湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷含答案及解析

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高二数学试卷命题学校：黄冈中学命题教师：董明秀审题学校：黄梅一中审题教师：石亚林考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1:1 B.3:2 C. D.2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）A.A与B互斥 B.B与C互对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立3.下列说法中正确的是（）A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（）A.B.C.D.5.已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.7.在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）A. B.C. D.8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名10.已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（）A.B.若A，B，C三点共线，则C.若向量与垂直，则最小值为1D.向量与的夹角正切值的最大值为11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（）A.平面 B.到平面的距离为1C.平面平面 D.正方体的棱长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则___________．13.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.14.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数满足，．（1）求；（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．16.如图，在三棱柱中，，，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角平面角的正弦值．17.在锐角中，其内角的对边分别为，已知．（1）求值；（2）若，，求△ABC的面积．18.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级.若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别；甲、乙在面试中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.19.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则．如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．（1）在图2中，用三面角余弦定理求的值；（2）在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：；（3）在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值．

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高二数学试卷命题学校：黄冈中学命题教师：董明秀审题学校：黄梅一中审题教师：石亚林考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1:1 B.3:2 C. D.【答案】B【解析】【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，然后表示出圆柱的表面积和球的表面积，相比即可【详解】设球的半径为，则由题意得圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为，球的表面积为，所以圆柱与球的表面积之比为，故选：B2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）A.A与B互斥 B.B与C互为对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据相互独立事件的判断公式判断CD.【详解】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为，故，两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为，故，同时发生的事件包含样本点为，故，所以，即不相互独立，故C错误；两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为，故，同时发生的事件包含的样本点为，故，所以，即A与C相互独立，故D正确.故选：D3.下列说法中正确的是（）A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】【分析】对于ABC：以正方体为依托，举反例说明即可；对于D：根据平面的性质分析判断.【详解】如图所示，正方体，对于选项A：例如平面平面，平面平面，但平面平面，两平面不平行，故A错误；对于选项B：例如与异面，与异面，但，两直线不异面，故B错误；对于选项C：例如∥平面，∥平面，但，两直线不平行，故C错误；对于选项D：若三条直线两两相交且不共点，可得三个不共线三点，由平面性质可知：这三点确定唯一一个平面，且三条直线均在该平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D.4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D5.已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知条件平方求得，然后根据投影向量公式计算即可求解.【详解】因为，所以，即，得，则在方向上的投影向量为.故选：D6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】由题意，可得，设收集的个准确数据分别记为，则，，所以．故选：A．7.在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据四面体的体积最大时，求出点O位置，利用等体积转换法即可求出点O到平面ABD的距离.【详解】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时，因为为正三角形，，，所以，则，当平面平面时，取线段中点，则点为直角三角形的外心，连接，则易知平面，所以四面体外接球球心在上，因为为正三角形，所以四面体外接球球心即为的中心，则，设点到面的距离为，点到面的距离为，由得，因为边长为2，所以，，中，，所以，则，所以点到面的距离为.故选：C8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设条件可得，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值.【详解】由余弦定理可得，整理得到，，则，整理得到：，而，故，而，故，设，则，其中为锐角且，因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名【答案】ACD【解析】【分析】利用扇形图的数据得到及格率判断A；求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数判断B；求出中位数和平均数，比较大小判断C；求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数判断D.【详解】由图知，及格率为，A正确；该测试满分同学的百分比为，则有名，B错误；由图知，中位数为80分，平均数为分，C正确；由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有，D正确.故选：ACD10.已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（）A.B.若A，B，C三点共线，则C.若向量与垂直，则的最小值为1D.向量与的夹角正切值的最大值为【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，用坐标表示向量，再结合向量的坐标运算逐项计算判断即得.【详解】在平面直角坐标系中，令，由，，得，，则，对于A，，因此，A正确；对于B，由三点共线，得，即，于是，解得，即，B错误；对于C，，由向量与垂直，得，而，则，当且仅当时取等号，C错误；对于D，令向量与的夹角为，，当时，，，当时，不妨令，，则，，显然，，当且仅当时取等号，D正确.故选：AD11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（）A.平面 B.到平面的距离为1C.平面平面 D.正方体的棱长为【答案】BCD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】对于A，因为B，C到的距离分别为1，2，显然不相等，所以BC不可能与平面平行，因此选项A不正确；对于B，的交点为，显然是的中点，因为平面，顶点到的距离为，所以到的距离为1，因此选项B正确;对于C，到的距离分别为，所以到的距离为，因此，即，设平面，所以，因为是正方形，所以，又因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此选项C正确；对D，因为平面平面，所以令平面平面，因为平面平面，所以在平面的射影与共线，显然，，如图所示：由，由（负值舍去），因此选项D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则___________．【答案】【解析】【分析】利用两非零向量垂直的充要条件是两向量数量积为0，再利用数量积的坐标运算就可解得结果.【详解】由可得，又因为，，所以，解得.故答案为：13.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.【详解】由余弦定理得，，而由，得，因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，所以，解得或，当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，，故C为锐角，不符合题意；当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，，故B是钝角，符合题意，故答案为：14.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．【答案】【解析】【分析】不妨先考虑甲输丙，再就甲与乙丁的输赢分类讨论后可得所求的概率.【详解】甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意；若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，在丙输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢，否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输或一输一平，①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；综上概率为．故答案为：.【点睛】思路点睛：对于比较复杂的概率的计算，注意根据问题的特征合理分类，尽量不重不漏，必要时利用表格或枚举等方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数满足，．（1）求；（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知得出，利用共轭复数定义和模的计算公式求解即可.（2）利用复数的运算分别求出，，三点坐标，然后利用数量积的变形公式求解向量夹角的余弦值即可.【小问1详解】因为，，两式相加得，所以，故．【小问2详解】由（1）得，则，，则，，则，所以，，故．16.如图，在三棱柱中，，，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得，根据三线合一可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，分别为平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为平面∥平面，且平面，则∥平面，由题意可知：平面，平面，则，又因为，为的中点，则，且∥，则，且，平面，所以平面.【小问2详解】因为，为的中点，则，且平面，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，可得，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：平面的法向量，设二面角的平面角为，则，可得，所以二面角的平面角的正弦值为.17.在锐角中，其内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，再结合正弦定理及三角变换公式可得；（2）结合（1）中结果可求三个角的正切，从而可求三个角的正弦，求出外接圆半径后可求三角形面积.【小问1详解】因为，故，整理得到：，由正弦定理可得，所以即，所以，而为锐角三角形，故，故即.【小问2详解】因为，故，所以，而，结合可得，而为锐角，故，故外接圆半径为，故.18.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级.若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别；甲、乙在面试中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.【答案】（1）76.25分（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据百分位数的求法求解即可；（2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，结合对立事件的概率公式，用列举法求解古典概型概率即可；（3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加冬令营的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可.【小问1详解】，所以第分位数位于，且，所以入围分数应设为76.25分.【小问2详解】依题意从抽取人，标记为1，2，3，4；从抽取，标记为；从6人中随机选2人其样本空间可记为，共包含15个样