几何元素间的相对位置

第三章几何元素间的相对位置3.1平行问题1）对一般直线，只要两直线的同名投影平行就能确定空间中两条直线平行2）对投影面的平行线，这样的条件不够对投影面的平行线与投影面平行的直线只有两直线的同名投影平行不能确定空间中两条直线平行如何确定某一直线为特殊直线？3.1.2直线与平面平行定理（1）如果一直线与平面上某一直线平行，则此直线与该平面平行简单证明-例3-1：过k点作直线与平面ABC平行解是否唯一？定理2：若一直线与与某一投影面的垂直面平行，则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行证明：∵一定可以再平面P内作直线CD//AB∴它们的投影也必定平行定理1若一平面上两相交直线对应地与另一平面上的相交直线平行，则这两个平面互相平行例：过K点作一平面与相交直线AB确定的平面平行定理2

若两投影面垂直面互相平行，则它们具有积聚性的那组投影互相平行证明：∵根据2平行平面与另一平面相交，其交线互相平行3.2相交问题1）直线与直线相交-如果2直线相交，则各个投影面上的同名投影也相交，且这些交点符合空间点的投影规律2）两直线交叉-既不平行也不相交如果2直线交叉，则投影面上的同名投影也可能相交，但这些交点不符合空间点的投影规律应用重影点可以方便地判断两直线的空间位置3.2.2直线与平面相交直线若与平面不平行就必然相交，交点称穿点1）平面为特殊位置平面若平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性，简便地求出穿点例：ABC为水平面，MN为直线，求穿点？被平面遮挡部分为不可见线段，用虚线表示，以提高投影图的表现力可见性判断方法：从正面投影向下看判断可见性若直线为投影面的垂直线，利用其积聚性使求穿点简化例：已知EK为铅垂线，穿点k，求K的水正投影k‘。可见性判断方法：利用辅助平面求穿点，作一个包含直线EF的辅助平面P，与已知平面的交线为MN，EF与MN的交点K则为穿点。作图步骤1）包含已知直线作一个平面（投影面的垂直面）2）求辅助面与已知平面的交线3）此交线与已知直线的交点即为穿点例：已知平面ABC与直线EF的投影，求他们的交点K，并判断可见性。不平行的2个平面具有交线只要求出交线上的2个点就可以确定2个平面的交线1）直接法只要2个平面中有一个是特殊位置平面时，利用积聚性可简便求出交线例3-4求水平面Q与三角形平面ABC的交线解：此题只要作2相交直线同时垂直于MN即可3）此交线与已知直线的交点即为穿点应用重影点可以方便地判断两直线的空间位置2）辅助平面必须垂直于原有某一投影面用辅助平面R截平面P和Q，得交线AK和KB，则K点为平面P和Q交线中的一点。只要2个平面中有一个是特殊位置平面时，利用积聚性可简便求出交线例3-12已知光源入射于与V面垂直的平面镜P，求反射光线T想法：在直线上找一点做平面ABC的垂线，即此垂线和MN确定的平面为所求解：思路：∵MN为正平线，∴MN//V面，如果2直线交叉，则投影面上的同名投影也可能相交，但这些交点不符合空间点的投影规律2）使平面Q垂直于平面上的直线CD1)过K作正平线KB，证明：∵根据2平行平面与另一平面相交，其交线互相平行当2个平面均为一般平面时，其交线不能直接求出，需利用辅助平面来解决为求2个共有点可取2条直线，或2个平面各取一条直线互穿对方。2）辅助平面法当2个平面均为一般平面时，其交线不能直接求出，需利用辅助平面来解决例：P、Q为相交平面，求它们的交线求解原理：用辅助平面R截平面P和Q，得交线AK和KB，则K点为平面P和Q交线中的一点。