2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（）A．中国火箭 B．中国探火 C．航天神舟 D．中国行星探测2．（4分）方程x（x﹣1）＝0的根是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣13．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定4．（4分）若x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（4分）把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣26．（4分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的直径为10cm，则AB长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm7．（4分）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标（﹣1，﹣2） D．与x轴有交点8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝121 B．2（1+x）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝1219．（4分）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x+m）2＝11，则c+m的值为（）A．1 B．3 C．5 D．1010．（4分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（﹣2，﹣3），N（4，3），且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，n）与B（m，2），则m+n＝．12．（4分）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p＝．13．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，则∠BAC＝．14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m2715．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为xm，根据题意所列方程是．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四个结论：①b＜0；②若；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＜y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是．（填写序号）三、解答题（共9题，共86分）17．（8分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．19．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个（1）求前三季度生产量的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．若∠ACD＝35°21．（8分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且图象经过点（0，3）．（1）求这个函数解析式；（2）在直角坐标系，画出它的图象．22．（10分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，点C的对应点为E．（1）尺规作图，画出旋转后的△ADE．（保留痕迹，不写作法）（2）设直线BC与DE相交于P，求∠CPD的大小．23．（10分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．24．（12分）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验【探究发现】问题1：如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA＝5，PC＝13．你能求出∠APB的度数吗？探究思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，∠APP′，∠APB；【类比探究】问题2：如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则可求∠CPB；【深入探究】问题3：如图4，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB交⊙O于点D，BC，CD的之间的数量关系．探究思路：如图5，连接AD，BD，并且由CD平分∠ACB易得AD＝BD，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务：（1）填空：图2中线段PP′＝；（2）如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则∠CPB＝；（3）请写出问题3的探究结论及完整的证明过程．25．（14分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．（1）b＝（用含c的代数式表示）；（2）若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y＝x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，直线AP，AQ分别与y轴交于点M①求该二次函数的表达式；②若∠APQ＝2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值，请说明理由．

2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（）A．中国火箭 B．中国探火 C．航天神舟 D．中国行星探测【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：A．2．（4分）方程x（x﹣1）＝0的根是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1【解答】解：∵x（x﹣1）＝0，∴x＝8或x﹣1＝0，∴x7＝0，x2＝8．故选：C．3．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．4．（4分）若x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：把x＝1代入x2﹣3mx+3＝0得：4﹣2m+3＝2，解得：m＝2，故选：D．5．（4分）把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2【解答】解：由上加下减，左加右减的法则可知2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后2﹣2．故选：C．6．（4分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的直径为10cm，则AB长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【解答】解：连接OA，如图所示，∵⊙O的直径为10cm，∴OA＝5cm，∵OE⊥AB于E，∴AE＝AB，在Rt△AOE中，OE＝3cm，∴AE＝＝＝4（cm），∴AB＝3×4＝8（cm），故选：D．7．（4分）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标（﹣1，﹣2） D．与x轴有交点【解答】解：由y＝（x﹣1）2﹣2，可知，则抛物线的开口向上，∴A选项不正确，抛物线的对称轴为x＝1，∴B选项不正确，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），∴C选项不正确，令y＝0，则（x﹣1）7﹣2＝0，∴x﹣2＝±，∴x1＝5+，∴抛物线与x轴的交点为：，∴D选项正确，符合题意；故选：D．8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝121 B．2（1+x）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121【解答】解：根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：（1+x）人，第二轮传染后的感染人数为：x（1+x）人，故可列方程为：5+x+x（1+x）＝121，故选：D．9．（4分）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x+m）2＝11，则c+m的值为（）A．1 B．3 C．5 D．10【解答】解：x2﹣8x+c＝2，x2﹣8x＝﹣c，x4﹣8x+43＝42﹣c，（x﹣3）2＝16﹣c，∵（x+m）2＝11，∴m＝﹣7，16﹣c＝11，解得c＝5，∴c+m＝5﹣6＝1．故选：A．10．