《线性代数》课件第6章

6.1二次型及其标准形6.2化二次型为标准形6.3正定二次型

6.1.1二次型

定义6.1.1

含有n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式

(6.1.1)6.1二次型及其标准形取aij=aji(i，j=1，2，…，n)，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是式(6.1.1)可写成

(6.1.2)

对于二次型，我们主要讨论的问题是:如何寻求可逆的线性变换使得二次型只含平方项，也就是把式(6.1.3)代入式(6.1.2)，使二次型化为(6.1.3)例6.1.1

(1)f(x，y)=x2+3xy+y2是一个含有2个变量的实二次型。

(2)f(x，y，z)=3x2+2xy+xz-y2-4yz+5z2是一个含有3个变量的实二次型。

(3)f(x1，x2，x3，x4)=x21+x22+x23-x24是一个含有4个变量的实二次型.

(4)f(x1，x2，x3，x4)=x1x2+2x1x3-4x1x4+3x2x4是一个含有4个变量的实二次型。

(5)f(x，y)=x2+xy-y2+5x+1不是一个实二次型，因为它含有一次项5x及常数项1。

(6)f(x1，x2，x3)=x31+x1x2+x1x3不是一个实二次型，因为它含有三次项x31。

(7)f(x，y)=x2+iy2(i=)不是一个实二次型，因为i是虚数，但它是一个复二次型。6.1.2二次型的矩阵表示形式

利用矩阵，二次型可表示为这里aij=aji(i，j=1，2，…，n)，记则二次型可记做

f=xTAx

(6.1.4)

例6.1.2

用矩阵形式将二次型f=x12+3x32-2x1x2+2x1x3+4x2x3写出来。

解令

得例如，二次型x1x2+x1x3+2x22-3x2x3的矩阵是

反之，对称矩阵所对应的二次型是

例6.1.3

写出下列实二次型相应的对称矩阵。

(1)f(x，y)=x2+3xy+y2=x2+xy+y2，其矩阵为

(2)f(x，y，z)=3x2+2xy+xz-y2-4yz+5z2

=3x2+xy+xz+xy-y2-2yz

+xz-2yz+5z2

相应的实对称矩阵为

(3)f(x1，x2，x3，x4)=x21+x22+x23-x24，相应的实对称矩阵是一个对角矩阵:

例6.1.4

设有实对称矩阵

，求A对应的实二次型。

解

A是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为

例6.1.5

求二次型f(x1，x2，x3)=x21-4x1x2+2x1x3-2x22+6x23的秩。

解先求二次型的矩阵.

f(x1，x2，x3)=x21-2x1x2+x1x3-2x2x1-2x22

+0x2x3+x3x1+0x3x2+6x23

所以A=，对A做初等变换6.1.3矩阵的合同

定义6.1.2

设A，B为两个n阶方阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，

使得CTAC=B，则称矩阵A合同于矩阵B，或A与B合同，记为A

B。

矩阵的合同关系具有如下基本性质:

(1)反身性对任意方阵A，A

A(因为ETAE=A);

(2)对称性若A

B，则B

A；

(3)传递性若A

B，B

C，则A

C。定义6.1.3

关系式称为由变量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的线性变换。矩阵对于一般二次型f(X)=XTAX，我们的问题是:寻求可逆的线性变换X=CY将二次型化为标准形,将其代入得

f(X)=XTAX=(CY)T

A(CY)

=YT(CTAC)Y定理6.1.1

任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B)。

证

A为对称矩阵，即有AT=A，于是

BT=(CTACT=CTATC=CT

AC=B

即B为对称矩阵。

例6.1.6

设二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2-4x1x3+10x2x3，且

(6.1.5)解因f(x1，x2，x3)相对应的矩阵而式(6.1.5)所决定的变换矩阵若二次型f(x1，x2，…，xn)经可逆线性变换x=Cy化为只含平方项的形式

b1y21+b2y22+…+bny2n

则称之为二次型f(x1，x2，…，xn)的标准形。

要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形，即要使6.2化二次型为标准形6.2.1用配方法化二次型为标准形

