概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题(1)

一、判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“V”,错误打“X”)

⑴对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)()

⑵设A、B是Q中的随机事件，则(AUB)-B=A()

⑶若X服从参数为X的普哇松分布，则EX=DX()

(4)假设检验基本思想的依据是小概率事件原理()

1n一

⑸样本方差S：=—-X)2是母体方差DX的无偏估计()

nM

二、(20分)设A、B、C是。中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来

(1)仅A发生，B、C都不发生；

(2)A,5c中至少有两个发生；

(3)A,5c中不多于两个发生；

(4)A,5c中恰有两个发生；

(5)A,5c中至多有一个发生。

三、(15分)把长为。的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为

求y=x2的分布列.

五、(10分)设随机变量X具有密度函数/(x)=geTH,00<X<00,

求X的数学期望和方差.

六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在

随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求尸(14VX<30).

①

七、(15分)设X-X2,…,X”是来自几何分布

p(X=k)=pQ-p)i,k=l,2,…,0<p<l,

的样本，试求未知参数p的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题(1)评分标准

一(1)X；(2)X；(3)V；(4)7；(5)X。

二解(1)ABC

(2)ABUACU3C或ABCIJABeUA5CUZBC；

(3)ZU月U。或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC:

(4)ABC\JABC\JABC；

(5)Z耳耳。或Z耳「UA耳。豆C

每小题4分；

三解设4='三段可构成三角形'，又三段的长分别为—x—y,则

0<%<tz,0<y<Q,0<九+,<a,不等式构成平面域S.------------------------5分

A发生=0<x<3,0<y<—,—<x+y<a

222

不等式确定S的子域A,------------------------10分

所以

-------------------------15分

四解y的分布列为

70149

530530

Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

五解EX=\+Xx-^Mdx=0,(因为被积函数为奇函数)-----------------4分

Jf2

=2［一祀一1+J()"*办］=2.-------------------------10分

六解XXXX

30-2014-20

尸(14<X<30)»①(「)-0(—._)----------------10分

<16V16

=0.927.15分

n~n

七解…,x,;p)=np(l-p)e=p"(y-p)H------5分

i=\

d]nL

W------A0--------------------10分

dp1-P

解似然方程

P1-P

得p的极大似然估计

1八

p--=-o------------------------------------------15分

X

《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设事件A3仅发生一个的概率为，且P(A)+P(3)=0.5,则A3至少有一个不发生的

概率为.

2.设随机变量X服从泊松分布，且尸(XM1)=4尸(X=2),则P(X=3)=.

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量丫=乂2在区间(0,4)内的概率

密度为人(y)=.

4.设随机变量XI相互独立，且均服从参数为4的指数分布，尸(X>l)=e-2,则

2=，P{min(X,r)<1}=.

5.设总体X的概率密度为

(0+l)x0,0<x<1,

/(x)=,

0,其它

X],X2,…,X”是来自X的样本，则未知参数。的极大似然估计量为.

解：1.P(A5+A5)=0.3

即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)

所以P(AB)=0.1

P(AUB)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.

外

2.P(X<1)=P(X=0)+P(X=1)=P(X=2)=~e-A

由P(X<1)=4P(X=2)知e<+QT=2"eT

即242—2—1=0解得2=1,故

p(X=3)=、.

3.设y的分布函数为K(y),X的分布函数为用(x),密度为£(%)则

因为X~U(0,2),所以&(一挺)=0,即耳(y)=%(6)

故

另解在(0,2)上函数丁=必严格单调，反函数为/z(y)=J]

所以

4.尸(X>1)=1—P(X<l)=eT=/2,故2=2

=il-e—4.

5.似然函数为L4,…,七;，)="(。+1)端=(。+1)"(凡「,乙)“

i=l

解似然方程得e的极大似然估计为

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.设A3,C为三个事件，且A3相互独立，则以下结论中不正确的是

(A)若P(C)=1,则AC与8C也独立.

(B)若P(C)=1,则AU。与8也独立.