（4分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（﹣2，﹣3），N（4，3），且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴直线MN的解析式为y＝x﹣1，∵A（x3，y1），B（x2，y7）是抛物线y＝ax2﹣3x+6上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x8|＞|x2﹣x0|时，总有y4＞y2，∴a＞0，∵抛物线y＝ax4﹣3x+1与线段MN有两个不相同的交点，∴x＝2时，y≥3，∴16a﹣12+1≥6，解得：；令x﹣3＝ax2﹣3x+6，整理得：ax2﹣4x+2＝0，∵Δ＝16﹣8a＞6，∴a＜2，∴．故选：C．二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，n）与B（m，2），则m+n＝﹣5．【解答】解：∵点A（3，n）与B（m，∴m＝﹣3，n＝﹣7，则m+n＝﹣3﹣2＝﹣8．故答案为：﹣5．12．（4分）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p＝4．【解答】解：由题意可知：﹣3+（﹣1）＝﹣p，解得：p＝2；故答案为：4．13．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，则∠BAC＝26°．【解答】解：连接BC，∵∠D＝64°，∴∠B＝∠D＝64°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，故答案为：26°．14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m27【解答】解：把点（﹣2，7）（﹣7，（0，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣4，当x＝2时，y＝m＝26﹣2×2﹣7＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为xm，根据题意所列方程是（32﹣2x）（20﹣x）＝570．【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故答案为：（32﹣7x）（20﹣x）＝570．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四个结论：①b＜0；②若；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＜y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是②④．（填写序号）【解答】解：∵对称轴x＝＞8，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜2，∴b＞0，故①错误；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝4，∴c＝7，∴3a+2c＝5，故②正确；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，∵点M（x1，y1），N（x3，y2）在抛物线上，x1＜x6，且x1+x2＞7，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③错误；设抛物线的解析式为y＝a（x+5）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax8+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝6，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣2a（﹣am﹣1）＝a2（m+4）2+4a，∵6＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：②④．三、解答题（共9题，共86分）17．（8分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．【解答】解：这里a＝2，b＝3，∵△＝3+32＝41，∴x＝．18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝3时，原式＝3+1＝4．19．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个（1）求前三季度生产量的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，∵开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个，∴100（1+x）2＝144，解得：x2＝0.2＝20%，x7＝﹣2.2（舍去），答：前三季度生产量的平均增长率为20%；（2）第四季度的芯片生产量为144×（3+20%）＝172.8万个，∵172.8＜175，∴该目标不能实现．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．若∠ACD＝35°【解答】解：∵D为弧AC的中点，∴，，∴∠B＝2∠ACD．又∵∠ACD＝35°，∴∠B＝70°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BCD＝70°+35°＝105°．由题意可知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°＝105°．21．（8分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且图象经过点（0，3）．（1）求这个函数解析式；（2）在直角坐标系，画出它的图象．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，把点（0，3）坐标代入y＝a（x+2）2+4中得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣2x+3，∴这个函数解析式为y＝﹣x3﹣2x+3；（2）列表如下：x……﹣6﹣2﹣131……y＝﹣x2﹣6x+3……03432……描点、连线得到函数图象如下：22．（10分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，点C的对应点为E．（1）尺规作图，画出旋转后的△ADE．（保留痕迹，不写作法）（2）设直线BC与DE相交于P，求∠CPD的大小．【解答】解：（1）如图，分别以点A，AB为半径画弧；分别以点A，AB为半径画弧；分别以点A，AC为半径画弧；分别以点A，AC为半径画弧，连接AE、DE；（2）∵∠EAC＝120°，∠AED＝∠ACB，∠ACB+∠ACP＝180°，∴∠AED+∠ACP＝180°，∵∠EAC+∠AED+∠ACP+∠CPD＝360°，∴120°+180°+∠CPD＝360°，∴∠CPD＝60°．23．（10分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意，∵当x＝﹣2时2﹣7x+6，∴y＝﹣3×4+6+6＝5．∴该二次函数过（﹣2，0）．∴二次函数y＝﹣7x2﹣3x+7的图象是“定点抛物线”．（2）由题意，∵定点抛物线y＝x2+（m+1）x+3﹣k与直线y＝x只有一个公共点，∴可得方程x＝x2+（m+1）x+6﹣k，即x2+mx+2﹣k＝7满足Δ＝m2﹣4（8﹣k）＝0．又y＝x2+（m+5）x+2﹣k为定点抛物线，∴4﹣2（m+1）+2﹣k＝6，则k＝4﹣2m．∴m8﹣4（﹣2+5m）＝0．∴m＝4±4．（3）令﹣x2﹣x+6＝（2﹣n）x+4﹣8n，则（x+2）（x﹣1）＝（n﹣6）（x+2），∴（x+2）（x﹣6﹣n+2）＝（x+2）（x﹣n+3）＝0．∴交点的横坐标为﹣2和n﹣5．∵x1＜3＜x3，∴n﹣1＞3．∴n＞8．24．（12分）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验【探究发现】问题1：如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA＝5，PC＝13．你能求出∠APB的度数吗？探究思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，∠APP′，∠APB；【类比探究】问题2：如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则可求∠CPB；【深入探究】问题3：如图4，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB交⊙O于点D，BC，CD的之间的数量关系．探究思路：如图5，连接AD，BD，并且由CD平分∠ACB易得AD＝BD，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务：（1）填空：图2中线段PP′＝12；（2）如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则∠CPB＝135°；（3）请写出问题3的探究结论及完整的证明过程．【解答】（1）解：∵将△BPC绕点B逆时针旋转，得到△BP′A，∴BP＝BP'＝12，PC＝P′A＝13，∴△BPP′是等边三角形，∴BP＝PP′＝12，故答案为：12；（2）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2；由勾股定理得：PP′2＝42+27＝8；∵PC2＝42＝1，P′C3＝32＝6，∴P′C2＝PP′2+PC2，∴∠P′PC＝90°，又∵∠BPP′＝45°，∴∠BP′C＝135°，∴∠CPB＝∠BPP′+∠P′PC＝135°，故答案为：135°；（3）CD＝AC+BC；证明：延长CA到点E，使得AE＝BC．如图：∵四边形ACBD是圆的内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠CAD+∠