2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质学案含解析北师大版必修4

PAGE§6余弦函数的图像与性质学问点一余弦函数的图像[填一填]1．(1)余弦函数y＝cosx的图像可以通过将正弦曲线y＝sinx向左平移eq\f(π,2)个单位长度得到．(2)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线．图像如下：[答一答]1．为什么说在同始终角坐标系中正弦函数、余弦函数的图像的形态相同，只是位置不同？提示：函数的图像经过左右平移后，其形态未发生改变，只是在坐标系中的位置发生了改变．由平移变换，知函数f(x)＝sinx的图像向左平移eq\f(π,2)个单位长度得函数f(x＋eq\f(π,2))＝sin(x＋eq\f(π,2))的图像．依据诱导公式sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，知平移后的图像就是余弦函数f(x)＝cosx的图像．由此可见，在同始终角坐标系中正弦函数、余弦函数的图像的形态相同，只是位置不同．由于sin(2kπ＋eq\f(π,2)＋x)＝cosx(k∈Z)，sin(－2kπ－eq\f(3π,2)＋x)＝cosx(k∈Z)，则将正弦函数的图像向左平移2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)个单位长度或向右平移2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)个单位长度均得到余弦函数的图像．这样通过数和形两方面来分析，就真正明确了其中的正弦函数、余弦函数图像的关系，有利于帮助我们解决有关三角函数图像的问题．学问点二余弦函数的性质[填一填]2．余弦函数的性质[答一答]2．(1)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性与哪些量的符号有关？提示：(1)因为余弦函数的对称中心不是原点，所以它不是奇函数．而余弦函数的对称轴是y轴，因此它是偶函数．(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性与A，ω的正负号有关．1．余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的探讨可以类比正弦函数的探讨方法．(2)余弦函数的性质可以由图像干脆视察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论．即数形结合思想的运用．2．余弦函数的对称性(1)余弦函数是中心对称图形，其全部的对称中心坐标为(kπ＋eq\f(π,2)，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的交点，此时的余弦值为0.(2)余弦曲线是轴对称图形，其全部的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，即对称轴肯定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．3．余弦函数的周期性类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z且k≠0,1)也是余弦函数的周期，依据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)，简单得出．4．对余弦函数最值的三点说明(1)明确余弦函数的有界性，即－1≤cosx≤1.(2)对有些函数，其最值不肯定是1或－1，要依靠函数定义域来确定．(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acosz的形式求最值．类型一函数的图像变换及五点法作图【例1】利用图像变换作出下列函数的简图．(1)y＝cosx，x∈[－2π，2π]；(2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．【思路探究】首先用“五点法”作出y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，然后通过图像变换(平移、翻折等)求解．【解】(1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，在x∈[－2π，0]上的图像只需将x∈[0,2π]的图像向左平移2π个单位长度，如图所示．(2)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，再作出关于x轴对称的图像，最终将图像向上平移1个单位长度，如图所示(实线部分即为所求)．规律方法图像变换包括图像的平移、伸缩、翻折、旋转等，通过图像变换得到的函数图像是作图的方法之一，关键是弄清所求的函数图像与熟识的函数图像之间的关系．作出函数y＝cos(x＋eq\f(π,6))的简图，x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(11,6)π]．解：列表如下：x－eq\f(π,6)eq\f(2,6)πeq\f(5,6)πeq\f(8,6)πeq\f(11,6)πu＝x＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy＝cosu10－101描点作图如下：类型二余弦函数的单调性【例2】求下列函数的单调区间．(1)y＝3cosx＋1；(2)y＝3－cosx.【思路探究】首先分别作出这两个函数的简图，通过图像得出它们在一个周期内的单调性，进而得出函数在整个定义域内的单调区间．【解】(1)画出函数y＝3cosx＋1的简图，如图(1)，可知函数y＝3cosx＋1的单调区间与函数y＝cosx的单调区间一样，所以函数y＝3cosx＋1的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(2)画出函数y＝3－cosx的简图，如图(2)，知函数y＝3－cosx的单调区间与函数y＝－cosx的单调区间一样，所以函数y＝3－cosx的单调递减区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．