(C)若尸(C)=0,则AU。与8也独立.

(D)若Cu5,则A与C也独立.()

2.设随机变量X~N(0,l),X的分布函数为①(x),则P(|X|>2)的值为

(A)2口—①(2)].(B)2①(2)—1.

(C)2—①(2).(D)1-20(2).()

3.设随机变量X和F不相关，则下列结论中正确的是

(A)X与F独立.(B)D(X-Y)=DX+DY.

(C)D(X-Y)=DX-DY.(D)D(XY)=DXDY.()

4.设离散型随机变量X和F的联合概率分布为

若XI独立，则。,尸的值为

2c11c2

(A)CC——,8=—.(A)cc——,P=~.

9999

1/、5

(C)OL——,(D)cc——,/3=—.()

61818

5.设总体X的数学期望为〃,X],X2,…,X,,为来自X的样本，则下列结论中

正确的是

(A)X]是〃的无偏估计量.(B)X]是〃的极大似然估计量.

(C)&是〃的相合(一致)估计量.(D)X1不是〃的估计量.()

解：1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以(A),(B),(C)

都是正确的，只能选(D).

可见A与C不独立.

3(|X\<2)=1-P(-2<X<2)

=2[l-O(2)]应选(A).

3.由不相关的等价条件知应选(B).

(2)P(B|A)==°-9x0-95=0.9977.

P(A)0.857

四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分

布函数、数学期望和方差.

解：X的概率分布为

X0123

即

P2/30o

125125125125

X的分布函数为

…―2318

DX=3x—x—二

5525

五、（10分）设二维随机变量（X,y）在区域D=｛（x,y）|x20,y>0,x+y<l｝上服从均

匀分布.求（1）（x,y）关于X的边缘概率密度；（2）Z=X+F的分布函数与概率密

或利用分布函数法

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标F相

互独立，且均服从N（0,2?）分布.求（1）命中环形区域。=｛（%丁）|1<必+：/<2｝的

概率；（2）命中点到目标中心距离z=Jx?+y2的数学期望.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N^,a2）,今抽取容量为16的

样本，测得样本均值元=10,样本方差/=016.（1）求〃80

（附注）?0.05（16）=1.746,Z005（15）=1.753,Z0025（15）=2.132,

解：（1）〃的置信度为1—a下的置信区间为

所以〃

（2）“°：仁2vo.l的拒绝域为％22必（九一1）

15V2

/===15x1.6=24,总。5（15）=24996

因为/=24<24.996=总05（15）,所以接受％.

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1）设事件4与8相互独立，事件8与C互不相容，事件A与。互不相容，且

P（A）=P（B）=0.5,P（C）=0.2,则事件A、B、。中仅。发生或仅C不发生的

概率为.

（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2

个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为.

,,2x,0<%<1,

（3）设随机变量x的概率密度为y（x）={现对x进行四次独立重复观

察，用F表示观察值不大于的次数，则后/=.

（4）设二维离散型随机变量（x,y）的分布列为

若£xr=o.8,则Cov（x,y）=.

（5）设X],X2,…,X17是总体N（〃,4）的样本，S2是样本方差，若P（S2〉a）=0.01,则

(注：/。|(17)=33.4,_/。。5(17)=35.7,7,(16)=32。/.(2=34.2)

解：(1)P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

因为A与C不相容，B与C不相容，所以XnC,耳=)C,故湿C=C

同理ABC=AB.

P(ABC+ABC)=P(C)+尸(AB)=02+0.5x0.5=0.45.

(2)设4='四个球是同一颜色的'，

4='四个球都是白球'，B2='四个球都是黑球'

则A—Bx+BT，

所求概率为P(B2|A)=P—)=—也也一

-P(A)P(BJ+P(BJ

所以P(B2|A)=1.

(3)7~5(4,p),

f0.521

其中p=P(X<O.5)=Jo2xdx=x\^=-,

1133

Ey=4x-=1,py=4x-x-=-,

4444

EY2=DY+(EY)2--+1=-.

