2024年新高考艺体生冲刺复习考点21 随机变量与分布列（解析版）

考点21随机变量及分布列

知识点一随机变量的

知识点二离散型随机变量分布列的概念及性质

知识点三均值与方差

知识点四两点分布

知识点五超几何分布

知识点

知识点六二项分布

知识点七条件概率

随

机知识点八事件的相互独立性

变

知识点九独立重复试验

量

及知识点十正态分布

分

布

列「考点一离散型随机变量分布列及均值与方差

一考点二超几何分布

~一一考点三二项分布

考点一

一考法四相互独立事件

考点五条件概率及全概率

考点六正态分布

一.随机变量的有关概念

1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母x,匕前小…表示.

2.离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.

离散型随机变量分布列的概念及性质

1.概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为田，及，…，X，…,心，X取每一个值Mi=L2,…，〃)

的概率P(X=M=p”以表格的形式表示如下：

XX2•••Xi・..X”

PPiP2•••Pi•••p〃

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式p(x=M)=0,i=l,2

〃表示X的分布列.

2.分布列的性质

Q）pr>0,/=1,2,3,...»/:；②

三,均值与方差

I.均值：称卬0=即〃|+叼2+...+.叩+...+”m为随机变量*的均值或数学期望，它反映了离散型随机变

量我值的平均水平.

n

2.方差：称。（为=工卬一双曾］2/方为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值£（X）的平均偏离程

度，其算术平方根历为随机变量X的标准差.

3.均值与方差的性质

（l）E（aX+份=a£（X）+b.（2）O（aX+b）=/D（X）m，6为常数）.

四.两点分布

如果随机变量X的分布列为

X01

Pl—pP

其中0<p<l,则称离散型随机变量X服从两点分布.其中〃=RX=1）称为成功概率.

五.超几何分布

1.概念:在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则尸（乂=6=笔金"=0』,2,…,

m,其中机=min{M,〃},且胫N,M&N,n,M,N£N",称随机变量X服从超几何分布.

X01•・・m

d/C吼%cba」

P・・・

acwCK，

2.特征

<1）超几何分布描述的是不放叵抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数

（2）考察对象分两类

（3）已知各类对象的个数

（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的

小球等概率模型，蛀实质是古典概型

六.二项分布

在〃次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则尸（X=Q

=④//（1一〃厂心=0.1,2,…，〃），此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜8（〃，p）,并称〃为成功概

率.

七.条件概率

1.定义和性质

条件概率的定义条件概率的性质

设4,8为两个事件，且W)>0,称P(B\A)=0O(1)O<P(B|A)S1;

P(A)(2)如果8和C是两个互斥事件，则尸(BUCIA)

为在事件A发生的条件下，事件8发生的条件概率=P(8|A)+P(C|A)

2.求条件概率的两种方法

(1)利用定义，分别求P(A)和尸(AB),得P(阴4)=这是求条件概率的通法.

P(A)

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃(㈤，再求事件人与事件B的交事件中包含的

基本事件数〃(48),得代用田=生竺2.

"(4)

八.事件的相互独立性

I.定义：设A,8为两个事件，如果尸(48)=P(A)/(8),则称事件A与事件3相互独立.

2.性质：①若事件A与4相互独立，则P(阴A)=P⑹，P(4|8)=P(A).

②如果事件4与8相互独立，那么4与石，7"与B,工与方也相互独立.

3.求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.

(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解•.

②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

九,独立重复试验

在相同条件下重复做的〃次试验称为〃次独立重复试验，其中A/i=l,2,…，〃)是第i次试验结果，则

P(AM2A3…4)=P(ADP(A2)P(A3)…P(A〃).

十.正态分布

1.正态曲线的特点：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线X="对称；

③曲线在x=n处达到峰值志；

④曲线与x轴之间的面枳为1；

⑤当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着"的变化而沿工轴平移；

⑥当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；〃越大，曲线越“矮

胖”，表示总体的分布越分散.

2.正态分布的三个常用数据

①P(〃一《X%+㈤=0.682_7；

@P(/i~2。VX9+2。)=0.954_5；

③P3—3。VX<j.i+3。）=0.997.3.

典例剖析|-----------------------------

考点一离散型随机变量分布列及均值与方差

【例1-1］（2024,全国•高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：

X1234

\_2

PP

636

则〃为（）.

