=NA,

从而证明△A8CSZ\CQE,最后利用相以三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：VAfilBD,ED工BD,

，NB=NO=90°，

・・・/A+NAC8=90°,

VAC1CE,

・・・/ACE=90°,

AZACB+ZECD=I8O°・NACE=9C°，

:ZECD=NA,

：,XABCsACDE,

.AB=BC

**CDDE*

._2_=BC

6-BCT

解得：3c=2或5C=4,

・,・当5C=2或4时，可使ACJ_CE,

故选：B.

2.如图，点A,B,C在同一直线上，ZA=ZDBE=ZC,则下列结论：①NO=/CBE,②»CEB,

③3D=曲，其中正确的结论有（）个.

BCBE

AB

【分析】根据三角形内角和和平角的定义可得①正确，进行可得得出②正确；由相似

三角形的性质可知，相似三角形的对应线段成比例，得出结论.

【解答】解：由图可知，ZA+ZD+ZABD=180°,ZABD+ZDBE+ZCBE=\SO°,

•・•/A=NDBE,

：・/D=NCBE,故①正确；

•・・/A=NC,

:./XABDs^CEB,故②正确；

:.岖=坨，故③正确;

BC

故选:

3.如图，在矩形ABCO中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交。。于点F,过点E作EG_LAE交BC

于点G,若A8=8,AO=6,8G=2,则4E=()

'C

B,应c.誓，嘈

~5~

【分析】过点E作EN_LBC,垂足为M延长NE交A。于点M,根据矩形的性质可得AD=BC=6,N

DAB=^ABC=90a,从而可得四边形4MN8是矩形，进而可得N4MN=90°,AB=MN=8,AM=BN,

MN//AB,然后设ME=x,则EN=MN・EM=8・x，再证明A字模型相似三角形△OMES/\OAB,并利

用相似三角形的性质求出。M,从而求出AM,GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形△A"以-

AENG,利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME,AM的长，从而在RtZVIME

中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：过点E作石MLBC,垂足为M延长NE交40于点M,

：・"NB=90°,

•・川边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=6,ZDAB=ZABC=90°,

・•・四边形AMNB是矩形，

„N=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN〃AB,

：./DME=ZDAB=90°,NDEM=NDBA,

：・、DMES4DAB,

•.D•-M--_-D--A-,

MEAB

设ME=x,则EN=MN-EM=S-x,

•.D•-M-_-6-♦

X8

；.DM=^-x,

4

:・BN=AM=AD-DM=6-Xv,

4

•••BG=2,

:.GN=BN-BG=4-Sx,

4

VEG±AE,

AZAEG=90°,

・・.NAEM+NGEN=90°,

VZ.AEM+ZMAE=90°,

：・4MAE=/GEN,

•・・/4ME=NENG=90°,

:.'AMESRENG,

.AM^EN

**IE而’

3

.6ATX8-X

••~~~A3,

4T

/.Jj=,!?.,X2=8,

25

经检验：用=丝，叱=8都是原方程的根，垃=8(舍去)，

25

AM=6-m=-114,

25425

・・・心办从2+建2='(爵)2+整)2=_|717,

故选:B.

4.如图，在△A8C中，AB=10,BC=34,COSNA3C=2,射线CM〃A8,。为线段8c上的一动点且和B,

5

C不重合，联结。A,过点。作。E_LD4交射线CM于点E,联结A£,作EF=EC,交BC的延长线于

点尸，设BD=x.

(1)如图1,当AQ〃EF,求8。的长；

(2)若CE=y,求y关于”的函数解析式，并写出定义域；

(3)如图2,点G在线段AE上，作N4GO=NR若aOGE与相似，求8。的长.

【分析】(1)可推出△4BD是等腰三角形，从而求得BD；

(2)作AKI/?C于K.F.H\CFTH,可证得△4K/)s△力斤凡可求得AK=X,DK=x-6,FH=&y,

5'

OH=34・x+Wy,进一步求得结果；

5'

(3)推出可以是△GDESZ\CDE或△G°ES2\CED,当△GOES/\COE时，可推出△GDEgaCDE及

△4BOg△AGO,进而求得此时8。的值；当△GQ£s2\c&)时，推出四边形AOFEO是平行四边形，

再根据△AKOS/\OTE,进而求得此时4。.