44

（4）（x,y）的分布为

这是因为a+b=OA,由EXy=0.8得0.2+26=0.8

£X=0.6+2x0.4=1.4,£7=0.5

故cov(X,r)=£Xy-£XEr=0.8-0.7=0.1.

16c»2

(5)P(S2>a)=P{—>4a}=0.01

4

即/.oi(16)=4a,亦即4a=32a=8.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

(1)设A、B、C为三个事件，P(AB)>OMP(C|AB)=1,则有

(A)P(C)<P(A)+P(3)—1.(B)P(C)<P(AUB).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1.(D)P(C)>P(AUB).()

(2)设随机变量X的概率密度为

且y=aX+人~N(0,l),则在下列各组数中应取

(A)«=1/2,b=l.(B)a=-s/2/2,b=y/2.

(C)a=1/2,b=—l.(D)a=A/2/2,b=—^/2.()

（3）设随机变量X与F相互独立，其概率分布分别为

则有

（A）p（x=y）=o.（B）p（x=y）=o.5.

（Op（x=y）=o.52.（D）p（x=y）=i.()

（4）对任意随机变量X,若EX存在，则E［石（EX）］等于

（A）0.（B）X.（C）EX.（D）（EX）3.()

（5）设石,々,…,凡为正态总体N（〃,4）的一个样本，元表示样本均值，则〃的

置信度为1-。的置信区间为

4_

(A)(九—“a/2-X+U

y/n

L2_

X+U

(B)(九一%_a/2—/=，

7n

2_

(C)(%—U―~r=,X+W

ay/n

/—2.

(D)=)

(X-l^a/2~f^^〃

解(1)由尸(C|AB)=1知P(ABC)=P(AB),故P(C)NP(AB)

应选C.

2

1(尤+2)2[x-(-2)]

]J2(应产

(2)/(x)=f—e4

0疡

27兀

即X~N(-2,0)

1-2

故当b-=0时Y=aX+b~Ng,1)

"=万V2

应选B.

(3)p(x=y)=尸(X=o,y=o)+尸(x=i,y=i)

应选c.

(4)E[E(EX)]=EX

应选C.

(5)因为方差已知，所以〃的置信区间为

应选D.

三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都

是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

解：设4='从箱中任取2件都是一等品‘

4='丢失，等号’i=l,2,3.

则P(A)=P(B1)尸(414)+P®)P(A|约)+P(B3)P(A|B3)

所求概率为P(5"A)「团由)=|.

四、(10分)设随机变量X的概率密度为

求(1)常数。；(2)X的分布函数歹(x)；(3)P(1<X<3).

解：(1)1=[f{x)dx=f(ax+V)dx=(―%2+X)Q=2«+2

j-ooJo2"

1

・・a=—

2

(2)X的分布函数为

(3)P(1<x<3)=J]f(x)dx=J](1一^)dx=).

五、(12分)设(X,Y)的概率密度为

求(1)边缘概率密度片(x),人(y)；(2)P(X+Y<I)；

(3)Z=X+F的概率密度/^z).

IfO,x<0,

=<

x>0.[xe~x,x>0.

i-y_

e~xdxdy

y*

=jj(e~y-ey-/)dy=l-2e+e~l.

p4-00

(3)fz(z)=\/(x,z-x)dx

J—00

z|Z=2x当z<0时加z)=0

//7,-xz>0时(z)=j,e~xdx=e-e~z

//所以

六、(12夕/(l)设X~U[O,1],工~。[0,1]且乂与丫独立，求E|X—“；

一\Q(2)设X~N(0,U,丫~阳0,1)且乂与丫独立，求E|X—y|.

r+oo广+co

解:(1)E|x-y|=JJ于(X,y}\x-y\dxdy

—00

3

;独立，所？IZ=X—y~N(0,2)

01I—%

X-Y

E\-=J-,所以E|X—丫|二3.

