山东省济宁市兖州区高一上学期期中质量检测数学试题（含答案解析）

2024—2025学年第一学期期中质量检测高一数学试题2024．11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：，，故选：B．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数定义域满足，求解即可【详解】由题，函数定义域满足，解得.故选：C3.已知命题p：，，命题q：，，则（）A.：， B.：，C.：， D.：，【答案】B【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定求解.【详解】命题p：，，则：，，A错误B正确；命题q：，，则：，，CD错误.故选：B.4.下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.【详解】选项A：对于，其定义域为.对于，因为恒成立，所以定义域为.又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数.选项B：的定义域是.的定义域是.虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数.选项C：的定义域为.当时，；当时，，，其定义域为.与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数.选项D：，根据根式的性质，其定义域为.，其定义域为.由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数.故选：D.5.若函数f(x)=x2−x,x>0−x2−x,x<0A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分和两种情况求解不等式即可.【详解】解：①当时，由，得a2−a<−(−a)即2a2−2a<0，所以2a(a−1)<0②当时，由，得−a2−a<所以2a(a+1)>0，解得，或（舍去），综上：a∈(−∞故选：B．6.若正实数x，y，满足，则最小值是（）A.1 B.3 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】将所给等式变形后可得，并根据正实数x，y可求得的范围；将代入，变形后以分离常数形式构造基本不等式，即可求得最小值.【详解】正实数x，y，满足，变形可得，由x，y是正实数可得，解得.所以当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为9.故选：C.【点睛】本题考查了由等量关系求最值，基本不等式求最值应用，分离常数方法的应用，属于中档题.7.某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D．8.定义在的函数的图像位于轴上方，且是连续不断的.若的图像关于点对称，则的最小值为（）A. B.1 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根据对称性和基本不等式可求最小值.【详解】因为y=fx图像关于点2,3对称，故，故.故，因为y=fx的图像位于轴上方，故，故即，当且仅当时等号成立，而，故最大值为9，故最小值为，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B..是的必要不充分条件C.若，，，则“”的充要条件是“”D.若，，则“”是“”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．【详解】A选项：当时，满足，但是不能推出；反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故A错误；B选项：当，,但是不能推出A=∅当A=∅时，，故B正确；C选项：当时，不能由推出,故C错误；D选项：等价于等价于，故D正确；故选：BD.10.若不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A. B.C.关于的不等式解集为 D.关于的不等式解集为【答案】ABD【解析】【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以a<0,−ba=1,ca=−2，故，此时a+b+c=−2a>0，所以bx2+cx+3a>0⇔−ax2−2ax+3a>0⇔x2+2x−3>0，解得：或故选：ABD11.已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（）A. B.为偶函数C. D.若，则x的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D.【详解】对于A，在中，令得，因此，再令得，则，故A错；对于B，令得，所以，是偶函数，故B正确；对于C，设，则，，所以，在上是增函数，从而，故C正确；对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.幂函数y=fx的图像经过点，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据过点求出的解析式，从而得到的值.【详解】设幂函数，将代入，可得：，所以，所以故答案为：2.13.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.【详解】由可得，当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，所以，.综上，实数的取值范围是.故答案为：14.若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为对任意的，，且，都有，不妨设，则，可得，则，构造函数，则，，所以函数在上为单调递减函数，又因为为奇函数，所以，所以函数为上的偶函数，所以函数在为单调递增函数，当时，即时，有，由，可得，所以，解得，此时无解；当时，即时，由，可得，所以，解得或，综上可得，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题：1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题；2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解；3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力；4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）集合是分式不等式的解集，求解时注意分母不为0即可，由交集运算可得；（2）由，知，这时对分类，分和两类讨论可得．试题解析：（1）或，故（2）因为，所以．①当，即时，，满足题意；②当，即时，要使，则，解得．综上所述，实数的取值范围为．考点：集合的运算与包含关系．16.已知函数.（1）证明函数在上严格增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得；（2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集.【小问1详解】因，任取，且，由，因，则，，故，即.故函数在上严格增；【小问2详解】因为函数在定义域上为奇函数，则，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集为.17.已知函数．（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】即为，所以不等式对于任意x∈R恒成立，当时，得，显然符合题意；当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．【小问2详解】不等式即，即．又，不等式可化为，若，即时，得或，即解集为或；若，即时，得，即解集为；若，即时，得或，即解集为或．综上可知，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．18.如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．（1）求函数的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）、且时，判断并证明与的大小关系．【答案】（1）（2）（3），证明见解析【解析】【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式；（2）将问题转化为，求出函数的最大值即可；（3）计算出、，然后作差比较大小【小问1详解】当时，；当时，；当时，综上所述：.【小问2详解】若恒成立，则，即，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，且当时，.又因为函数在0,+∞上连续，所以，函数在0,2上单调递增，所以，，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.【小问3详解】、，，又，即，所以，.19.设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数（1）判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数；（2）设函数y=fx是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数；（3）设函数是定义在0,1上的型函数，其常数，且的值域也