第13讲二项分布与正态分布（六种题型）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）

第13讲二项分布与正态分布（六种题型）题型一：利用条件概率公式求解条件概率一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）在一次春节聚会上，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（

）A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为【答案】B【分析】根据基本计数原理分别计算出所有的可能组合数为24种，而“小王和小张恰好互换了贺卡”的可能为2种，即可得出其概率为，即A错误；根据条件概率计算公式可得小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，即B正确；计算可得“恰有一个人抽到自己写的贺卡”的基本事件数为8种，即可得出其概率为，即C错误；易知“每个人抽到的贺卡都不是自己写的”的基本事件数为9种，所以其概率为，可得D错误.【详解】对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，即A错误；对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则，小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确；对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确；对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误.故选：B二、多选题2．（2023·全国·高三专题练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（

）A．每100人必有1人患有新冠B．若，则事件与事件相互独立C．若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001【答案】BD【分析】根据概率、条件概率、相互独立事件等知识确定正确答案.【详解】因为表示每100人大约有1人患有新冠，故选项A错误；因为，所以，又因为，由条件概率的计算公式可得：，若，则，因为，所以事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故选项B正确；由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率，故选项C错误；某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，因为，所以，故选项D正确，故选：BD3．（2023·全国·高三专题练习）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（

）A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为【答案】BC【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，A错误；对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A,则,小张抽到小王写的贺卡为事件B,则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为,B正确；对于C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为，C正确；对于D,每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为，D错误，故选：三、填空题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．【答案】【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案；法2：直接在迟到的前提下计算概率.【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，则；，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，故答案为：．四、解答题5．（2023·湖南·模拟预测）2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收．(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占，其中男性为；中年人约占，其中男性为；老年人约占，其中男性为．以样本估计总体，视频率为概率．（ⅰ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；（ⅱ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率（精确到0.0001）(2)该县经济委员会统计了2021年6～12月这7个月的月广告投入x（单位：万元）；y（单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x/万元1234567月销量y/万件28323545495260已知可用线性回归模拟拟合y与x的关系，得到y关于x的经验回归方程为，请根据相关系数r说明相关关系的强弱．（若，则认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）参考数据：，，．参考公式：相关系数．【答案】(1)（ⅰ）0.3975；（ⅱ）0.4403；(2)两个变量有很强的线性相关性.【分析】（1）根据全概率公式即可得出（ⅰ）的答案，进而根据条件概率公式可得出（ⅱ）的答案；（2）由已知可求得，，，然后代入公式即可求出相关系数的值，进而得出两个变量线性相关性的强弱.【详解】（1）（ⅰ）分别设抽取的客户为青年人、中年人、老年人为、、，抽到男性为事件.由已知可得，，，，，，，由已知可得，抽取的客户是男性的概率为.（ⅱ）由（ⅰ）可得，.（2）由已知可得，，，，所以，.所以，两个变量有很强的线性相关性.6．（2023·全国·高三专题练习）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】(1)适宜，(2)（i）；（ii）【分析】（1）判断出适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；（2）（i）设出事件，利用全概率公式进行求解，（ii）在第一问的基础上，利用条件概率进行求解.【详解】（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.令，得，于是，因为，，所以，，所以，，即；（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，则，，又，，于是.（ii）.题型二：利用二项分布概率公式求二项分布的分布列一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．（1）时，消费者购买该纪念品的概率，由题意，，，，同理，，，，的分布列为：01234；（2）由（1）知时，（时等号成立），时，（时等号成立），时，（时等号成立），，因此最大，此时．所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．2．（2022秋·山东东营·高三胜利一中校考期末）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．成绩人数510152520205(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；优秀非优秀合计男10女35合计(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．参考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关(2)分布列见解析，期望值为2.5分【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.【详解】（1）优秀非优秀合计男104050女153550合计2575100假设:此次竞赛成绩与性别无关.,所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列为：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）3．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C）的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人.(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用二项分布的知识计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率为：.（2）依题意可知且，所以，，，，，故分布列为：数学期望.4．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分频率(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；(2)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为．所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为．（2）由题意知，的可能取值，，，．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布．；；；．所以的分布列为．5．（2022·全国·高三专题练习）血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.(1)解：由题意知，，则；；；；.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：X01234P(2)解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，则；；.所以，若方案二比方案一更“优”，则，解得，即，解得.所以当时，方案二比方案一更“优”.6．（2022·全国·高三专题练习）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.(1)求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；(2)①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.【答案】(1)分布列见解析，(2)①；②小于，理由见解析【分析】（1）由题意，X的取值可能为由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；（2）①由已知条件得出的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与的大小关系．(1)由题可知X的取值可能为且易知，且，所以所以的分布列为1234；(2)①由题可知，即又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即；②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.7．（2022·全国·高三专题练习）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2）．【分析】（1）由题知当时个系统需要维修的概率为，进而得电子产品需要维修的系统个数满足，，再根据二项分布求解即可；（2）设个元件组成的系统正常工作的概率为，进而得，再分三种情况（见解析）讨论，进而求解时的情况即可得答案.【详解】（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，∴，∴的分布列为：050010001500P∴．（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为．个元件中有个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率．在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少个元件正常工作，概率为；（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为．所以,因此，，故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，考查运算求解能力，分析数据处理数据的能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于求出个元件组成的系统正常工作的概率为，进而分三类情况讨论增加两个元件后的系统正常工作的概率，并讨论使得的情况.8．（2023·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）；（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；（2）由可得结果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.，的分布列为0123故.（2）依题意，，即.（3）由（2）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.，即.，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.9．（2022·海南省直辖县级单位·统考三模）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下：①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点；②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.【答案】(1)(2)乙选手水平更高，理由见解析【分析】（1）求出“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”和“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”的概率即可求解；（2）根据题意可得，，求出时间的期望即可求解.【详解】（1）甲滑雪用时比乙多秒分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B，“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C，依题意，事件B和事件C是互斥事件，，