同理求出另一交点L.K和L确定的直线就是所求2平面的交线具体作图方法：作水平面R和S利用2平行平面与地3平面相交，其交线互相平行的特性，可简化作图例：P（2相交直线AB与CD确定）、Q（平行线DE与FG确定）为相交平面，求它们的交线解：先作正平面R，求得第一个交点K，同理求得另一交点L3）穿点法利用求一个平面内的直线与另一平面的穿点作为两平面的一个共有点。为求2个共有点可取2条直线，或2个平面各取一条直线互穿对方。例：求平面ABC与EFG的交线，判别可见性1)求公共点M:作包含直线DE的正垂面，正面迹线为1‘2’。通过投影关系求出m点2）同理的n点3）判别可见性先判断正投影的可见性。在正投影上找一重影点可见性判断3.3垂直问题3.3.1直角的投影定理1：若组成直角2边中的一边平行于某投影面，则它的投影仍为直角，反之亦成立。证明：∵∠ABC为直角(已知)，∴BC⊥□ABab,又有BC//bc(已知),∴bc⊥□ABab∴bc⊥ab得证可以推广到交叉直线逆定理亦成立推广到空间交叉直线例3：过点D作直线与正平线MN垂直相交思路：∵MN为正平线，∴MN//V面，假如有一直线与MN垂直相交，则它们在V面上的投影仍为直角解：定理：若一直线垂直于平面，则此直线的水平投影一定垂直于该平面水平线的水平投影证明：∵NK⊥平面P，∴NK⊥AB∵AB//平面H，根据定理1，∴nk⊥ab此定理可推广到正平面和侧平面此定理可推广到正平面和侧平面推论：若一直线垂直于平面，则此直线的各的投影一定垂直于该平面的同名迹线例3-8：过点M作直线垂直于平面ABC解：作正平线AE和水平线CF，则所求直线MN⊥AE和CF,于是过m作mn⊥cf,m’n’⊥a’e’为所求例3-9过点K作平面垂直于已知直线MN解：此题只要作2相交直线同时垂直于MN即可1)过K作正平线KB，使k’b’⊥m’n’2)过K作水平线KC，使k’c’⊥m’n’KB,KC确定的平面为所求例3-10过M作直线垂直于平面P，过N作直线垂直于平面Q根据推论：平面的垂线，其投影必垂直于同名迹线。因P、Q为投影面的垂面，其迹线容易求出，过m作2迹线的垂线即为所求。3.3.3直线与直线垂直（一般直线）例3-11过D作直线与MN垂直相交空间分析：由立体几何知所求直线位于过D且垂直于MN的平面上，设垂足为K，则DK为所求解：1）过D作平面P垂直于MN，（P面由正平线DE和水平线DF确定了一个平面）必有df⊥mn及d’e’⊥m’n’2）过MN作正垂面R，迹线Rv交d’e’、d’f’与1’2’.3)求MN与平面P的交点K4)连接DK为所求例3-12已知光源入射于与V面垂直的平面镜P，求反射光线T空间分析：入射光、反射光及入射处的镜面法线共面，入射角=反射角解：定理：若一平面过另一平面的垂线，则这两平面垂直绘制互相垂直平面的方法：1）使平面Q过垂直于平面P的直线AB2）使平面Q垂直于平面上的直线CD例3-13过直线MN作一平面，垂直于△ABC确定的平面想法：在直线上找一点做平面ABC的垂线，即此垂线和MN确定的平面为所求解：1）在△ABC上容易作水平线AD和正平线ＡE2）作mk⊥ad,m’k’⊥a’e’3)MN和MK确定的平面为所求例3-14过点M作一正平面Q，垂直于△ABC确定的平面∵Q为正垂面，∴它垂直于某一条正平线，于是根据第2种作图法，只要作Q⊥这条正平线就可以解：作正平线cd，综合练习：例3-15求过K点作平面平行于△ABC且与MN相交的直线分析：1）所求直线必在过K点与△ABC平面平行的平面上2）同时该直线也在过K点且与直线MN垂直的平面上综上所述：该直线在上述两平面的交线上作图：1）作平行于△ABC的平面（由直线KE、KF确定，KE//DC、KF//DB