2

C.D

3-I

【答案】B

【蟀析】由分布列的性质可知，!+?+:+〃=1，得〃="故选：B

□363

【例1-2】（2024•江西）（多选）设离散型随机变量X的分布列为:

X0123

Pa0.40.30.2

若离散型随机变量y满足y=3x+i,则（）

A.EX=1.6B.£7=5.8

C.OX=1.84D.DY=7.56

【答案】ABD

【变式】

1.（2024•辽宁）设Ovpvl,随机变量4的分布列为:

5

p_2P

323

则〃=()

124

A.-C.一D.-

455

【答案】D

【解析】由H,所以回’.故选：D

2.（2023上•天津河东•高三校考阶段练习）设随机变量X的概率分布列为:

X1234

I7

Pnmn

已知E(X)==,贝ij2〃?+〃=

6

【答案】-/0.5

0

【解析】依题意有，解得回

则回

故答案为：j

3.（2024•山东德州）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x,y（x,yeN)代替,

分布列如F：

X=i123456

P(X=/)0.210.200.050.100.100.10

则呜<X<?卜（）

A.035B.0.45C.0.55D.0.65

【答案】B

【解析】由题意得0，化简得国

乂I国因凶卜所以应.

所以回一

故选：B

4.（2024•河南南阳）（多选）已知X的分布列为

X-101

ptn

24

则（）

A.P（X=1）=：B.E（X）T

C.D（X）=-D.P（X2=1）=-

【答案】ABD

【解析】对于A,由分布列的性质可得A正确:

对于B,0,B正确；

对于C,回，C错误；

对于D,当|同一阈局』时,|ET

IMIIMIII

所以，S,D正确.故选：ABD.

考点二超几何分布

【例2】（2024・广东广州•高三校考期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了

解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450〜950分

之间，根据调行的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的学生称为，高分选手

⑴求”的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）:

（2）现采用分层抽样的方式从分数溶在［550,650）,［750,850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随

机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望；

【答案】（1）［］I，平均数670,中位数650,众数600

⑵分布列见解析，B

［解析］（1）由题意知|区］一…”—

解得I凹-----1，

样本平均数为厄------I，

由于区］,故中位数650,

众数600.

（2）由题意，从|冈一一］中抽取7人,从|冈…--］中抽取3人,

随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3.

0

所以随机变量X的分布列为:

【变式】

1.（2024•广东潮州•高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，

首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的

又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度，随机对10。名游客进行问卷调查（满分100分），这100

名游客的评分分别落在区间［50,6。），［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］内,统计结果如频率分布直方

⑴根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区旬的数据用该区间数据的中点值为代表）;

⑵为了进一步『解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组150.60）,|60,70）,

［80,90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于180,90）的人数J的分布列

和数学期望.

【答案】（1）医

（2）分布列见解析•，数学期望为售

【解析】（1）根据频率分布直方图得:

I国~—二!•

（2）由题意可知［50,60）,160,70）和|80,90）的频率之比为：

故抽取的10人中［50.60）,［60,70）和［80,90）分别为:2人，4人,4人,

随机变量J的取值可以为01，2,3,

aa

aH

所以H

2.（2023上•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电了•商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［0.5,1.1］内，其频率分布宜方图如图所示，若频率分布直方图中的〃，Ac,d满足

d=c+0.5=0+l=。+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

①求在各组应该抽取的人数；

②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与

数学期望.

【答案】⑴I国、I,I回1；I回“T，IgI,

(2)①各组应该抽取的人数分别为3,4,5,6；②分布列见解析，数学期望为附

【解析】(1)根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为0I，又因为第五小组的频数为2400,

所以样本容量0

因为第六小组的频率为I臼|，所以第六小组的频数是|臼I.

由须率之和为1，得冈,所以I回-----I.

因为频率分布直方图中的|臼蹒足4=c+0.5=。+1=〃+1.5,

所以I回1.

所以代AI国I中，得回1，

得I回I，解得®ZL所以I回—.

(2)①因为前4组的频率之比力回，

且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

所以在|冈------|应该抽取的人数分别是

②由题意，随机变量X的所有可能取值是0123.则

1~

故随机变量X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

故随机变量X的数学期望为0

3.(2024•山西吕梁•校考模拟预测)作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆：陈情令

馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠圮馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视

剧纪念品共游客选择，国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览，设每个人

只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的,

⑴分别求“恰有2人选择庆余年馆"和"甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆〃的概率;

⑵设X表示5人中选择博物馆的个数，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率分别为回月

（2）分布列见解析，期望为S

【解析】（1）解：所有可能选择的方式有他巾，设“恰有2人选择庆余年馆”为事件A,

则其余3人每人都有3种选择，所以，S,

设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆"为事件B,

则乙有3种选择，其余3人每人都有3种选择，则0

则“恰有2人选择庆余年馆〃的概率为何:

"甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为因

所以，回

考点三二项分布

【例3】（2024上•内蒙古鄂尔多斯・高三统考期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了

部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；

【变式】

1.（2024上•安徽合肥•高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙

各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为070.2,0.1,

乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,020.2，且甲、乙两人射击相互独立.