所以，.所以甲胜乙的概率为.（2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则，，所以甲被罚时间的期望为（分钟），乙被罚时间的期望为（分钟），又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多分钟，因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.题型三：利用二项分布期望方差公式求解期望和方差一、填空题1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若最大，则______．【答案】24【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.【详解】由题意知：，要使最大，有，化简得，解得，故，又，故.故答案为：24.二、解答题2．（2022·河北·模拟预测）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？【答案】(1)(2)甲种中药药性更好【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复，B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.【详解】（1）依题意有，，.又事件C与D相互独立，则，所以.（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，所以.设A组的积分为，则，所以.设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,，，，，故的分布列为0123所以,设B组的积分为，则，所以,因为，所以甲种中药药性更好.3．（2022·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.【答案】(1)分布列见解析，；(2).【分析】（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；（2）由二项分布的方差公式求解.（1）依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，所以，1，2，且，，，所以的分布列为：012P故（2）由题意，易知服从二项分布，，服从二项分布，，故.4．（2022·全国·高三专题练习）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.【答案】（1）；；（2）①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，故；（2）①由题可知：，当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即；②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.【点睛】本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.5．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．【答案】(1)①；②至少要进行轮游戏，，．(2)【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为的最大值，可知学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由可求得的值，即可得解；（2）设选出的是第个箱子，计算出在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为，进而可求得所求概率为，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率.（1）解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则；②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为，令，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，即当时，．学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知．故理论上至少要进行轮游戏，此时，．（2）解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为．设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形：取法数为，取法数为，取法数为，取法数为，从而，第三次取出的是物理题的种数为．则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为．而选到第个箱子的概率为，故所求的概率为．【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解.6．（2023·全国·高三专题练习）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等级A级B级(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；(2)从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.【答案】(1)287.5(2)分布列为：0123数学期望为(3)每箱零件的利润是4750元【分析】（1）先确定分位数所在的区间，再设出分位数，列出方程，求出答案；（2）先求出的B级零件个数和质量指标值在[350，400]的零件个数，求出可能取值，并求出相对应的概率，求出分布列和期望值；（3）设出每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，得到Y与X的函数关系，先得到，进而估计出每箱零件的利润.【详解】（1）前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6设分位数为，，解得287.5∴产品的质量指标值的分位数为287.5（2），所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量的分布列为0123所以期望.（3）设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，A级零件的概率为1-0.1=0.9所以，所以，所以(元).所以每箱零件的利润是4750元题型四：利用正太分布对称性求概率或参数值一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1【答案】A【分析】由二项分布期望公式求得，再根据正态分布的对称性及已知求.【详解】由题设，即，又，故.故选：A二、多选题2．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）下列命题中，正确的命题是(