V71〃

七、（10分）设总体的概率密度为

试用来自总体的样本国,4,…,4,求未知参数。的矩估计和极大似然估计.

解：先求矩估计

故。的矩估计为。=工一

6=-^-

1-〃11-X

再求极大似然估计

所以。的极大似然估计为

0=--------——.

-t^xi

ni=i

《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1）设P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（B|X）=0.8,则A,6至少发生一个的概率为

（2）设X服从泊松分布，若EX2=6,则尸（X>1）=.

（3）设随机变量X的概率密度函数为7>（x）=<a（x+l）'0<x<2，今对x进行&次

、0,其他.

独立观测，以F表示观测值大于1的观测次数，则DF=.

（4）元件的寿命服从参数为二一的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够

100

正常工作100小时以上的概率为.

(5)设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(〃,cr2),今随机地测量16个零

1616

件，得XX,=8,XX：=34〃的置信区间为.

i=lZ=1

解：(1)0.8=/(例4)="丽=P(3)―P(A5)得p(AB)=0.2

l-P(A)0.5

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1—02=0.9.

(2)X~P(2),6=EX2=DX+(EX)2=2+22故2=2.

=1-1-21=1-3/2.

215

(3)Y-B(8,p),其中p=P(X>l)=rLz(x+l)办=可

Dy=8x-x-=—.

888

(4)设第，件元件的寿命为Xj,则X,~E(‘)，i=l,2,3,4,5.系统的寿命为丫，所

求概率为

(5)〃的置信度1-1下的置信区间为

所以〃的置信区间为(—0.2535,1.2535).

二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入()

中，每小题3分，共15分)

(1)A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是

(A)(A—矶5=4股.

(B)(A\JB)-A=B.

(C)(A\JB)-AB^AB\JAB.

(D)(AUB)C=(A-C)U(5-C).()

(2)设X-X2是随机变量，其分布函数分别为石。)，工(x),为使

Rx)=a耳(6+况乂%)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取

,、3,22,2

(A)a=—,b——.(B)ci——,b——.

5533

1,3

(C)a=——,b=—.(D)ci——,b——.)

2222

(3)设随机变量X的分布函数为用(x),则F=3-5X的分布函数为号(y)=

(A)Fx(5y-3).(B)54(y)-3.

(C)心(q).(D)1—"(『).()

Xj-101

(4)设随机变量X],X2的概率分布为-O―1―ri=l，2.

P一—一

424

且满足P(X|X2=0)=1,则X],X?的相关系数为Px、x,=

(A)0.(B)(C)(D)-1.()

42

(5)设随机变量X〜U[O,6],Y〜5(12,：)且X,丫相互独立，根据切比

雪夫不等式有。(X—3<y<X+3)

(A)<0.25.(B)<—.(C)>0.75.(D)>—.()

1212

解：(1)(A)：成立，(B)：(A\JB)-A=B-A^B应选(B)

(2)F(^)=l=a+b.应选(C)

(3)FY(y)=P(y<y)=P(3-5X<y)=P(X>(3-y)/5)

=l-P(^^>X)=l-^(^^)应选(D)

(4)(X-X2)的分布为

EX]=0,EX2=0,改1*2=0,所以cov(X-X2)=0,

于是pYY=0.应选(A)

玉A2

(5)P(X-3<Y<X+3)=P(\Y-X\<3)

由切比雪夫不等式

21

P(\Y-X\<3)>l-^-=—应选(D)

三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为丸的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买4种商品的概率为p,若顾客购买商品是相互独立的，

求一天中恰有左个顾客购买A种商品的概率。

解：设3='一天中恰有左个顾客购买4种商品’k=0,1,

C„='一天中有几个顾客进入超市'n=k,k+1,

0000

则P(B)=£P(C“B)=EP(C")P(B1C.)

n=kn=k

---------cK—0,1,,,,.

k\

四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平均成绩(即参

数〃

的成绩，以y表示成绩在60分至84分之间的人数，求(1)F的分布列.(2)

口和。y.