⑴在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；

⑵若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.

【答案】⑴0.2

⑵分布列见解析，数学期望为0.6

【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A,

则寄件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，

则|冈.

（2）由题可知X的所有可能取值为01,2,3,

由（1）可知，在一场比赛中，年击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,

则旧]，

所以|回|，

B，

故x的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

所以I区

2.（2024上•北京昌平•高三统考期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计

该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90,100）,口00,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140],

并整理得到如下频率分布直方图：

⑴求"的值;

⑵该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人,对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务

项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目.若为这3人提供的售后服务项目总价

值为X元，求X的分布列和数学期望E（X）；

⑶用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这1。人中评分不低于110分的人数为V,问

女伏=0,1,2,…』0）为何值时，P（Y=k）的值最大？（结论不要求证明）

【答案】⑴臼——I;

（2）分布列见解析,期望6900；

（3）1gI.

［解析］（1）由频率分布直方图可知|回卜

（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比国,！评分不低于110分的占比日,

任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分,1人不低于110分；1人低于110分，

2人不低于110分；3人均不低于110分,

所以X可取|回------|四种情况,

回''

区，回'

故X的分布列为:

X9000800070005000

1B0.0270.1890.4410.343

则冈

（3）由题意可知|回’一

可知当百I时|回~］取得最大值.

证明如下：设|冈|最大,即因

回

化笥得，因为1叵］-------I，故国

考法四相互独立事

【例4】（2024上•北京通州•高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收

飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其

中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位

报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三

学生甲、乙、丙三人报名民航招飞.

⑴估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；

⑵求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率：

⑶根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为933,设甲、乙、

JJJ

丙三人能被招飞院校录取的人数为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴）

O

⑵区

⑶分布列见解析，0

【解析】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约3为12:且能否通过相互独立，

433

所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率H

（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为!，

O

所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率回

（3）因为每位报名学生被确认为有效招匕卬请的概率为:，且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招9院

6

?33

校录取的概率分别为（泥,

JJJ

所以甲能被招飞院校录取的概率0

乙能被招飞院校录取的概率s

丙能被招飞院校录取概率s

依题意X的可能取值为0』,2,3,

0

所以

所以X的分布列为:

X02

P区回臼

所以0

【变式】

1.（2024•福建漳州•统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次

强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国"迈向"汽车强国”的必由之路.我国某地一

座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰

撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格

可得1分，该型号新能源汽车在他撞测试中结果为优秀的概率为g，良好的概率为"；在续航测试中结果

为优秀的概率为,2，良好的概率为：2，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之

和记为短

⑴求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率：

（2）求离散型随机变量J的分布列与期望.

时长y[0,1)U,2)23)[3,4)[4同

学生数3024401610

⑴估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）以表中的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈.若抽取的

时长则赠送家长慰问金100元；抽取的时长ye抽取,则赠送家长慰问金200元；抽取的时长

ye[2,5],则赠送家长慰问金300元.设抽取的2名学生家长慰问金额之和为X,求X的分布列及数学期

望.

【答案】⑴旧

（2）分布列见解析：期望为国

【解析】（1）这120个学生学习时长的平均数回

（2）依题意可得。1）的概率为

），€[1⑵的概率为0,叵二|的概率为叵

X的所有可能取值为200,300,400,500,600,

0,0

回一-

0,0

则X的分布列为

X200300400500600

1

P记回回

故0

考点五条件概率及全概率

【例5-1]（2024上•广东佛山•高三石门中学校考期末）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2

件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取出1个

零件,若取到的是次品.则这件次品是从第一箱中取出的概率为（）

【答案】D

【解析】设事件A表示"从第一箱中取出1个零件"，事件8表示“取出的零件是次品",

0

则

故选：D.