规律方法类似于正弦函数，欲求某三角函数的单调区间，可先选择一个周期长度的区间上的图像分析，通常为一个完整的波峰或波谷．如函数y＝2cosx在[0,2π]上的单调递增区间为[π，2π]，再依据函数的周期性推知，函数y＝2cosx在[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)上也是增函数．函数y＝|cosx|的一个单调递减区间是(C)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3,4)π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))解析：作出函数y＝|cosx|的图像(图略)，由图像可知A，B都不是单调区间，D为单调递增区间，C为单调递减区间，故选C.类型三利用正、余弦函数的单调性比较大小【例3】比较下列各组数的大小．(1)coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)；(2)sin(sineq\f(3π,8))与sin(coseq\f(3π,8))．【思路探究】利用诱导公式化简，结合同一区间上函数的单调性比较大小．【解】(1)sineq\f(1,10)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))，－coseq\f(7,4)＝cos(π－eq\f(7,4))，∵0<π－eq\f(7,4)<eq\f(π,2)－eq\f(1,10)<eq\f(3,2)<π，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴cos(π－eq\f(7,4))>cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))>coseq\f(3,2)，即－coseq\f(7,4)>sineq\f(1,10)>coseq\f(3,2).(2)coseq\f(3π,8)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(π,8))＝sineq\f(π,8)，∵0<eq\f(π,8)<eq\f(3π,8)<eq\f(π,2)，函数y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上是增函数，∴sineq\f(π,8)<sineq\f(3π,8)，∴coseq\f(3π,8)<sineq\f(3π,8)，又∵0<coseq\f(3π,8)<sineq\f(3π,8)<1，函数y＝sinx在(0,1)上是增函数，∴sin(coseq\f(3π,8))<sin(sineq\f(3π,8))．规律方法比较三角函数值的大小详细有三步：(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名三角函数；(2)依据诱导公式把两角化为同属于同一个单调区间；(3)依据三角函数的单调性比较大小．比较cos1155°与cos(－1516°)的大小．解：解法一：cos1155°＝cos(3×360°＋75°)＝cos75°，cos(－1516°)＝cos(－5×360°＋284°)＝cos284°＝cos76°，在单位圆中，分别作出cos75°和cos76°的余弦线OM1，OM2，如图所示，∵OM1>OM2，∴cos75°>cos76°，即cos1155°>cos(－1516°)．解法二：同上．∵0°<75°<76°<90°且y＝cosx在(0°，90°)单调递减，∴cos75°>cos76°，即cos1155°>cos(－1516°)．类型四函数的奇偶性【例4】推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(2)cos2x；(2)f(x)＝eq\r(1－cosx)＋eq\r(cosx－1)；(3)f(x)＝cos(sinx)．【思路探究】首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则函数没有奇偶性；若定义域关于原点对称，再推断f(－x)与f(x)的关系．【解】(1)明显，函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝eq\r(2)cos(－2x)＝eq\r(2)cos2x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)∵1－cosx≥0，且cosx－1≥0，∴cosx＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)，此时y＝0.故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)明显，函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝cos(sin(－x))＝cos(－sinx)＝cos(sinx)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．规律方法推断函数的奇偶性，首先要考虑定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再推断f(－x)与f(x)的关系，从而得出结论．留意在推断f(－x)与f(x)的关系之前要先将函数化简到最简形式，并充分考虑化简后对定义域的影响．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(C)A．y＝sinx B．y＝x＋sinxC．y＝x＋cosx D．y＝xcosx解析：y＝sinx为奇函数．函数y＝f(x)＝x＋sinx的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，∴y＝x＋sinx为奇函数．函数y＝f(x)＝x＋cosx的定义域为R，由f(－x)－f(x)＝0，得－x＋cos(－x)－(x＋cosx)＝0，解得x＝0，不满意对随意x∈R都成立；由f(－x)＋f(x)＝0，得－x＋cos(－x)＋(x＋cosx)＝0，得cosx＝0，不满意对随意x∈R都成立，故y＝x＋cosx既不是奇函数，也不是偶函数．