)A．已知随机变量服从，若，则B．已知，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大【答案】BCD【分析】选项A：利用二项分布期望、方差公式计算判断；选项B：由互斥事件概率的加法公式计算判断；选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误；对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥，，选项B正确；对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确；对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，当时，对应的概率，所以当时，，由得，即，因为，所以且，又，即时，概率最大，故选项D正确．故选：BCD【点睛】二项分布的概率公式，可用作商法确定其中的最大值或最小值．3．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．已知随机变量服从正态分布，若，则B．已知随机变量的分布列为，则C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为【答案】ACD【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利用二项分布的期望、方差公式计算关判断；对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.【详解】对于A，因服从正态分布，且，由正态分布的性质知，，则，A正确；对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；对于C，显然，则有，解得，C正确；对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，于是有，又，从而得，所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.故选：ACD三、解答题4．（2022秋·浙江金华·高三期末）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①；②若，则【答案】(1)7.03(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.【详解】（1）由可得中位数在区间内，设中位数为，则，解得；（2）（i）由可得，则，只；（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.5．（2023·全国·高三专题练习）南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.【答案】(1)①；②(2)分布列见解析；【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正态分布的对称性即可求解；（2）由，所获赠话费的可能取值为，，，，，结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.（1）由题，，因为，所以.（2）由题，，所获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，，所以的分布列为：所以.6．（2022·全国·高三专题练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.消费金额（千元）人数305060203010(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.参考数据：；若随机变量，则，，.【答案】(1)X的分布列为：X123P；(2)①．②．【分析】（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望；（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．【详解】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，所以，，，所以X的分布列为：X123P；（2）①由题意得，所以，所以．②由题意及①得，，，所以．7．（2023·全国·高三专题练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270，).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.（i）求出f(p)的最大值点;（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.参考数据:ζ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.【答案】（1）136；（2）（i）；（ii）分布列见解析.【分析】（1）由正态分布原则即可求出排球个数；（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.【详解】（1）因为ξ服从正态分布N(270，)，所以，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；（2）（i），令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值点；（ii）的可能取值为0，1，2，3.；；；；所以的分布列为0123P【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.8．（2022·全国·高三专题练习）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．附：若，则，．【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.由题意可得：，，，，随机变量的分布列为数学期望．（2）①设该划线分为，由得，令，则，由题意，，即，，，，，，取．②由①讨论及参考数据得，即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，，．由即解得，，，当时，取得最大值．【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．题型五：利用正太分布三段区间的概率值求概率一、单选题1．（2022春·全国·高三专题练习）2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（

）若随机变量，则，A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725【答案】B【分析】根据正态分布的对称性与原则求解即可.【详解】解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，所以，所以故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据正态分布曲线的特点判断A，B，C；先计算出一只口罩过滤率小于等于的概率，然后根据即可计算出的值并进行判断.【详解】由题意可知，正态分布的；甲．因为，所以，故正确；乙．因为，所以，故正确；丙．因为，且，所以，故正确；丁．因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，又因为，故错误；故选：D.【点睛】思路点睛：解决正态分布问题的三个关键点：（1）对称轴；（2）标准差；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为的特殊区间，从而求出所求概率.二、解答题3．（2023·全国·高三专题练习）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】(1)(2)①；②；【分析】（1）先求出平均数，然后利用正态分布的对称性和原则进行求解；（2）①先表达出抽检的某箱脐橙被记为“同”的概率，再求出相应的概率；②表达出，利用导函数求出时，取得最大值，进而求出此时n的值.（1）由分布图：则，在内为优品则（2）①②，且，因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，因为，且当时，，当时，，当时，，∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，求得4．（2023·全国·高三专题练习）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：质量指标值频数163040104试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示质量指标值k利润yt假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量，则，.【答案】(1)；(2)能，理由见解析.【分析】（1）首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间之内的概率，从而得到质量指标k在区间之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.（2）首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与进行比较即可得出答案.（1）由题意知，样本的平均数为，所以，.所以质量指标k在区间之外的概率为.因为，则，所以.（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，所以当时，取得最大值，且因为该生产线的年产量为100万个，所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.5．（2023·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：（1）求这500份血液样品指标值的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作）；（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标的值X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标的值，结果发现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．附：参考数据与公式：，，；若，则①；②；③．，，，．【答案】（1）17.4；6.92（2）该院医生的健康率是正常的．见解析【分析】（1）由频率分布直方图，直接利用平均数和方差公式，求出500份血液样品指标值的平均数和样本方差；（2）由（1）得出指标的值服从正态分布，从而可求出，在根据独立重复试验中的概率求法，求出20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03的概率，即可判断该院医生的健康率是否正常.【详解】解：（1）根据题意，由频率分布直方图可知，500份血液样品指标值的平均数为：，500份血液样品指标值的样本方差为：．（2）由题意知：指标的值服从正态分布，，，则，所以，．随机抽取20名医生独立检测血液中指标的值，就相当于进行了20次独立重复试验，记“20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20,03”为事件，则，所以从血液中指标的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的．【点睛】本题考查由频率分布直方图估计平均数和方差，考查对正态分布的理解和正态分布的实际应用，以及独立重复试验中的概率问题，考查理解分析和计算能力.6．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：消费金额（单位：百元）频数由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：，因为服从正态分布，所以.所以，所以的数学期望为.①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，即，且，所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.②由①知，，，，，以上各式相加，得，所以.所以闯关成功的概率为，闯关失败的概率为.，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.题型六：利用正太分布三段区间的概率值估计人数一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）【答案】(1)中位数为，方差为；(2)①4；②分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根