浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考八年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题（共30分）1．（3分）下列“表情”图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，113．（3分）若a＜b，则下列结论错误的是（）A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D．＜4．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75° B．60° C．65° D．55°5．（3分）若x+3＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜106．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c27．（3分）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（）A．x＝﹣1，y＝﹣2 B．x＝3，y＝﹣2 C．x＝2，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣28．（3分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2.810．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交DH于点P，若AH＝HE，且△CPG的面积为4，则正方形ABCD的面积为（）A．20 B．30 C．40 D．50二、填空题（每题3分）11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”为：．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，则∠A＝．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为．14．（3分）一种荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．点D是线段AC中点，BF⊥AC，DE⊥AB，下列结论：①△AED≌△BFD．②△EFB为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共72分）17．（6分）解不等式：（1）5x+3≤x﹣1；（2）．18．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．19．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．20．（8分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．（1）求证：ED＝EC；（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面积．21．（10分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．（1）填空：8@2＝；2@（﹣1）＝；（2）若x@2＜1，求x的取值范围；（3）若关于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有两个正整数解，求m的取值范围．22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求证：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BCD＝°时，△BED是等边三角形；（3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长．24．（12分）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，连结AD，BE，判断AD和BE的关系，并说明理由；（2）如图2，若点A在线段DE延长线上，，DE＝14，求线段AE的长度；（3）如图3，若AB＝8，点D在边AB上运动，求△BDE周长的最小值．

2024-2025学年浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共30分）1．（3分）下列“表情”图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可．【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解决问题的关键．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11【分析】根据三角形的三边关系即可求【解答】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．【点评】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．（3分）若a＜b，则下列结论错误的是（）A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D．＜【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意；B．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意；C．∵a＜b，∴3a＜3b，故本选项不符合题意；D．∵a＜b，∴，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75° B．60° C．65° D．55°【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°，故选：A．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，运用三角形外角的性质计算角的度数是解题的关键．5．（3分）若x+3＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜10【分析】先根据不等式的性质，求出x＞﹣3，然后再利用不等式的基本性质，把x＞﹣3变形为各个选项中的不等式，然后进行判断即可．【解答】解：∵x+3＞0，∴x＞﹣3，A．∵x＞﹣3，x+1＞﹣2，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；B．∵x＞﹣3，x﹣3＞﹣6，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；C．∵x+3＞0，∴x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，∴，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；D．∵x+3＞0，x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，﹣2x＜6，∴﹣2x＜10，∴此选项的结论正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质，能够利用不等式的性质把不等式进行变形．6．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正确；B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误；C、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．7．（3分）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（）A．x＝﹣1，y＝﹣2 B．x＝3，y＝﹣2 C．x＝2，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣2【分析】根据x，y的值一一判断即可．【解答】解：∵x＝﹣3，y＝﹣2时，满足|x|＞|y|，但是x＜y，故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（3分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【分析】由AD+BD＝BC和CD+BD＝BC可得，点D在线段AC的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段AC的垂直平分线，与BC的交点即为点D．【解答】解：∵AD+BD＝BC，而DC+BD＝BC，∴DA＝DC，∴点D在线段AC的垂直平分线上，即点D为线段AC的垂直平分线与BC的交点．观察四个选项，D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2.8【分析】过F点作FH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到AM平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到FH＝FC，再利用勾股定理计算出BC＝9，接着证明Rt△AFH≌Rt△AFC得到AH＝AC＝12，所以BH＝3，设BF＝x，则FC＝FH＝9﹣x，利用勾股定理得32+（9﹣x）2＝x2，然后解方程即可．【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，由作图痕迹得AM平分∠BAC，而FC⊥AC，FH⊥AB，∴FH＝FC，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，∴BC＝＝9，在Rt△AFH和Rt△AFC中，，∴Rt△AFH≌Rt△AFC（HL），∴AH＝AC＝12，∴BH＝AB﹣AH＝15﹣12＝3，设BF＝x，则FC＝FH＝9﹣x，在Rt△BHF中，32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5，即BF的长为5．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理和角平分线的性质．10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交DH于点P，若AH＝HE，且△CPG的面积为4，则正方形ABCD的面积为（）A．20 B．30 C．40 D．50【分析】根据题意得到AE＝CG，AE∥CG，根据全等三角形的性质得到ME＝PG，得到AP＝PM，求得PH＝EM，根据三角形的面积公式得到CG＝2，根据勾股定理得到AB＝＝，于是得到正方形ABCD的面积为AB2＝30．