【例5-2】（2024上•河南焦作・高三统考期末）（多选）甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负贵某

个项目，该项目由A优。三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为

0.5,03,0.2,当他负责工序A8,C时，该项目达标的概率分别为0.6,0.8,0.7,则下列结论正确的是（）

A.该项忖达标的概率为0.68

B.若甲不负责工序C,则该项目达标的概率为0.54

C.若该项目达标，则甲负货工序A的概率为登

34

D.若该项目未达标，则甲负责工序4的概率为:

O

【答案】ACD

【解析】记甲负货工序A为事件同，甲负责工序3为事件向］,甲负费工序C为事件国，该项目达标为

事件叫

对于选项A,该项FI达标的概率为

回―|回------I，故选项

A正确；

对于选项B,

回，故选项B错误：

对于选项C,因，所选项C正确；

对于选项D,回，所以选项D正确,

故选：ACD.

【变式】

1.（2024全国•校联考模拟预测）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名.现随

机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同〃，事件3为“选取的两名

学生为男生”,则P（0A）=（）

13I2

A.-B.-C.-D.-

4433

【答案】D

【解析】由题意得，事件A包含的样本点数|国-----

事件A和4包含的样本点数|冈

所以回

故选：D

212024上•江西•高三校联考期末）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲

箱中随机取出一球放入乙箱中，以A，4分别表示由甲箱中取出的是向球和黑球；再从乙箱中随机取出一

球，以8表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）

S113

A.A，4互斥B.P（5|A）=-c.P（AB）=-D.P⑻=机

【答案】C

【解析】因为每次只取一球，故4，4是互斥的事件，故A正确；

由题意得区1,0，区，区,

0，故B,D均正确；

因为凶，故C错误.

故选：C.

3.（2024・河南信阳•统考二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行

方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别

为:，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为!，：，!，结果这一天他迟到了，

333456

在比条件下，他自驾去上班的概率是（）

121534

A.—B.—C.-D.一

373757

【答案】B

【解析】设事件A表示"自驾”，事件8表示“坐公交车〃，事件。表示“特共享单车"，事件。"表示迟到”，

由题意可知：0,

则s,

回——

0

若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是

故选：B.

考点六正态分布

【例6】（2022上•河南•高三校联考专题练习）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防

犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛

（摘分100分），竞赛奖励规则如卜.：得分在［70,80）内的学生获三等奖，得分在［80,90）内的学生获二等奖，

得分在［90,100］内的学生获•等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取

了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.

⑴现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.

（2）若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布其中cr-15,〃为样本平均数的估计值，

利用所得正态分布模型解决以卜.问题：

①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）：

②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分

以上的学生人数为求随机变量4的分布列和数学期望.

附：若随机变量X服从正态分布则P（〃-b<XW〃+。卜0.6827,

F（//-2<T<X<//+2a）0.9545,P（//-3cr<X<//+3cr）«0.9973.

14

【答案】⑴京

JJ

⑵①百乐②分布列见解析，0・

【解析】（1）解：由样本频率分布直方图知，样本中获一等奖的人数为一

获二等奖的人数为1臼-------I,

若三等奖的人数为।臼

获奖人数共诉I，0人没有获奖，

从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为同.

设“抽取两名学生中有一名学生获奖〃的事件为A,则事件A包含的基本事件的个数为反

因为每个基本事件出现的可能性相等，所以区1,

即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为三14.

（2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数估计值为

//=35x0.06+45x0.12+55x0.184-65x0.34+75x0.16+85x0.08+95x0.06

=64,

所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（64.152）.

\-<X<+

①因为〃+。=79,P(X>19)=P(X>ju+<y)=

2

1-0.6827

X---------------0.15865,

2

所以，参赛学生中成绩超过79分的人数约为0.15865x10000=1587；

②由〃=64,得P（X>64）=；,

即从所有学生中随机抽取1名学生，该生的成绩在64分以上的概率为

所以随机变量随机变量g的可能值为0、1、2、3,

且%=。）=唳*

球=2）式窗『扑"（一）=《；"

所以随机变量4的分布列为

随机变鼠4的数学期望0

【变式】

1.(2024•陕西西安・统考一模)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛"，分

预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从

参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

■频率/蛆距

0.0150........威

0.0125...............—|

0.0KX)-I

0.0075-------------------

0.0050—

020构6080100学生的位赛成绩(百分制)

⑴规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求

至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；

(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布,其中〃可近似为

样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且，=362,已知小明

的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？

附：若则夕(〃-b<Z<〃+b)=().6827,尸(〃-2b<Z<〃+2b)p().9545,

P(p-3cr<Z<//+3cr)»0.9973；7362«19.

