数学课堂导学：向量数量积的坐标运算与度量公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量数量积的坐标运算若a=(a1,a2）,b=(b1,b2）,则a·b=a1b1+a2b2.【例1】已知A（—1,0）,B（0，2),C（—3，1）,且·=5，2=10.(1)求D点的坐标;(2）用、表示.思路分析：求D点坐标要先设出D点的坐标，然后用待定系数法求之。解：(1)设D（x，y）,则=(1,2）,=(x+1,y），所以·=x+1+2y=5,①2=（x+1)2+y2=10.②联立①②,解之,得所以D点的坐标为(—2,3）或(2,1).（2)当D点的坐标为（-2，3)时,=(1，2),=（—1,3),=（—2，1),设=m+n，则(—2,1)=m（1,2）+n(-1,3）,所以所以m=-1，n=1。所以=-+.当D点的坐标为(2，1)时,设=p+q，则（—2，1)=p(1，2）+q(3，1），所以所以p=1，q=—1.所以=-.综上，当D点的坐标为(-2，3）时,=—+。当D点的坐标为(2，1)时,=-.各个击破类题演练1设a=（4,—3)，b=（2，1),若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值。思路分析：运用（a+tb）·b=｜a+tb||b｜cos45°列出等式,解方程。解:a+tb=(4，—3）+t(2，1）=（4+2t,-3+t),(a+tb）·b=（4+2t,—3+t)·(2,1）=5t+5,|a+tb｜=.由(a+tb）·b=｜a+tb||b|cos45°,得5t+5=，即t2+2t—3=0。∴t=—3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去,∴t=1.温馨提示本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会。变式提升1已知向量a与b同向,b=(1，2），a·b=10。(1)求向量a的坐标;（2)若c=(2，-1)，求（b·c)a.思路分析：因为a与b同向，所以在设出a的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.解：（1）∵a与b同向，∴可设a=(k，2k)（k〉0)。又a·b=10,∴（k，2k）·(1,2）=10k=2.∴a=（2，4)。(2）(b·c）a=[(1,2）·（2，—1)]（2，4)=0(2，4）=0.二、两向量垂直条件的坐标表示设a与b为两个非零向量，且a=(a1,a2)，b=（b1，b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0。【例2】在△ABC中,=(2，3），=(1，k），且△ABC为直角三角形，求k的值.思路分析:题目中只给出了△ABC为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.解:若∠A=90°，由已知得·=0，∴2×1+3k=0,解得k=。若∠B=90°，则·=0,∵=-=(1,k)—（2,3)=(-1，k—3），∴·=2×（—1)+3(k—3）=0，解得k=。若∠C=90°,则·=0。∴1×(-1）+k（k-3）=0，即k2—3k—1=0，解得k=。综上可得k=或k=或k=.类题演练2已知a=(1,0）,b=(1,1）,当λ为何值时,(a+λb)⊥a?思路分析：先求出a+λb的坐标，然后由垂直的条件列出方程求解.解:∵a=（1，0),b=（1,1）,∴a+λb=（1+λ，λ)。又∵a+λb与a垂直，∴1+λ+0=0.∴λ=-1。∴当λ=-1时，a+λb与a垂直.变式提升2平面上三点A、B、C共线,=(-2，m),=（n，1），=（5，-1）且⊥。求m、n的值.思路分析：解答本题要注意A、B、C三点共线这个条件的运用，即与共线.解：由题意得向量与共线,即(n+2，1-m)与(7，-1—m）共线。∴解得三、向量的模、距离和夹角公式1.设a=(a1，a2）,则|a｜=.2。设A(x1,y1）,B（x2,y2),则=(x2—x1，y2—y1)，∴||=。3。设a=(a1，a2)，b=（b1,b2),则cos<a,b〉=。【例3】已知a=（—2，—1）,b=(λ,1），若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.思路分析：由于两个非零向量a、b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°；cosθ=0，θ=90°;cosθ=—1，θ=180°；cosθ<0且cosθ≠—1，θ为钝角;cosθ〉0且cosθ≠1,θ为锐角。解:由题意cosα=,∵90°<α<180°,∴—1<cosα<0。∴-1〈<0.∴即即∴λ的取值范围是（—,2)∪（2，+∞）.类题演练3已知a、b是两个非零向量,同时满足|a｜=｜b|=｜a-b｜，求a与a+b的夹角.思路分析:设出a与b的坐标，运用公式。解:设向量a=（x1,y1），b=(x2，y2)。∵|a|=｜b|，∴x12+y12=x22+y22.由｜b|=|a—b|，得x1x2+y1y2=（x12+y12)。由|a+b｜2=2（x12+y12)+2·(x12+y12）=3（x12+y12），得｜a+b｜=。设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.∴θ=30°.变式提升3如右图所示,四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，试用向量法证明⊥.证明：以点D为坐标