数学课堂导学：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、分类加法计数原理的简单应用【例1】某学生去书店，发现三本好书，决定至少买其中一本，则该生的购书方案有______种.解析:“至少”问题往往需要发类，在三本好书中至少买一本，可分为在类：恰买一本，有3种方种；恰买2本，有3种种方法，恰买3本，有1种方案，从而共有3+3+1=7种方法。温馨提示分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和，就是“整体”(即完成一件事的方法）分成若干个互不相交的类，使得每一类中的元素的个数易于计算.在分类过程中要按照统一的标准进行.本题中是按照购买的本数分成了三类。二、合理地选择分类标准是用好分类加法计数原理的关键【例2】将一个正三角形的各边都n等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内）?解析:如图，不妨设正△ABC的边长为n，首先考虑“头朝上”的三角形,即平行于水平线的那条边在其对角顶点下方的三角形.边长为1的“头朝上"的三角形有1+2+…+n=个.边长为2的“头朝上"的三角形有1+2+…+(n-1)=个.…边长为n的“头朝上”的三角形只有1个.从而,“头朝上”的三角形共有个。然后考虑“头朝下"的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点上方的三角形.边长为1的“头朝下”的三角形有1+2+…+（n-1)=个.边长为2的“头朝下”的三角形有1+2+…+（n—3）=个.边长为m的“头朝下”的三角形有=1k个(n+1＞2m）。故当n为奇数时，“头朝下”的三角形有。=个；各个击破【类题演练1】在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的三点组的个数是()A.24B。36C。48解析：注意到每个正方形或矩形各有4个“直角三角形三点组”，现正方体共有6个正方形侧面及6个矩形对角面，故可视为有12类方案，即12个矩形或正方形，由分类加法计数原理得4×12=48个“直角三角形三点组”。故选C。答案：C【变式提升1】在十进制数中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为(）A.1001B。1010C。1011解析：设最左边的数字为n，则比n小的数字n-1，n—2,…，2，1,0每个只能在n的右边至多出现一次。可是，以n为最左边数字的递降正整数的个数等于集合｛n，n-1,…,2，1,0｝的非空子集合个数2n-1.但n=1，2，…，9,故递降正整数共有=（210—2)-9=1013(个)。【类题演练2】设M是集合S={1，2，3，…,1999｝的子集，且M中每一个正整数(元素)仅含一个0，则集合M所含元素最多有（)A。243个B。324个C.414个D。495个解析：为了清楚起见，可将集合S中的正整数（元素)按其位数划分为如下四个子集:S1={1，2,3,…,9},S2={10，11，12,…，99},S3={100，101,102,…,999｝,S4={1000,1001，1002，…，1999}。显然，S1中每个元素都不含0；在S2中，仅个位数为0的元素有9个，则共有9个；在S3中，仅个位或十数为0的元素各有92个，则共有162个；在S4中，仅个位或十位或百位数为0的元素各有92个,则共有3×92=243个.根据分类原理，集合M中所含元素最多有414个.答案：C【变式提升2】已知椭圆=1的焦点在y轴上，若a∈｛1，2,3,4，5}，b∈｛1，2，3，4,5，6,7｝,则这样的椭圆共有多少个？解析:依题意知b＞a，当b=6或7时，a各有5个可能取值；当b=5时,a只有4个可取值;当b=4时,a只有3个可取值；当b=3时，a只有2个可取值;当b=2时，a只有1个可取值.由分类加法计数原理知:共有5+5+4+3+2+1=20个。当n为偶数时,“头朝下”的三角形有=个.综上所述,一共产生的三角形的个数为N=三、先将问题转化后再进行分类【例3】把20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有____________种。解析:不妨设编号为1,2，3的三个盒子中分别放入了x1，x2,x3个小球，依题意有问题转化为在条件（2）下求不定方程(1）的解的个数,可考虑用分类计数的方法。当x1=1时，x2=2，3,…,16，这时x3随之而定，从而共有15种放法。当x1=2时，x2=2,3，…,15,这时x3随之而定，从而共有14种放法.当x1=15时,只有x2=2，x3=3，仅有一种放法。根据分类原理，符合要求的放法共有N=15+14+…+2+1=120（种）.温馨提示本题应用等价转化的思想,把“投球"问题转化为求不定方程解的个数问题，应用分类计数原理,使问题很快得到解决.【类题演练3】某生为自己的电脑购置价值不超过500元，单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？解析：设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x+70y≤500(x,y∈N*,且x≥3，y≥2)按购买x片分类：x=3，则y=2，3,4共3种方法;x=4，则y=2，3共2种方法；x=5,则y=2共1种方法；x=6,则y=2共1种方法.由分类加法计数原理知,不同的选购方式有N=3+2+1+1=7（种)【变式提升3】设正2n+1（n∈N*)边形内接于一个圆,考虑所有以这2n+1边形的顶点为顶点的三角形,其中有多少个三角形的内部含该圆的圆心?解析：如图，先取定一个顶点A，将其它2n个顶点顺次标为1，2，…,2n.设以A,i（1≤i≤n）为一个端点的两条直径的另一个端点分别为B，C（注意:B，C不可能是正2