函数y＝f(x)＝xcosx的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，∴y＝xcosx为奇函数．类型五最值问题【例5】求函数y＝cos2x＋cosx＋1的最大值和最小值及使y取得最值的x的集合．【思路探究】先换元再转化为二次函数在闭区间上求值域的问题，换元法是求三角函数最值的常用方法，留意换元后自变量的取值范围的改变．【解】令t＝cosx，则t∈[－1,1]，且y＝t2＋t＋1，对称轴为t＝－eq\f(1,2).①当t＝－eq\f(1,2)，即x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±\f(2,3)π＋2kπ，k∈Z))))时，ymin＝eq\f(3,4).②当t＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3.规律方法(1)求形如y＝acosx＋b的三角函数的最值时，既要留意x的限定范围，又要留意a的正、负对最值的影响．(2)形如y＝acos2x＋bcosx＋c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依旧采纳数形结合的思想加以分析，必要时要分区间探讨转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝3＋2cos(2x＋eq\f(π,3))；(2)y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))(－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6))．解：(1)因为－1≤cos(2x＋eq\f(π,3))≤1，所以当cos(2x＋eq\f(π,3))＝1时，ymax＝5，当cos(2x＋eq\f(π,3))＝－1时，ymin＝1.(2)因为－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)，所以0≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π，所以0≤sin(2x＋eq\f(π,3))≤1，所以当sin(2x＋eq\f(π,3))＝1时，ymax＝2，当sin(2x＋eq\f(π,3))＝0时，ymin＝0.——规范解答——与正、余弦函数有关的函数的值域的求解【例6】求函数y＝sin2x＋cosx(－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4))的值域．【审题】【解题】设t＝cosx，因为－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，则t∈[eq\f(\r(2),2)，1]．所以y＝sin2x＋cosx＝1－cos2x＋cosx＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，t∈[eq\f(\r(2),2)，1]，故当t＝eq\f(\r(2),2)，即x＝±eq\f(π,4)时，y取最大值eq\f(1＋\r(2),2)；当t＝1，即x＝0时，y取最小值1.所以函数的值域为[1，eq\f(1＋\r(2),2)]．【小结】1.留意新元的取值范围在解答与换元有关的问题时，要考虑新元的取值范围，如本例中t的范围，假如不考虑，则值域会出错．2．关注题设中的限制条件在解题时，简单忽视题设中的限制条件，造成结论出现错误．如本例中x的限制条件．已知函数f(x)＝2sin2x＋2cosx－3，x∈R，求f(x)的值域．解：y＝2sin2x＋2cosx－3＝2(1－cos2x)＋2cosx－3＝－2(cosx－eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝eq\f(1,2)时，函数y＝2sin2x＋2cosx－3取得最大值－eq\f(1,2)，当cosx＝－1时，函数y＝2sin2x＋2cosx－3取得最小值－5.∴值域为[－5，－eq\f(1,2)]．一、选择题1．函数y＝cosx(0≤x≤eq\f(π,3))的值域是(B)A．[－1,1] B．[eq\f(1,2)，1]C．[0，eq\f(1,2)] D．[－1,0]解析：∵函数y＝cosx在[0，eq\f(π,3)]上是减函数，∴函数的值域为[coseq\f(π,3)，cos0]，即[eq\f(1,2)，1]．2．函数y＝－eq\f(2,3)cosx，x∈[0,2π]，其单调性是(A)A．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B．在[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上是增函数，在[0，eq\f(π,2)]，[eq\f(3π,2)，2π]上是减函数C．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D．在[0，eq\f(π,2)]，[eq\f(3π,2)，2π]上是增函数，在[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上是减函数解析：由于当x∈[0,2π]时，函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－eq\f(2,3)cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z解析：由五点作图知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)ω＋φ＝\f(π,2)，,\f(5,4)ω＋φ＝\f(3π,2)，))解得ω＝π，φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝cos(πx＋eq\f(π,4))，令2kπ＜πx＋eq\f(π,4)＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－eq\f(1,4)＜x＜2k＋eq\f(3,4)，k∈Z，故单调递减区间为(2k－eq\f(1,4)，2k＋eq\f(3,4))，k∈Z，故选D.二、填空题4．(1)比较大小：cos(－e