84-72

解：(1)Y〜8(100,p),其中p=P(60<X«84)=(D(---------)

a

96-7224

由0.023=P(X>96)=1—0(--------)=1-0(—)

aa

242412

得①(一)=0.977,即一二2,故一二1

a（Ja

所以p=2①(1)—1=0.6826.

故Y的分布列为P(Y=k)=a*(0.6826)/(0.3174)1°鹏

(2)£¥=100x0.6826=68.26,£>7=68.26x0.3174=21.6657.

五、(10分)设(X,Y)在由直线x=l,x=/,y=0及曲线丁=」所围成的区域

X

上服从均匀分布,

(1)求边缘密度/x（x）和人⑶），并说明X与F是否独立.

(2)求p（x+y»2）.

fe21,2

区域。的面积—公=『e

解:SD=J|lnx=2

\v

（x,y）的概率密度为

办,l<x<e2,

(1)f(y=l/xJy=<

0,其它.

■►x

01

Q2)因/（x,y）w/x（x>4（y），所以x,y不独立.

(3)P(X+F>2)=l-P(X+y<2)=l-jjf(x,y)dxdy

x+y<2

=1,1—X—1=1,—1=—3=0….75.

2244

六、（8分）二维随机变量（x,y）在以（-1,0）,（0,1）,（1,0）为顶点的三角形区

域上服从均匀分布，求工=乂+卜的概率密度。

y1,(X,y)eD,

解1:（X,y）的概率密度为7（x,y）=<

0,其它.

设Z的概率密度为人（z）,则

当z<-l或z>l时L(z)=0

->x

-1z+l-I

x+y=z1当—1v2<1时/2(z)=。“十

■y所以Z的密度为

解2：分”,敢法，设Z的分布函数为^（z），则

故Z的密度为

七、(9分)已知分子运动的速度X具有概率密度

4%2-(—)2

--~ca,x>0,a>0,

f(x)=<a4TU占，％2,…，X”为X的简单随

0,x<0.

机样本

(1)求未知参数a的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为a的

无偏估计。

ft?：(1)先求矩估计

再求极大似然估计

(2)对矩估计

所以矩估计a=晅叉是a的无偏估计.

2

八、(5分)一工人负责几台同样机床的维修，这几台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为。(米)。假设每台机床发生故障的概率均为

且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走

n

的路程，求£Z.

解：设从左到右的顺序将机床编号为L2,n

X为已经修完的机器编号，y表示将要去修的机床号码，则

于是

《概率论与数理统计》试题(5)

一、判断题(每小题3分，本题共15分。正确打“J”，错误打“X”)

(1)设A、B是Q中的随机事件，必有P(A-B)=P(A)-P(B)()

⑵设A、B是Q中的随机事件，则AUB=AUABUB()

⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=p()

一1n

⑷样本均值X=nZ7是母体均值EX的一致估计()

⑸X-N(//,o-f),Y-N(//,o-j),贝。X-Y-N(0,o■:cr；)()

二、计算(10分)

(1)教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；

(2)房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

三、(10分)设P(A)>0,P(B)>0,证明4、5互不相容与A、8相互独立不能同时

成立.

四、(15分)某地抽样结果表明，考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布，平均

成绩(即参数〃

①

五、(15分)设(x,y)的概率密度为

问x,y是否独立？

六、(20分)设随机变量服从几何分布，其分布列为

p(X=k)=(l-p)ip,Q<p<l,k=l,2,

求EX与DX

七、(15分)设总体X服从指数分布

试利用样本X],乂2,…,X“，求参数。的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题(5)评分标准

一(1)X；(2)V；(3)X；(4)J；(5)Xo

二解(1)设人=’他们的生日都不相同'，则

P(A)=----------------------------------------------------5分

365’

(2)设3='至少有两个人的生日在同一个月‘，则

p(B)==41.

