数学课堂导学：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、基底（1）基底的特征：①两个向量，②不共线.(2）就像平面上可选取不同的坐标系一样,同一平面可以有不同的基底。因此，要表示一个向量时基底不唯一，但是基底给定时,向量的表示法唯一，即若a=λ1e1+λ2e2=λ1′e1+λ2′e2,则λ1=λ1′且λ2=λ2′.(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解。【例1】下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（）A。①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一。在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案：B各个击破类题演练1设点O是ABCD两对角线交点，下列向量组：①与；②与；③与;④与。可作为该平面其他向量基底的是（)A.①②B.①③C.①④D。③④解析:①与不共线；②=—,∥，与共线；③与不共线;④=-,∥，与共线。由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底。答案：B变式提升1e1、e2是平面内的一组基底,则下面四组向量中，不能作为一组基底的是（）A.e1和e1+e2B.e1-2e2和e2—2e1C。e1-2e2和4e2—2e1D.e1+e2和e1-e2解析:∵4e2-2e1=—2（e1—2e2），∴e1—2e2与4e2-2e1共线,不能作为基底.∴选C.答案：C二、平面向量基本定理及其应用关于定理的说明：（1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；(2）平面内的任一向量都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；（3）对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的不共线向量都可作为基底；(4)当平面内取定一组基底a0、b0后，任一向量m都被a0、b0唯一确定，其含义是存在唯一实数对(λ1，λ2),使m=λ1a0+λ2b0。若还有m=λ1′a0+λ2′b0.则必有λ1=λ1′且λ2=λ2【例2】用向量法证明三角形的三条中线交于一点。思路分析：解决本题有两个关键点：一是由题意证明三线交于一点，需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点,这两点为终点的两向量相等，从而得这两点重合。证明:设D、E、F分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点,令=a,=b为基底，则=a-b,=a-b，=—a+b,设AD与BE交于点G1，且=λ,=μ，则有=λa-b，=-a+μb。又有=+=(1—）a+(μ—1）b,∴解得λ=μ=,∴=,再设与交于G2，同理求得=，∴G1点、G2点重合，即AD、BE、CF交于一点.∴三角形三条中线交于一点。温馨提示平面向量基本定理是向量法的理论基础，这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线向量“生成”的，或者说，任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示的实质,它不仅提供了向量的几何表示方法,同时也使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁。如我们已经证明过的结论:若A、B是直线l上任意两点,O是l外一点，则对直线l上任一点P，存在实数t,使OP关于基底｛,}的分解式为=（1—t）+t(＊)并且满足(*)式中点P一定在l上.实际上，向量等式(*)叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数。类题演练2已知向量a、b，求作向量3a-2b方法一:如图，（1)取一点O，作=3a，=—2b.（2）作△OAB,则就是求作的向量.方法二:如图，(1）取一点O，作=3a，=—2b。（2)作OABC,则就是求作的向量.（1）（2）温馨提示（1）已知基底求作向量,就是先取平面上任意一点,先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量.(2）本题是平面向量基本定理的简单应用,除可运用平行四边形法则外，还可用向量加法的三角形法则求作向量.变式提升2如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC,E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD,=a，=b,试以a、b为基底分别表示、和.解：∵AD∥BC且AD=BC,∴==b。∴==b。又∵=，∴=b。∴=-=a-b。∴=+=——=-b-（a-b)=b-a。=+=+=—+=—b+b—a=b—a。=+=—（+)=-（b—a+b）=a—b.温馨提示（1）本例实质上是平面向量基本定理的应用，由于与不共线，因此，平面内的所有向量都可用它们表示出来。（2）任一平面直线型图形，根据平面向量基本定理，都可以表示为某些向量的线性组合.这样解答几何问题,应先把已知和结论线段表示为向量形式,然后通过向量的运算,达到解决问题的目的。三、两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a和b，作=a，=b,则∠AOB(0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角；当θ=0°时,a与b同向；当θ=180°时，a与b反向.说明：（1）向量a与b的夹角定义中强调的是作=a，=b,即强调a、b同起点.在研究具体问题时，涉及到不同起点的夹角问题，要把起点移到同一点;（2）向量a与b夹角范围是0°≤θ≤180°.当θ=0°时,a与b同向；当θ=180°时，a与b反向;（3）向量a⊥b是两向量夹角的特殊情况，在今后学习中会经常用到.【例3】如下图,在Rt△ABC中，边AB、BC、AC的长分别为、2、1,求向量与的夹角.思路分析：由于向量与的夹角不是∠C，应是∠C的补角，因此，我们应先求∠C，然后再求与的夹角。解：∵｜|2+｜｜2=|｜2，∴∠BAC=90°。∵cos∠BCA=,∴∠BCA=60°。∴平移向量使点B与点C重合，则与的夹角为120°.类题演练3在正△ABC中，向量和的夹角是多少度？向量与的夹角是多少度?思路分析：作出图形，根据向量夹角的定义求出即可.解：由图形可知向量与夹角为120°；向量与夹角为60°.变式提升3已