【答案】⑴目分布列见解析，0

⑵有资格参加复赛

【解析】(1)预赛成绩在后二］范围内的样本量为：I臼-----I，

预赛成绩在府=］范围内的样本量为:旧一I，

设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,可能取值为0,1,2,则S,

乂回

则X的分布列为:

故叵

⑵向

（T2=362，则I国…］，又回

故0

故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有回人,

因为旧I，故小明有资格参加复赛，

2.（2024上•湖南娄底•高三统考期末）某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场

前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率

（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表）；

⑵经计算第（1）问中样本标准差，的近似值为50,根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机

的单次最大续航里程X近似地服从正态分布NJ。?）（用样本平均数天和标准差$分别作为〃和。的近似

值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程X《250,400］的概率；（参考数据•：若随机

变量乂~'（〃,"），则

P(〃一b<X<〃+o■卜0.6827,一2b4X«〃+2b卜0.9545,P(〃-3b<X<〃+女r卜0.9973)

⑶该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越人型、卓越8型和卓越。型，统

⑴用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；

⑵将此次竞赛成绩看近似看作服从正态分布N(〃,4)(用样本平均数和标准差s分别作为〃的近似值),

己知样本的标准差$。8.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取200人，记这200人中知识竞赛成绩

超过89分的学生人数为随机变量X,求X的数学期望：

⑶从得分区间［80,90)和［90,100］的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测

3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自丁不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间［80,90)的概率.

参考数据：若4〜则P(〃-b<J«〃+b)°0.68,—2b<&«〃+2b)=0.95,

P(//-3(r<<f<//+3(T)*0.99.

【答案】(1)80.5分

(2)32

【解析］(1)由频率分布直方图可知：|国------

估计此次知识竞赛成绩的平均数80.5分.

(2)由题意可知：回，

因为尸(〃一°v44〃+b)a0.68,即g,

可得区1,

由题意可知：抽取的200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数X服从二项分布，

即|冈故x的数学期望|冈—.

所以抽取的200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数的数学期望为32人.

(3)由频率分布直方图可知：分数在［80,90)和［90,］(叫的频率分别为0.35和0.15,

按照分层抽样，抽取10份，其中分数在［80,90),应抽取0份，

分数在［90,100］应抽取0份，

记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件8：取出的试卷有2份来自区间［80,90),

则I，,

0

故

a

所以抽测3份试卷有2份来自区间［80,90）的概率为:.

巩固基础

1.（2024上•河北•高三校联考期末）第19屈亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步〃的

志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则

当甲不去场馆A时，场馆4仅有2名志愿者的概率为（）

A3-21-6D3

A.-B.—C.—

55（）II4

【答案】B

【解析】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为0

甲去场馆A,£C的概率相等，所以甲去场馆3或C的总数为S

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆8,场馆4有两名志愿者共有府…I种;

情形二，甲去场馆C,场馆9场馆C均有两人共有向三三［种，

场馆8场馆A均有两人共有C：=6种，所以甲不去场馆A时,

场馆8仅有2名志愿者的概率为0

故选：B.

2.（2023上•河南驻马店•高三统考期末）（多选）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行

了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩X（单位：分）近似服从正态分布N（75,〃），

p（X<60）=0.1,P（X<70）=03,则下列说法正确的是（）

A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在（80,90］内的概率为0.2

B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在［70,80］内的概率为0.4

C.若从高三男生中随机挑选2人,则他们的成绩都不低于75的概率为0.25

D.。越大，P（X>75）的值越小

【答案】ABC

【解析】

,故A,B正确.

无论。为何值,,若从高三男生中随机挑选2人,

则他们的成绩都不低于75的概率为].故C正确，D错误.

故选：ABC

3.（2024•广东广州）随机变量&有.3个不同的取值，且其分布列如卜.:

-101

则。（/）的值为____.

【释析】依题意，回向取值为o,1,且回....,0

则他勺期望0,

所以@勺方差0

故答案为：回

4.（2024,吉林）随机变量X的分布列如下表所示：

X1234

P0.1in0.32m

则尸(X>2)=

【答案】0.7炉

【解析】由分布列的性质可得，I同~1，可得月I，

所以国

故答案为：0.7

5.（2022・全国•高三专题练习）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14

岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）

服从止态分布N(60,"),成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请

你通过以上信息，推断进入集训队的人数为.附：。(4-b<X<〃+。)=0.6826,

PQi-2a<Xv〃+2cr)=0.9544,0(〃-3cr<X<〃+3oj=0.9974.

【答案】13

【解析】正态分布而］,可知|回一1

旧)及以上的人数为面人,贝J区，

由正态分布曲线的对称性可得：|回------