大学课件常微分方程第6章一般理论

大学课件常微分方程第6章一般理论第6章一般理论

6.1微分方程解的存在性与唯一性6.2解的开拓6.3解对初值的连续依赖性与可微性6.4解对参数的连续性与可微性为了方便起见,我们常采用向量与矩阵的符号.

设Rn是n维欧氏空间,x是Rn中的向量,即若x,y∈Rn,则向量x与y的和或差，以及向量x与数a的乘积分别定义如下:向量x与y的内积用符号〈x,y〉表示,内积定义为用符号|x|表示x的模,模定义为不难检验内积有如下性质:(1)对称性:〈x,y〉=〈y,x〉.(2)双线型:〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉〈ax,y〉=a〈x,y〉(3)正定的:〈x,x〉≥0，当且仅当x=0时〈x,x〉=0.

(4)有Schwartz不等式模有如下性质:(1)|x|≥0,当且仅当x=0时|x|=0.(2)|ax|=|a||x|.(3)|x+y|≤|x|+|y|(三角不等式).很自然地，Rn中两个向量x与y间的距离定义为向量序列xk(k=1,2,…)以向量x0为极限的定义为现在考虑自变量为实数t,在Rn中取值的向量函数φ(t).不难模仿一元函数的连续性、微商与定积分的定义给出向量函数的连续性、微商与定积分的定义.其实只要把一元函数的符号理解为向量函数的符号,把绝对值理解为模就可以了.

设φi(t)(i=1,2,…,n)是向量函数φ(t)的分量,即显然有下列结论:

(1)当且仅当φi(t)(i=1,2,…,n)都连续时，φ（t)连续.

(2)φ(t)的微商是向量函数，记作dφ(t)/dt或φ(t),并且有.(3)φ(t)在区间［t0,t］上的积分 是向量函数ψ(t),即(4)根据积分的定义与三角不等式，不难证明下列不等式:下面来考虑自变量为Rn中的向量x,且取值也在Rn中的向量函数g(x),即如果存在一个常数L,使得当x,y∈W时,有则称g(x)在Rn中某区域W上是李氏的，其中L称为g在W上的李氏常数.例如，若向量函数在某凸集W上满足:(i,j=1,2,…,n)K是常数,则g(x)在W上是李氏的.这是因为对g(x)的第i个分量gi(x)有不等式因为W有凸性,所以当x,y∈W时,x+θ(y-x)在W内,于是由上述不等式得再由模的定义得到:当x,y∈W时，有而其中n3/2K是常数,所以g(x)在W上是李氏的.如果对于W的每一点，存在该点的一个邻域W0(W0W)，使得g(x)在W0上是李氏的,我们就称g(x)在Rn中某区域W上是局部李氏的.

显然，若向量函数g(x)在区域W上有 (i,j=1,2,…,n)都连续，则g(x)在W上是局部李氏的.命题6.1若g(x)在区域W上满足局部李氏条件,A是W内的有界闭区域,则g(x)在A上是李氏的.

证明若结论不对,即对无论多大的正数K,总存在A内的x与y,使得特别地,对自然数n,存在xn与yn∈A,使(6.1)因A是有界闭区域,所以xn与yn有收敛子序列,不妨设其为xn和yn,其极限在A内,即xn→x*∈A,yn→y*∈A.事实上,有x*=y*.因为对一切n,有又由g(x)在W上是局部李氏的可知,g(x)在W上连续.令M是|g(x)|在有界闭区域A上的最大值,于是有从而由假设,存在x*的一个邻域W0,使得g(x)在W0上是李氏的,有李氏常数L.又存在N,使得当n≥N时,xn,yn∈W0.于是当n≥N时有不等式

|g(xn)-g(yn)|≤L|xn-yn|当n>L时,上面的不等式与不等式(6.1)矛盾,故原命题成立.命题6.1证毕.6.1微分方程解的存在性与唯一性

设t是时间变量,t∈I,I是实数轴上的开区间,也可以是无穷区间.x是n维向量,x∈W,W是n维欧氏空间Rn中的区域,也可以是无界区域或全空间.

考虑微分方程(6.2)其右端向量函数f(t,x)在I×W上连续；又x在W上是局部李氏的,且有对t∈I一致的李氏常数.定理6.1对微分方程(6.2),t0∈I与x0∈W存在常数a>0,使得在区间J=［t0-a,t0+a］上有微分方程(6.2)的唯一解x=x(t),且连续并满足初始条件(6.3)证明该证明分以下几步完成.(1)化微分方程(6.2)为等价的积分方程.设x=x(t)是方程(6.2)满足条件式(6.3)的解,即有(6.4)并且x(t0)=x0.把上式两边从t0到t积分可得即x(t)满足积分方程(6.5)反之,若x(t)满足积分方程(6.5),则x(t)满足微分方程(6.2)与条件式(6.3).(2)构造一个向量函数序列φk(t)(k=1,2,…).因为W是开区间,对x0∈W,有b>0,使闭球W0W,其中

令I′是闭区间，t0∈I′I.设M是|f(t,x)|在I′×W0上的上界；L是f(t,x)关于x在W0上的李氏常数(对t∈I′一致).令a>0,a<min{b/M,1/L}，又使区间J=［t0-a,t0+a］I′.

在区间J上按以下方法构造向量函数序列.令因φ0(t)=x0∈W0W,所以可以令若φk(t)已定义,并且φk(t)∈W0,即|φk(t)-x0|≤b(t∈J),就可以令如果有φk+1(t)∈W0(t∈J),序列就可以继续构造下去.而事实上,的确有即φk+1(t)∈W0(t∈J).注意,序列中的每一个向量函数φk(t)都是J上的连续函数,并且在W0内取值,又φk(t0)=x0.

