吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年吉林省松原市前郭县高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l:3xA.-3 B.-33 2.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为A.y232+7x24=13.已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2A.4x-10y-3=0 B.44.如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE=13AB，F是棱CD的中点，则EFA.-13AB-12AC+1

5.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2A.y2=6x B.y2=12x6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1A.y=±233x B.y7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)如图所示，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为95米的圆H，圆H与直线AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后再到达圆H，则机器人走过的最短路程是(

)

A.741-95米 B.661-98.已知离心率为12的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为23A.3x-2y-2=0 B.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知△ABC的三个顶点是A(1,2)，B(-1,4)，C(2,5)A.边BC的长度是10

B.直线BC的方程为x-3y+13=0

C.边BC上的高所在直线的方程为310.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点.则下列说法正确的是A.点F到直线l的距离是4

B.若PQ的方程是2x-y-4=0，则△FPQ的面积为3

C.若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方形A.若A1P=12(AB+AD)，则|BP|=62

B.若A1P=12(AB+AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：3x-y+4=0，l2：x+2y-1=0，则以13.已知直线l1：x-y-3=0，抛物线C：x2=6y的准线是l2，点P是C上一点，若点P到直线L1，l214.已知O为坐标原点，P(4,0)，点E是直线L：x-3y-3=0上一点，若以E为圆心，2为半径的圆E上存在点Q，使得|PQ四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知A(1,6)，B(-4,7)，C(0,1)，△ABC的外接圆为圆M.

(1)求圆M的方程；

(2)已知直线l:3x-y+216.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D为BC的中点.

17.(本小题15分)

已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是355，焦距为6.

(1)求E的方程；

(2)若直线18.(本小题17分)

如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，△MAB是等边三角形，平面MAB⊥平面ABCD.

(1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值；

(2)已知E，F，G分别是线段AM，DM，CD上一点，且AE=13AM,DF=23DM,CG19.(本小题17分)

极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，极点P(x0,y0)(不是坐标原点)对应的极线为lP:x0xa2+y0yb2=1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为62，左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合，对于椭圆E，极点P(-6,0)对应的极线为lP，过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，在极线答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题可得：y=-3x+3，

所以直线l的斜率k2.【答案】B

【解析】解：因为点A是椭圆C上一点，且|AF1|+|AF2|=42，

所以2a=42，

解得a=22，

则椭圆方程为y28+x2b2=1(22>b>0)，

因为点3.【答案】A

【解析】解：已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=16与圆C2:x2+(y-2)2=10相交于A，B两点，

圆C14.【答案】D

【解析】解：E是棱AB上一点，且AE=13AB，F是棱CD的中点，

EA=13BA，CF=5.【答案】B

【解析】解：因为动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2，

所以点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3.0)的距离相等，

所以点P的轨迹是以(3,0)为焦点，x=-3为准线的抛物线，

6.【答案】D

【解析】解：双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，

由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=2a，∵|PF2|=3|PF1|，∴|PF1|=a7.【答案】A

【解析】解：以点A为原点，分别以AB、AD为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，

由题意得A(0,0)，E(4,0)，F(8,4)，G(4,8)，可得AG：y=2x，

因为圆H与直线AB相切于点E且半径为95，

所以圆H的方程为(x-4)2+(y-95)2=8125.