图1

作AK_LBC于K,

BK—AB・cos/ABC-10X3—6,

5

:=22=

・••AAVAB-BKV102-62=8'

♦：EF=EC,

:.4ECF=/F,

•:CM"AB,AD//EF,

：・MB=NECF,NADB=NF,

:./B=NADB,

：.AB=AD,

；,BD=2BK=12；

(2)如图2,

图2

作AK_L3C于K,EH上CF于H,

：.ZADK=ZCHE=90°，

••・/4OK+/OAK=90°,

VAD1DE,

・・・/AOE=90°,

AZlADK+ZlEDH=90n,

:•乙DAK=/EDH,

・•・XAKDsADHE,

.AK-DH

**DKEH，

'：BD=x,8K=6,BC=34,

：.DK=x-6,DC=34-x,

/ECF=ZABD,

：.C”=CE・cosNEC产=)，・cosNABQ=1»y,

.\EH=-^yt

：,DH=DC+CH=34・

5y

3

34-x+r-y

.8_______5_

.■一4'

Ty

化简，得，

_5X2-200X+1020

y1~----------------------------

3x-50

当NHDE=NECF时,DE//CEf

:.4DAK=/ECH=ZABD,

，£>K=AK・tanND4K=8・lanZABK=8X_1=丝

33

此时，BO=8K+QK=6+^=包，

33

，6<rV型：

3

(3)如图3,

B

•・・/AGO=N尸，NAG£>+NOGE=180°,

・・・/OGE+N尸=180°,

•：^ECF+ZDCE=\S0°,

ZF=Z£CF,

4DGE=NDCE,

：,LGDEs4CDE或4GDEsACED,

当△GOEsACDE时，

NGDE=NCDE,

•：DE=DE,

:.XCDE4RGDE(AAS\

:.DG=DC,

VZADE=90°,

；・4ADB+NEDC=NADG+NGDE=90°,

:.^ADB=ZADG,

V/ARD=/ECF=/兄

:./ABD=NAG。，

•：AD=ADt

/.(A4S),\

:・DB=DG,

：.BD=CD=^BC=\1,

2

3

・・・8。=17不符合题意，舍去；

当时，如图4,

NGDE=NDEC,NGED=NCDE,

:.DG〃CE,CD//GE,

，四边形8GE是平行四边形，

由(1)(2)知，

AK=8,DK=x・6,CO=34・x,AA/CD^ADTE,

：・ET=AK=8,CT=BK=6,07=40-x,

・AK=DT

••京W

•・•'8'一'40-x’'

x-68

・F=8,

综上所述：30=8.

考向五、手拉手相似模型：

模型名称几何模型图形特点具有性质

AABC^AADE连结BD、CE

相似型手A、D、E逆时针①△ABDs△ACE

拉手A、B、C逆时针©△AOB^AHOC

③旋转角相等

36④A、B、C、H四点共圆

“反向”相4A△ABC^AADE作4ADE关于AD对称的

似型手拉A、D、E顺时针△ADE'

手A、B、C逆时针性质同上①®@

A、D、E'逆时针

典例引颔

1.如图，△ABC中，NBAC=30°,ZACB=90°，且△ABCS^ABC,连接CC,将CC'沿C'B'方

向平移至EB，，连接8E,若CC=&,则BE的长为（)

C.V3D.2

【分析】连接88’,在RtzMBC中，利用锐角三角函数的定义可得蚂=近，再利用相似三角形的性

AB2

质可得_些_=_冬，ZACB=ZAC，B'=90°,NBAC=NB'AC=30°,从而利用等式的性质

AB'AC'

可得NB4B'=NC4C',进而可证△B4B'^ACAC",然后利用相似三角形的性质可得NBB'A=N

CCA,辿_=幽=近，再利用平移的性质可得CC'//B'E,支金=蚂=近，从而利用平行线

BBZAB2BBZAB2

的性质可得NBB'E=30°,最后证明△BCAsaBEB',从而可得NBEB'=90°,进而在RtZXBEB'