(3)证明序列φk(t)在J上一致收敛.令于是当t∈J时,有若对某一个k≥2,当t∈J时,有则当t∈J时,有而aL=α<1,所以,对任给ε>0,存在N,使得r,s>N时,对t∈J有所以φk(t)在J上一致收敛,记极限函数为x(t).显然x(t)在J上连续,在W0内取值,x(t0)=x0.(4)证明x(t)满足积分方程(6.5),从而是微分方程(6.2)的解.这只要在恒等式的两端令k→∞取极限,再应用f(t,x)对x的李氏性就可得到解的存在性证毕,下面证明唯一性.只要证明:如果在J上x(t)与y(t)都是方程(6.2)的解，又x(t0)=y(t0)=x0，则对一切t∈J有x(t)=y(t)因为aL=α<1,所以Q=0,于是在J上有x(t)=y(t).定理证毕. 6.2解的开拓

引理证完.定义6.1方程(6.2)满足条件式(6.3)的一切解的存在区间之并称为方程(6.2)满足条件式(6.3)的解存在的最大区间.

由引理6.1知,解存在的最大区间上有唯一的一个解.另外,这个最大区间一定是一个开区间.这是因为,若此区间包含着自己的左或右端点,那么它就可以再开拓.所以今后常说的是解存在的最大开区间.例6.1

考虑R1上的微分方程它满足条件x(t0)=x0的解是于是解存在的最大开区间是(-∞,+∞).例6.2

考虑R1上的微分方程它满足条件x(0)=0的解是显然这个初值问题的解存在的最大开区间是(-π/2,π/2)，是一个有限区间，虽然方程右端函数对一切t有定义.什么情况下解存在的最大开区间不是整个数轴呢？所以表达式对一切t,t∈［t0,β］成立.因而y(t)在β处可微,且于是开拓后的y(t)是方程(6.2)在闭区间［t0,β］上的解.由本节开拓的讨论,y(t)可以开拓到［t0,δ］上,其中δ>β.这与(α,β)是解存在的最大开区间矛盾.故原命题正确.定理证完.定理6.2指出:如果解y(t)的最大开区间(α,β)有一个端点是有限数，例如β是有限数，那么一定是解曲线y(t)超出W内的任何有界闭集.由证明可知，当t→β时，或者y(t)趋于W的边界，或者|y(t)|无界.例6.2中的解存在的最大开区间是(-π/2,π/2)，正因为当t→±π/2时， 6.3解对初值的连续依赖性与可微性

前两节讨论了方程(6.2)满足初值条件式(6.3):的解的存在、唯一与开拓的问题.讨论过程中初值x0是不变的.本节要来讨论初值x0变化时,方程(6.2)的解随x0的变化而变化的情况.所以把该方程满足初值条件式(6.3)的解记作显然在证明定理之前,先介绍一个推广了的Gronwall不等式.引理6.2

设g(t)与u(t)是区间［t0,t1］上的连续非负、实数值函数；常数C和K非负.若对t∈［t0,t1］,有则当t∈［t0,t1］时,有证明(1)C>0.由已知的不等式可得以下不等式:将上不等式两端由t0到t积分,得从而有不等式再与所给的不等式比较,就得到所要证的不等式.

(2)C=0.显然此时对任意C>0有由(1)可知对任意C>0成立.再令C→0.引理即得证.定理6.3设方程(6.2)有解x(t,y0)与x(t,z0),它们都在区间［t0,t1］上存在,则对一切t∈［t0,t1］有其中L是常数.证明两段解曲线所组成之集合B:

因为当t∈［t0,t1］时有不等式令u(t)=|x(t,y0)-x(t,z0)|,再注意u(t0)=|y0-z0|,上面的不等式就化为由引理得这正是所要证的不等式.证明只要证明解x(t,z0)在区间［t0,t1］上有定义即可.因为唯一性由引理6.1证得,要证明的估计式由定理6.3证得.

由于［t0,t1］是有界闭区间,因此集合是W内的有界闭集.而W是开区域,所以存在ε>0,使有界闭集而另一方面,由于x(t′,z0)在A的边界上,因此有与前面的结论矛盾,故β>t1.定理证毕.在［t0,t1］上一致. 6.4解对参数的连续性与可微性

考虑依赖于参数μ的微分方程定理6.6微分方程（6.6）对t0∈I,x0∈W,μ0∈I1存在常数a>0,ρ>0,使得当|μ-μ0|≤ρ时,方程(6.6)满足条件（6.7）即定理6.7如果向量函数f(t,x,μ)对一切变量解析,则方程(6.6)满足条件式(6.7)的解x=x(t,μ)是μ的解析函数.

这个定理的证明方法与定理6.6的一样.因为解析函数序列一致收敛到的极限也是解析的.

定理6.8如果向量函数f(t,x,μ)还对变量x与μ有连续偏微商,则方程(6.6)满足条件式(6.7)的解x=x(t,μ)对μ连续可微.

证明由定理6.6知,向量函数x=x(t,μ)在J:|t-t0|≤a,J1:|μ-μ0|≤ρ上连续,在W0内取值.令t∈J,μ与μ+Δμ在J1内,于是有与令(6.8)考虑微分方程在等式两边取模,因为在与有界,ε1与ε2一致地趋于零,当Δμ→