新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-导数与函数的单调性

PAGE6.2利用导数研究函数的性质6．2.1导数与函数的单调性学习目标核心素养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(1)(2)导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函数．思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？[提示]充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． ()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． ()[答案](1)×(2)×(3)√2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定B[由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]3．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．(1，＋∞)[∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．]4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．(1，＋∞)(－∞，1)[由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．]函数与导函数图像间的关系【例1】(1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的是()A．①② B．①③C．②③ D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()(1)A(2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.eq\O([跟进训练])1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()ABCD(1)D(2)A[(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]利用导数求函数的单调区间角度一不含参数的函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x；(3)f(x)＝x＋eq\f(1,x).[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－eq\f(2,x)，令f′(x)＝0，得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)，用x1分割定义域，得下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域，得下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．角度二含参数的函数的单调区间【例3】讨论函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性．[思路点拨]eq\x(求函数的定义域)→求f′(x)eq\o(→,\s\up7(分a>0，a＝0))eq\x(解不等式f′x>0或f′x<0)→eq\x(表述fx的单调性)[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－eq\f(a＋1,x)＝eq\f(ax2＋x－a＋1,x).(1)当a＝0时，f′(x)＝eq\f(x－1,x)，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．(2)当a＞0时，f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋1,a)))x－1,x)，∵a＞0，∴－eq\f(a＋1,a)＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．利用导数求函数单调区间的步骤1确定函数fx的定义域.2求导数f′x.3由f′x>0或f′x<0，解出相应的x的范围.当f′x>0时，fx在相应的区间上是增函数；当f′x<0时，fx在相应的区间上是减函数.4结合定义域写出单调区间.eq\O([跟进训练])2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围[探究问题]1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路点拨]eq\x(fx单调递增)→eq\x(f′x≥0恒成立)→eq\x(分离参数求a的范围)[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，所以，f(x)＝x3－1在R上是增函数．综上，a≤0.1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的值．[解]f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．不符题意．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)，当－eq\f(\r(3a),3)＜x＜eq\f(\r(3a),3)时，f′(x)＜0.∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，∴eq\f(\r(3a),3)＝1，即a＝3.2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．[解]由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1≤0,f′1≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a≤0,3－a≤0))，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜eq\f(\r(3a),3)＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．判断函数单调性的方法如下：(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号来确定函数的单调性．(2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值．同样也可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题．1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是()D[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]2．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)B[函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝eq\f(1,x)－1，由f′(x)＝eq\f(1,x)－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2