中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：连接BB',

•・・/8AC=30°，NACB=90°,

Acos30o=£=返，

AB2

■:AABC^AAB'C,

ZACB=ZAC,B'=90°，ZBAC=ZB'AC=30。，

AB'AC'

：.^BAC+ZCAB'=ZB'AC+ZCAB1，

：./BAH'=ZCACr，

:•△BAB's2\C4C',

CCZ^AC-V3

：.4BB'A=ZCC,A,

BB，AB~2'

由平移得:

CC=B'E=氓,CC'//B'E,

・上旦=幽=近

XB，AB2,

VCC1//B'E,

:,乙CC'B'+ZAB'C'+NBB'A+^BB'E=180°,

:,乙CC'B'+/AB'C+NCC'A+/BB'E=180°,

・・・/4C'B'+ZAB'C'+/BB'E=180°,

•••/AC'B'=90°,N8‘AC=30°,

A/AB'C=900-ZB'AC'=60°,

:,乙BB'E=30°,

：・4BB'E=/C48=30°,

:ZCASABEB',

"BEB'=NACB=90°,

：.BE=B'E・tan30°=V6X—

3

故选：B.

2.如图，在△ABC中，AB=AC=3y[13,8c=6,点尸在边AC上运动（可与点4,C重合），将线段8P

绕点「逆时针旋转120。，得到线段QP,连接BD,CD,则CD长的最小值为_15dl

【分析】以为边构建出和△BP。相似的三角形，通过将CO边转化为其他边来求值.

【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC,使N8QC=120。，连接PQ.

由题意可得ABOC和ABP。均为顶角为120°的等腰三角形,

可得地NQBC=NPBD=30°,

BCBDV3

:.Z.QBC-NQBD=NPBD-NQBD,

：・4PBQ=NDBC,

：・、PBQs〉DBC,

.?QBQ1

DCBCV3

・•・当PQ_LA。时，有尸Q最小,即此时CD最小,

如图所示，设O尸'J_AC,延长4Q与BC交K,此时QP为Q尸的最小值:

可得AK1BC,

,・3QC中,N8QC=120°,BC=6,

:・BK=3,NQBK=30°,

VAB=AC=3V13»KC=3,

A/^=7AB2-BK2=6V3,

，AQ=AK-QK=5心

VZAPQ=ZAKC=90°,ZQAP'=ZCAK,

:.XAQPsRACK,

.AQ_QP'

••,二■•

ACKC

.5V3_QPZ

…行3’

5V39_

...QP=

13

・・・CO=«QP，=15Vl§

13

3.已知在RtZXABC中，CO_LAB于点O.

(1)在图1中，写Hl其中两对相似三角形.

(2)已知BO=1,DC=2,将△C8。绕着点O按顺时针方向进行旋转得到△C8。，连接AC,BC.

①如图2,判断AC与5C之间的位置及数量关系，并证明;

②在旋转过程中，当点4，B,。在同一直线时，求8c的长.

【分析】(1)利用两个角相等可得△ABCs△ACD,ABCDsABAC；

(2)①利用两边成比例且夹角相等证明△OBCs/xocA,得呼/D」,ZDCA=ZDBC,可得结

CzAAD2

论；

②分点C在线段AB或AB的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理列方程可得答案.

【解答】解：⑴•:CD上AB,

:.AADC=NBDC=ZACB=90°,

/.AABC^AACD,ABCD^ABAC；

(2)①聿一，，AC±BC,理由如下：

CyA2

由(1)知，在图1中，/XABCsRCBDs&ACD、

・3DjD二1

一丽而巧，

如图2,VZBDC=ZCDA=90°,

:.乙BDC=4CDA,

:•△DBCs^DCA,

ZDCA=ZDBC,

图2

■:4DEB=NCEC,

CFE=NBDC=9Q0,

：,ACLBC,

AC±BCi

C‘A2

②如图，当点4、B、C在同一直线上时,

设BC=x,AC=2x,

在RtZXACB中，由勾股定理得，?+（2x-V5）2=（2遥）2

解得力=次延返.（负值舍去），

5

如图，当A、C、8在同一直线上时，

D

3

同理可得，W+（2X+V5）12=（2V5）2»

解得L一3±屈,（负值舍去），

综上：叱=巫退