12496’

或

_尸44I

P(B)=1-P(B)=1—-底=-----------------------------------------10分

12496

三证若4、8互不相容，则A3=。，于是尸(AB)=0/P(A)P(5)>0

所以A、8不相互独立.----------------------------------------5分

若A、8相互独立，则P(A3)=P(A)P(5)>0,于是

即A、8不是互不相容的.------------------------------------------5分

96—7224

四解0.023=P(X>96)=1-0(———)=1—①(一)----------------3分

aa

242412

0(—)=0.977,—=2,—=1.--------------------------------7分

aaa

所求概率为

P(60<X<84)=①产-72)_①(60—72)=①(马-0(--)--------12分

aaaa

=2①(1)-1=2X

五解边际密度为

0,x<0,0,x<0,

(

•/xx)=]+"(x,y)dy=<4-00_--5分

J—00e~xe~ydy,x>0;e~x,x>0.

o

0,y<0,

人(y)=<10分

e~y,y>0.

因为/(x,y)=Fx(x>^(y)，所以X,y独立.------------------------15分

0000f00、

六解，EX=£kQ-p)ip=p£kqk-1-8分

二P少

k=\k=lk=\x-q\k=l7x=q

其中q=l-p

由函数的幕级数展开有

81

〜k=0占i-x

所以

1

EX=p12分

因为

0000

EX2-SKpqk"=px(^xky

=P16分

k=\k=lx=q

所以

DX=EX2-(EX)1=^~-==2.-------------------------------------20分

P~PP

n+n0

七解L(X……,X”；=ei,x,.>9,i=l,2,--；n.

i=l

n

InL=nd-ZXj--------------------------------------------------------------8分

i=l

由极大似然估计的定义，。的极大似然估计为6=()---------------------------15分

《概率论与数理统计》试题(6)

、判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“J”，错误打“X”)

(1)设A、B是Q中的随机事件，则A—BuA()

⑵对任意事件A与B,则有P(AUB)=P(A)+P(B)()

⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq()

2

(4)x~N(//,cr),Xi,x2,……Xn是X的样本，则X~N(〃，er?)()

⑸X为随机变量，则DX=Cov(X,X)------------------------------------------------()

二、(10分)一袋中装有机枚正品硬币，〃枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋

中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.

三、(15分)在平面上画出等距离a(a>0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长

/(/<a)的针，求针与任一平行线相交的概率.

四、（15分）从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是

2

相互独立的，并且概率都是,，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、

分布函数和数学期望.

五、（15分）设二维随机变量（X,F）在圆域x2+y2Wa2上服从均匀分布，（1）求X和丫

的相关系数o；（2）问x,y是否独立？

六、（10分）若随机变量序列X],X2,…,x“，…满足条件

试证明｛X“｝服从大数定律.

七、（io分）设x-X2,…,x”是来自总体/（x,e）的一个样本，仇（x「…,x”）是。的一

个估计量，若EOn=0+kn,D0„=仇且limkn=lim成=0

n—>oon-»oo

试证凡是。的相合（一致）估计量。

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为。嚏26毫米（a=0.05）.正态分布表如下

①

《概率论与数理统计》试题（6）评分标准

一（1）V；（2）X；（3）X；（4）X；（5）Vo

二解设4='任取一枚硬币掷r次得r个国徽’，

B='任取一枚硬币是正品'，

则

A=BA+BA,---------------------------------------5分

所求概率为

m[1丫+nm+n-2'

m+n\2)m+n

三解设4='针与某平行线相交'，针落在平面上的情况不外乎图中的几种,

设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

仁为针与平行线的夹角，则

0<x<-|^,G<（p<n,不等式确定了平面上

的一个区域S.------------------------6分

A发生ox<gsin夕,

不等式确定S的子域A----------------10分

故P(A)-----—sin(pd(p=——

aJo2*▼a兀

—71

--------------------------------------------------15分

四解X~B(3,|),分布律为P(X=Q=0(|y(|)3Mk=0,1,2,3.

即

X0123

P2754368---------------------5分

125125125125

X的分布函数为

0,x<0,

27八

----,0