【解答】解：根据题意得，AE＝CG，AE∥CG，∴∠EAM＝∠GCP，∵∠AEM＝∠CGP＝90°，∴△AEM≌△CGP（ASA），∴ME＝PG，∵HG＝EF，∴PH＝FM，∵AH＝HE，PH∥EM，∴AP＝PM，∴PH＝EM，∴PH＝，∴PG＝HG＝FG＝CG，∵△CPG的面积为4，∴•CG＝CG2＝4，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，∴BE＝EF＝，∴AB＝＝，∴正方形ABCD的面积为AB2＝30，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题（每题3分）11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”为：5x≤3．【分析】首先表示x的5倍，再表示不大于3可得不等式．【解答】解：x的5倍表示为5x，不大于3表示为5x≤3，故答案为：5x≤3．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，则∠A＝40°．【分析】先根据邻补角定义得到∠ACB的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角A．【解答】解：如图，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠ABC＝180°﹣110°＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40°．【点评】此题考查了三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质．属于基础题，比较简单．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质求出AD，进而得到答案．【解答】解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD＝6，∴BD＝CD＝6，∴∠DCB＝∠B，∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD＝6，∴AB＝AD+BD＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（3分）一种荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克14元，才能避免亏本．【分析】设商家把售价定为每千克x元，根据荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），避免亏本，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：设商家把售价定为每千克x元，根据题意得：x（1﹣10%）≥12.6，解得：x≥14，即商家把售价至少定为每千克14元，才能避免亏本，故答案为：14．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝3．【分析】设EB′＝x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．点D是线段AC中点，BF⊥AC，DE⊥AB，下列结论：①△AED≌△BFD．②△EFB为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号）①②③．【分析】由∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，求得AC＝4，则BD＝CD＝AD＝2，所以∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，则∠A＝∠DBA＝30°，而BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，则AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝30°，即可根据“AAS”证明△AED≌△BFD，可判断①正确；所以AE＝BF，则BE＝BF，因为∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，所以△EFB为等边三角形，可判断②正确；再证明∠DGF＝90°，∠DFG＝30°，因为DF＝CF＝，所以DG＝DF＝，可判断③正确；由EF＝BE＝AE＝3，BD＝2，且BD⊥EF，求得S四边形DFBE＝3，可判断④错误，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，∴AC＝＝＝4，∵点D是线段AC的中点，∴BD＝CD＝AD＝AC＝2＝CB，∴△BCD是等边三角形，∴∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，∴∠A＝∠DBA＝30°，∵BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝∠CBD＝30°，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），故①正确；∴AE＝BF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，∴△EFB为等边三角形，故②正确；∵∠DBE＝∠DBF＝30°，BE＝BF，∴BD⊥EF，∴∠DGF＝90°，∵∠BFD＝90°，∠BFE＝60°，∴∠DFG＝∠BFD﹣∠BFE＝30°，∵DF＝CF＝CD＝，∴DG＝DF＝，故③正确；∵EF＝BE＝AE＝AB＝3，BD＝2，且BD⊥EF，∴S四边形DFBE＝EF•BD＝×3×2＝3≠2，故④错误，故答案为：①②③．【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BCD是等边三角形是解题的关键．三、解答题（共72分）17．（6分）解不等式：（1）5x+3≤x﹣1；（2）．【分析】（1）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去分母，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：（1）5x+3≤x﹣1，5x﹣x≤﹣1﹣3，4x≤﹣4，x≤﹣1；（2），2x﹣4＞6x，2x﹣6x＞4，﹣4x＞4，x＜﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．18．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．19．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．（8分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．（1）求证：ED＝EC；（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面积．【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△EBC，根据全等三角形的性质得到DE＝EC；（2）根据全等三角形的性质得到∠BEC＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEC＝90°，由勾股定理可求DE的长根据三角形的面积公式可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝180°﹣90°＝90°，在△DAE与△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（AAS），∴DE＝EC；（2）解：由（1）可知△DAE≌△EBC，∠BEC＝∠ADE，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形；又∵AD＝5，BC＝12，∴AE＝BC＝12，∴DE＝CE＝＝13，∴△DEC的面积＝DE•CE＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明△DAE≌△BEC是本题的关键．21．（10分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．（1）填空：8@2＝4；2@（﹣1）＝4；（2）若x@2＜1，求x的取值范围；（3）若关于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有两个正整数解，求m的取值范围．【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；（2）按照定义的新运算可得x﹣2×2＜1，然后进行计算即可解答；（3）按照定义的新运算可得3﹣2（m﹣x）＜5，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：8@2＝8﹣2×2＝8﹣4＝4；2@（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4；故答案为：4；4；（2）∵x@2＜1，∴x﹣2×2＜1，x﹣4＜1，x＜5；（3）3@（m﹣x）＜5，3﹣2（m﹣x）＜5，3﹣2m+2x＜5，2x＜5﹣3+2m，2x＜2+2m，x＜1+m，∵不等式3@（m﹣x）＜5恰有两个正整数解，∴2＜1+m≤3，解得：1＜m≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求证：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．【分析】（1）利用ASA证明△ABD≌△DCE，即可解决问题；（2）由SAS证明△ABD≌△DCE，可得∠BAD＝∠CDE，进而根据等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，∴∠ADE＝55°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△DCE．23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BCD＝150°时，△BED是等边三角形；（3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE．（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案；（3）利用等腰三角形的性质得EF⊥BD，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E