2024-2025学年高中数学第二章推理与证明章末复习课演练含解析新人教A版选修1-2

PAGE1-章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相像性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相像甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清楚、不跳步．4．留意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论确定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性须要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必需把反设作为推理依据．书写证明过程时，确定要留意不能把“假设”误写为“设”，还要留意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅须要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应留意逻辑性与规范性．专题一合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推想未知，都能用于猜想，具有发觉功能，但推理的结论不确定为真，有待进一步证明．[例1](1)(2024·陕西卷)视察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)……据此规律，第n个等式可为_______________________________．(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________．解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负．等式的右边共n项，且分母分别为n＋1，n＋2，…2n.分子均为1，因此猜想1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋……＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(2)三角形边长eq\o(→,\s\up7(类比))四面体各面面积，三角形的面积eq\o(→,\s\up7(类比))四面体体积因此R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)答案：(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).(2)R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)归纳升华1．归纳推理中，从特殊发觉各项的变更规律，特殊是各项的符号变更；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理重在考察视察和比较的实力，题目一般状况下较为新奇，也有确定的探究性．[变式训练](1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；其次组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则视察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，把上述结论类比到空间，写出类似的结论．(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.答案：f(n)＝n3(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A­BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此四面体的外接球的半径为R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2.)专题二演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论确定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．[例2]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋alnx(a∈R)．(1)若f(x)在[1，e]上是增函数，求a的取值范围．(2)若a＝1，1≤x≤e，证明：f(x)<eq\f(2,3)x3.解：(1)因为f′(x)＝x＋eq\f(a,x)，且f(x)在[1，e]上是增函数，所以f′(x)＝x＋eq\f(a,x)≥0在[1，e]上恒成立，即a≥－x2在[1，e]上恒成立，所以a≥－1.(2)当a＝1时，f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx，x∈[1，e]令F(x)＝f(x)－eq\f(2,3)x3＝eq\f(1,2)x2＋lnx－eq\f(2,3)x3，又F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2＝eq\f(（1－x）（1＋x＋2x2）,x)≤0，所以F(x)在[1，e]上是减函数，所以F(x)≤F(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3)<0，所以x∈[1，e]时，f(x)<eq\f(2,3)x3.归纳升华数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．[变式训练]若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，…，xn总满意eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：因为eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，因为f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,n)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)专题三综合法与分析法证明数学命题综合法是从缘由推想结果的思维方法，即从已知条件动身，经过逐步的推理，最终达到待证的结论，这是常用的数学方法．分析法是从待证的结论动身，一步一步地找寻结论成立的充分条件，最终达到题设的已知条件或已被证明的事实．[例3](2024·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积．(1)证明：因为AM＝2MD，所以AM＝eq\f(2,3)AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，如图所示，由N是PC的中点知，TN∥BC.TN＝eq\f(1,2)BC＝2.因为AD∥BC，所以TN∥AM.又BC＝4，所以AM＝eq\f(1,2)BC.因为TN＝AM.所以四边形AMNT为平行四边形．所以MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq\f(1,2)PA＝2.取BC的中点E，连接AE.因为AB＝AC＝3，所以AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).由AM∥BC得点M到BC的距离为eq\r(5).所以S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面体N­BCM的体积VNBCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×2＝eq\f(4\r(5),3).归纳升华综合法和分析法是干脆证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于找寻解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．[变式训练]在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f(π,3).③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．专题四反证法的应用(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而确定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想．(2)反证法着眼于命题的转换，变更了探讨的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于干脆论证较为困难的时候，往往采纳反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．[例4]设等比数列{an}的公比为q.(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))(2)假设{an＋1}是等比数列，则对随意k∈N*，有(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aeq\o\al(2,1)q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知冲突．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．归纳升华1．反证法必需从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必需依据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．2．推导出的冲突多种多样，有的与已知相冲突，有的与假设相冲突，有的与已知事实相冲突等等，推出的冲突必需是明显的．[变式训练]已知直线m与直线a和b分别交于A，B，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明：如图所示，因为a∥b，所以过a，b有一个平面α，又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，所以m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相冲突．因此，过a，b，m有且只有一个平面.专题五转化与化归思想的应用转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较简单解决的问题，最终使问题化繁为简、化难为易．[例5]设f(x)＝2x2＋1，a＋b＝1，且a，b同号，求证：对随意实数p，q恒有af(p)＋bf(q)≥f(ap＋bq)成立．证明：∵f(x)＝2x2＋1，a＋b＝1∴af(p)＋bf(q)＝a(2p2＋1)＋b(2q2＋1)，f(ap＋bq)＝2(ap＋bq)2＋1.又af(p)＋bf(q)－f(ap＋bq)＝a(2p2＋1)＋b(2q2＋1)－2(ap＋bq)2－1＝2ap2＋2bq2－2a2p2－4abpq－2q2b2＝2ap2(1－a)＋2bq2(1－b)－4abpq＝2abp2＋2