）2）过MN作正垂面3）找出相应投影点4）KL为所求3.4更换投影面选取合适的辅助平面，使解题变得容易选取辅助平面的2个因素1）辅助平面必须处于解题的有利位置2）辅助平面必须垂直于原有某一投影面为什么有时需要变换投影面（换面法）掌握点的变换规律是换面法的基础1)点A到H面的距离不变2)2投影的连线垂直于新轴3)点的新投影到新轴的距离与原投影到轴线距离不变1)替换V面2)替换H面情况与替换V面相同直线若与平面不平行就必然相交，交点称穿点直线若与平面不平行就必然相交，交点称穿点推论：若一直线垂直于平面，则此直线的各的投影一定垂直于该平面的同名迹线例3-14过点M作一正平面Q，垂直于△ABC确定的平面3）此交线与已知直线的交点即为穿点思路：∵MN为正平线，∴MN//V面，例3：过点D作直线与正平线MN垂直相交想法：在直线上找一点做平面ABC的垂线，即此垂线和MN确定的平面为所求解：空间分析：要使新投影面P1垂直于△ABC必须使P1⊥△ABC内的一条直线。证明：∵一定可以再平面P内作直线CD//AB只要2个平面中有一个是特殊位置平面时，利用积聚性可简便求出交线空间分析：入射光、反射光及入射处的镜面法线共面，入射角=反射角解：作正平线AE和水平线CF，例3-13过直线MN作一平面，垂直于△ABC确定的平面2)2投影的连线垂直于新轴点的2次变换3.4.34个基本问题空间分析:设铅垂面P1平行于MN,这样在新投影体系P1/H中MN就是投影面平行线作图：m1n1与X1轴的夹角α就是MN与H面的夹角空间分析:设铅垂面P1平行于MN,这样在新投影体系P1/H中MN就是投影面平行线证明：∵一定可以再平面P内作直线CD//AB当2个平面均为一般平面时，其交线不能直接求出，需利用辅助平面来解决例3-17已知交叉的2管子AB与CD，确定连接2管的最短距离与位置想法：在直线上找一点做平面ABC的垂线，即此垂线和MN确定的平面为所求解：绘制互相垂直平面的方法：定理2若两投影面垂直面互相平行，则它们具有积聚性的那组投影互相平行2）在P1、P2体系变换成投影面垂线例3：过点D作直线与正平线MN垂直相交定理：若一直线垂直于平面，则此直线的水平投影一定垂直于该平面水平线的水平投影3）此交线与已知直线的交点即为穿点为什么有时需要变换投影面（换面法）解：此题只要作2相交直线同时垂直于MN即可当2个平面均为一般平面时，其交线不能直接求出，需利用辅助平面来解决3）此交线与已知直线的交点即为穿点需要2次变换因为，垂直于普通直线的平面必然是普通平面1）在P1/H体系变换成投影面平行线2）在P1、P2体系变换成投影面垂线空间分析：要使新投影面P1垂直于△ABC必须使P1⊥△ABC内的一条直线。为此作水平线BD，作平面P1⊥BD，P1也必垂直于H面作图方法：要经过2次变换1）先变成投影面的垂直面2）变成投影面的平行面例3-16过D点作一直线与一般直线垂直相交根据直角的投影特性，当2直线的一条边为投影面的平行线时，它在该投影面的投影仍为直角为了能直接向MN画垂线，先把MN变成某投影面的平行线（第一个基本问题）3）作图方法：精品课件！定理2：若一直线与与某一投影面的垂直面平行，则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行1）包含已知直线作一个平面（投影面的垂直面）3)点的新投影到新轴的距离与原投影到轴线距离不变解：先作正平面R，求得第一个交点K，同理求得另一交点L推论：若一直线垂直于平面，则此直线的各的投影一定垂直于该平面的同名迹线定理（1）如果一直线与平面上某一直线平行，则此直线与该平面平行思路：∵MN为正平线，∴MN//V面，想法：在直线上找一点做平面ABC的垂线，即此垂线和MN确定的平面为所求解：定理2若两投影面垂直面互相平行，则它们具有积聚性的那组投影互相平行例3-11过D作直线与MN垂直相交为求2个共有点可取2条直线，或2个平面各