定理6.2.1

任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.即对任一实对称矩阵A，一定存在非奇异矩阵C，使

B=CTAC为对角矩阵。

定理6.2.1说明任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同。

例6.2.1

将f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3

+x23化为标准形。

解因标准形是平方项的代数和，可利用配方法解之.

f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+x23

=x21+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2-(x2+x3)2+2x22+4x2x3

+x23=(x1+x2+x3)2+x22+2x2x3

=(x1+x2+x3)2+(x2+x3)2-x23(6.2.1)令

即

其线性变换矩阵的行列式|C|=，代入式(6.2.1)得二次型的标准形

该二次型的矩阵为，而原二次型

的矩阵为，线性替换的矩阵为

易验证是对角矩阵，且

拉格朗日配方法的步骤:

(1)若二次型中含有xi的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，然后

配方，再对其余的变量进行同样的过程直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；

(2)若二次型中不含有平方项，但是aij≠0(i≠j)，则先做可逆变换

(k=1，2，…，n且k≠i，j)

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方。

例6.2.2

化二次型f=x21+2x22+5x23+2x1x2+2x1x3+6x2x3为

标准形，并求所用的变换矩阵。

解

令所以。所用变换矩阵为即

例6.2.3

化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵。

解由于所给二次型中无平方项，所以令代入原二次型得，再配方得

令即代入原二次型得标准形所用变换矩阵为

例6.2.4

用配方法将下列二次型化为标准形:

f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2-x1x3+x1x4-x2x3+x2x4-2x3x4

解因缺少了x2i(i=1，2，3，4)的项，无法配方。

但可做如下变换(6.2.2)代入原二次型得关于yi的二次型

这时y2i项的系数不为零，故可以进行配方令(6.2.3)故标准形为.为求变换阵C，从式(6.2.3)解出代入式(6.2.2)，得于是，所用线性变换为x=Cz。6.2.2用初等变换化二次型为标准形

设有可逆线性变换为X=CY，它把二次型XTAX化为标准形

YTBY，则CTAC=B.由于对任何方阵都存在非奇异矩阵C，使CTAC为对角阵，因为C是可逆的，可表示成一系列初等矩阵的乘积，设为C=P1

P2…Ps，所以

CT=PTs…PT2PT1

于是

(6.2.4)式(6.2.4)表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，即可将A化为对角阵，又因为

C=P1P2…Ps=EP1P2…Ps(6.2.5)

式(6.2.5)表示单位阵在相同的初等列变换下就化为C。

由此可见，对2n×n矩阵施以相应于右乘P1P2…Ps的初等列变换，再施以相应于左乘PT1PT2

…

PTs的初等行变换，则矩阵A变为对角矩阵B，而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C。

例6.2.5

求一可逆线性变换将

化为标准形。

解二次型对应的矩阵为，利用初等变换，有因此，C=，|C|=1≠0。令代入原二次型可得标准形为z21+z22-z23。

例6.2.6

求一可逆线性变换化2x1x2+2x1x3-4x2x3为标准形。

解此二次型对应的矩阵为

做初等变换

所以，令6.2.3用正交变换化二次型为标准形

定理6.2.2

任给二次型，总有正交变换X=PY，使f化为标准形

其中λ1，λ2，…，λn是f的矩阵A=(aij)的特征值。

例6.2.7

求正交变换x=Py，化二次型为标准形。

解

(1)写出二次型的矩阵形式

(2)实对称矩阵由例5.4.1知，其特征值为λ1=-1，λ2=2，λ3=5，且存在正交矩阵使得

(3)于是，所给二次型f经正交变换化为标准形

例6.2.8

将二次型通过正交变换x=Py，化成标准形。

解

(1)写出二次型矩阵:(2)求其特征值。由

(3)求特征向量

将λ1=9代入(λE-A)x=0，得基础解系ξ1=(1/2，1，1)T。

将λ2=λ3=18代入(λE-A)x=0，得基础解系

ξ2=(-2，1，0)T，ξ3=(-2，0，1)T.

