一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式及其解法

恒成立问题

△>0有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有两相等实根x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1三个“二次”的关系表中的承担几种角色1、一元二次方程的两根。2、二次函数的零点。3、不等式解的端点。二次不等式的恒成立

例1已知关于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1试求a的取值范围.≥0恒成立，≥0的解集为R恒为非负≥0对任意x∈R都成立解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①当a=2时，y=1符合题意；②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；△＝(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③当a<2时，则a的值不存在；综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.练一练若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对于x∈R恒成立,则实数m的取值范围时

.练一练变式1：若函数的定义域为R，则m的取值范围是__________。求实数a的取值范围。例2：若关于x的一元二次不等式的解集为R，则m的取值范围。__m〈2________通过对上述问题的探究，我们可得到以下结论：达标检测A1.若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解为一切实数，则a的取值范围为 ()A．(－2,2]B．[－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(-1,0]则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例5.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例3.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题则解：构造函数23y..xo例5.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想不等式恒成立问题二、例题探究二、例题变形三、知识小结四、知识拓展基础知识点复习五、代表例题【1】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对于m∈[-1,1]恒成立,则实数x的取值范围是_______.练一练此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.练一练（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法一：∵不等式的解集为∴方程的两根为（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法二：∵不等式的解集为∴方程的两根为由韦达定理得（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法三：∵不等式的解集为由待定系数法得（三）逆向问题题型与解法变式训练21.下列不等式中，解集为实数集R的是（）(B)(A)(C)(D)2.当的解是（）(A)(B)(C)(D)DC课堂练习3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b=

.

（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式ax2-bx+c＜0的解集为

.⑶对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对于任意实数恒成立，则实数a的取值范围为

.4.当m为何值时，方程x2-2mx+2m+3=0

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