设点F关于直线AG的对称点为F'(a,b)，

则可得b-4a-8×2=-1,4+b2=2×8+a2,解得a=-85,b=445,

连接F'H，线段F'8.【答案】B

【解析】解：由题，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

则ca=122b=23c2=a2+b2，解得：a=2b=3c=1，

所以椭圆方程为x24+y23=1，

因为14+143<1，则点P在椭圆C内，

因为直线l过点P(1,12)且与椭圆C交于A、B两点，

9.【答案】ABD

【解析】解：对于A，由B(-1,4)，C(2,5)，可得|BC|=(2+1)2+(5-4)2=10，故A项正确；

对于B，kBC=5-42+1=13，可得直线BC的方程为y-4=13(x+1)，即x-3y+13=0，故B项正确；

对于C，BC边上的高所在直线的斜率为k=-1kBC=-3，

结合A(1,2)，可知BC边上的高所在直线的方程为y-2=-3(x-1)，即3x+y-10.【答案】BD

【解析】解：对于A，由题意可知抛物线C的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x=-1，

所以点F到直线l的距离是2，故A错误；

对于B，联立2x-y-4=0y2=4x，化简得：y2-2y-8=0，

解得y=-2或y=4，所以|yP-yQ|=6，

又PQ与x轴的交点为E(2,0)，所以|EF|=1，

所以△FPQ的面积为12|EF|⋅|yP-yQ|=3，故B正确；

对于C，因为PQ的中点G到直线l的距离为3，所以xP+xQ2+1=3，即xP+xQ=4，

所以|FP|+|FQ|=xP+xQ+2=6，故C错误；

对于D，设PQ：x=my+4，P(x1,y1)，Q(x1,y211.【答案】ACD

【解析】解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，

设P(x,y,1)，其中0≤x≤1，0≤y≤1，

对于A选项，由A1P=12(AB+AD)=12[(1,0,0)+(0,1,0)]=(12,12,0)，得x=y=12，即P(12,12,1)，

所以BP=(-12,12,1)，

所以|BP|=62，故A正确；

对于B选项，由A选项知P(12,12,1)，

所以AP=(12,12,1)，

而C1D=(-1,0,-1)，

设直线AP和C1D所成角为θ(0≤θ≤π2)，则cosθ=|cos⟨AP⋅C1D⟩|=|AP⋅C1D||AP|⋅|C1D|=12.【答案】(x【解析】解：由3x-y+4=0x+2y-1=0，解得x=-1y=1，

所以l1，l2的交点为(-1,1)，

故所求圆的圆心是(-1,1)，半径为r=13.【答案】9【解析】解：抛物线C的焦点是F(0,32)，准线是l2:y=-32，

设点F到直线l1的距离为d，则d=924，∴d1+d2=14.【答案】[3【解析】解：由题意可设E(3m+3,m)，则圆E的方程为(x-3m-3)2+(y-m)2=4.

若圆E上存在点Q，使得|PQ|=3|OQ|，

设Q(x,y)，则(x-4)2+y2=3x2+y2，

化简可得(x+12)2+y2=9415.【答案】解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

因为A(1,6)，B(-4,7)，C(0,1)均在圆上，

则12+62+D+6E+F=0(-4)2+72+(-4)D+7E+F=002+12+E+F=0，解得【解析】(1)利用待定系数法设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，结合题意解出D，E，F即可求解；

(2)16.【答案】(1)证明：设A1B∩AB1=E，连接DE，则E是A1B的中点，

因为D为BC的中点，所以DE//A1C，

又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

所以直线A1C//平面AB1D.

(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又AB⊥AC，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB⊥AC，AB=AC=2，

所以BB1=BC=22，

所以【解析】(1)设A1B∩AB1=E，连接DE，易知DE17.【答案】解：(1)由于E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为6，离心率是355，

因此ca=355,2c=6，其中c=a2+b2，所以a=5,c=3，因此b=c2-a2=2.

因此E的方程为x25-y24=1.

(2)设B(x2【解析】(1)根据双曲线离心率和焦距求出a，b即可．

(2)先设A，B两点坐标，再联立双曲线方程和直线l，再根据韦达定理求解即可．

本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)取AB，CD的中点分别为O，O1，连接OO1，

因为底面ABCD是正方形，所以OO1⊥AB，

因为△MAB是正三角形，O为AB的中点，所以MO⊥AB，

又平面MAB⊥平面ABCD，平面MAB∩平面ABCD=AB，MO⊂平面MAB，

所以MO⊥平面ABCD，又AB，OO1⊂平面ABCD，

所以MO⊥AB，MO⊥OO1，

以O点为原点，以OB，OO1，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

由题意：O(0,0,0),A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(-3,6,0),M(0,0,33)，

CD=(-6,0,0),CM=(-3,-6,33)，

设平面CDM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则由n⊥CD，n⊥CM，可得CD⋅n=0CM⋅n=0，即-6x=0-3x-6y+33z=0，

令y=3，则x=0,z=23，

可得平面CDM的一个法向量为n=(0,3,23)，

易知平面ABM的一个法向量为m=(0,1,0)，

设平面CDM与平面ABM所成二面角为θ，

则|cosθ|=|cos【解析】(1)通过证明MO⊥平面ABCD，可建立以O点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面CDM与平面ABM的法向量，结合空间向量知识可得答案；

(2)由题可得平面EFG的法向量，后设BHBM=λ(0≤λ≤1)，可得点H19.【答案】(1)解：因为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为62，即2a=62，解得a=32，

因为椭圆E的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点(-3,0)重合，所以a2-b2=c=3，解得b=3，

所以椭圆E的方程为x218+y29=1；

由题意可知对于椭圆E，极点P(-6,0)对应的极线lP的方程为-6x18+0⋅y9=1，即x=-3；

(2)证明：设Q(-3,t)，由题意知直线l的斜率必然存在，

故设直线l：y=k(x+6)，M(x1,