(4)将特征向量正交化

取α1=ξ1，α2=ξ2，α3=ξ3-，得正交向量组:α1=(，1，1)T，α2=(-2，1，0)T，α3=(，，1)T

将其单位化得做正交矩阵(5)故所求正交变换为

例6.2.9

求正交变换x=Py，化二次型

f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4

为标准形。

解二次型的矩阵为它的特征多项式为于是A的特征值为λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1。当λ1=-3时，解方程(A+3E)x=0，由得基础解系单位化即得当λ2=λ3=λ4=1，解方程(A-E)x=0，由

可得正交的基础解系单位化即得

于是正交变换为且有

一般地，任何二次型都可以用上面的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形，且标准形中含有的项数就是二次型的秩。

例6.2.10

秩为2。(1)求c；(2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准形；(3)f(x1，x2，x3)=1表示哪类二次曲面？

解

(1)f的矩阵为

(显见R(A)≥2)(2)λ1=0，λ2=4，λ3=9的特征向量依次为

它们两两正交，单位化后得下面正交矩阵

6.2.4二次型与对称矩阵的规范形

将二次型化为平方项之代数和形式后，如有必要可重新安排量的次序(相当于做一次可逆线性变换)，使这个标准形为

(6.2.6)

其中di>0(i=1，2，…，r)。再做线性变换

则原二次型化为

例6.2.11

将标准形规范化。

解

做如下变换

则原二次型就成为，就是一个规范标准形。

定理6.2.3

任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所做的可逆线性变换无关。定理6.3.1

设有二次型f=xTAx，它的秩为r，有两个实可逆变换

x=Cy

及x=Pz

使6.3正定二次型6.3.1正定二次型

定义6.3.1

设有实二次型f=xTAx，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然f(0)=0)，则称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；如果对任何x≠0,都有f(x)<0，则称f为负定二次型，并称对称矩阵A是负定的。

如果对任何非零向量X，都有XTAX≥0(或XTAX≤0)成立，且有非零向量X0，使XT0AX0=0，则称f=XTAX为半正定(半负定)二次型，矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵)。

例6.3.1

二次型f(x1，x2，…，xn)=x21+x22+…+x2n，当

X=(x1，x2，…，xn)T≠0时，显然有

f(x1，x2，…，xn)>0

所以这个二次型是正定的，其矩阵En是正定矩阵。

例6.3.2

二次型f=-x21-2x1x2+4x1x3-x22+4x2x3-4x23，将其改写成

f(x1，x2，x3)=-(x1+x2-2x3)2≤0当x1+x2-2x3=0时，f(x1，x2，x3)=0，故f(x1，x2，x3)是半负

定二次型，其对应的矩阵是半负定矩阵。

例6.3.3

f(x1，x2)=x21-2x22是不定二次型，因其符号有时正有时负，如

f(1，1)=-1<0，f(2，1)>0定理6.3.2

实二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个系数全为正。

证设可逆变换x=Cy使

先证充分性.设ki>0(i=1，2，…，n)。任给x≠0，则y=

C-1x≠0，故

定理6.3.3

对称矩阵A为正定的充分必要条件是:

A的各阶主子式都为正，即对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

例6.3.4

判别二次型f=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz的正定性。

解f的矩阵为

例6.3.5

判别二次型f=x21+2x22+3x23-2x1x2-2x2x3的正定性。

解方法一:配方法

f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0

等号仅在x1=x2=x3=0时成立，故f是正定的。方法二:特征值法

二次型f的矩阵为

由方法三:主子式法

由二次型f的矩阵

知

例6.3.6

当λ取何值时，二次型f(x1，x2，x3)为正定.

f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+4x1x3+2x22+6x2x3+λx23

解题设二次型的矩阵因为例6.3.7证明:如果A为正定矩阵，则A-1也是正定矩阵。

证

A正定，则存在非奇异矩阵C，使CTAC=En，两边取逆得:

C-1A-1(CT)-1=En

又因为

(CT)-1=(C-1)T，((C-1)T)T=C-1

因此

例6.3.8

已知A是n阶可逆矩阵，证明ATA是n阶正