江苏2018高三数学一轮复习圆锥曲线

椭圆

考试要求1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，

A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求.

知识梳理

1.椭圆的定义

⑴第一定义：平面内与两个定点22的距离的和等于定2氐(大于QF2)的点的

轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

用符号表示为PFi+PF2=2a(2a>FiF2).

(2)第二定义：平面内到定点F和定直线RF不在定直线I上)的距离之比是一个

常数e(O<e<l)的点的轨迹叫作椭圆.

2.椭圆的标准方程及简单的几何性质

?2,

椭圆，+$=1(。〉/?〉0)的离心率e=^(O<e<l),离心率e等于椭圆上任意一点M

到焦点尸的距离与M到尸对应的准线的距离的比.椭圆越扁，离心率e越大；

椭圆越圆，离心率越小.

222

条件2a>2c,a=b-\-c,a>Ofb>09c>0

方=13匕>0)力+方=l(a>0>0)

标准方程

6

及图形

cy，M

范围|y|W〃

对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称

长轴顶点(±4,0)短轴顶点(0,长轴顶点(0,±。)短轴顶点

顶点

±b)(土员0)

隹占

八、、八、、(土c,0)(0,土c)

长、短轴的长度长轴长2a,短轴长2b

焦距F\F2=2c(/=a2—b1)

a2a2

准线方程-

x=±c产±7

离心率e=1e（oj）,e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆

诊断自测

1.判断正误（在括号内打"J"或"X"）

（1）平面内与两个定点尸1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）

（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

（3）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.（）

⑷方程如2+〃y2=lO>0,〃>0,表示的曲线是椭圆.（）

（5点+方=1（。队>0）与%+方=13>。>0）的焦距一样.（）

解析（1）由椭圆的定义知，当该常数大于为仍时，其轨迹才是椭圆，而常数等

于尸1尸2时，其轨迹为线段凡22,常数小于凡尸2时，不存在这样的图形.

（2）因为e=1l一件,所以e越大，则£越小，椭圆就越扁.

JW,

C4Ct\i\~*7L4-

答案（l）x（2）X（3）V（4）V（5）V

22

2.（2015.广东卷改编）椭圆:+%=1（心0）的左焦点为Fi（—4,0）,则m=.

解析依题意有25—川=16,\'/n>0,・••加=3.

答案3

3.椭圆C：，+/=13>40）的左、右焦点分别为F\,F2,离心率为坐过

F2的直线/交C于A,8两点.假设△ABB的周长为4小,则C的方程为.

解析由椭圆的定义可知AAFiB的周长为4a,所以4a=4小，故。=小，又由

c\[3fy2

e=a=3,得c=l，所以〃=/—<?=2,则C的方程为了+5=1.

答案f+f=1

72

4.（2016・江苏卷）如图，在平面直角坐标系g中，尸是椭圆，+$=1（。>匕>0）

的右焦点，直线y=?与椭圆交于8,C两点，且N8FC=90。，则该椭圆的离心

率是.

解析联立方程组jb解得8,。两点坐标为

卜=5，

《-余目，小华,野，又取。），

则而=（一与—c,2,而=（华—C,2,

又由N5FC=90。，可得西,危=0,代入坐标可得：

3b2

C2-1+w=0，①

又因为b2=a2—c2.

代入①式可化简为5=*则椭圆离心率为

答案坐

5.点P是椭圆上y轴右侧的一点，且以点P及焦点£,尸2为顶点的

三角形的面积等于1,则点P的坐标为.

解析设P（x,y）,由题意知d=。2—〃=5—4=1,

所以c=l,则尸|（一1,0）,F2（l,0）,由题意可得点尸到x轴的距离为1,所以y=

±1,把y=±l代入^■+；=：!,得尤又x>0,所以x=曰3,...P点坐标

娉1）或婚,t）

答案当,1）或建,一1）

考点一椭圆的定义及其应用

【例1】（1）如图，圆。的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上任意一

点，线段AP的垂直平分线/和半径。尸相交于点。,当点P在圆上运动时，点

Q的轨迹是.

92

（2）Fi，尬是椭圆C：的两个焦点，尸为椭圆C上的一点，且

ZF1PF2=60°,S/\PFIF2=35,贝i」b=.

解析(1)连接QA

由得QA=QP.

所以QO+QA=QO+QP=OP=r.

又因为点A在圆内，所以，OAVOP,根据椭圆的定义，点。的轨迹是以。，A

为焦点，r为长轴长的椭圆.

(2)由题意得PFi+P尸2=2。，又NFIPF2=60°,

所以「舟+PFi-2PFiPF2cos60°=F\F2L,

所以(PFi+PF»—3PF\=4/,

所以3PF\PFi=4a2-4c2=4b2,

所以PFIPF2=%,

114

所以PF\Fi=&PFiPFisin60。=]X求2X看=

坐廿=3小，所以o=3.

答案⑴椭圆(2)3

规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点

的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离

心率等.

(2)椭圆的定义式必须满足2a>FiFi.

【训练1】(1)椭圆?+f=1的两个焦点是尬，点尸在该椭圆上，假设PFi

-PF2=2,则△PQB的面积是.

222

(2)(2017•保定一模)与圆Ci：(x+3)+y=l外切，且与圆C2：(%-3)+/=81

内切的动圆圆心尸的轨迹方程为.

解析(1)由椭圆的方程可知a=2,c=V2,且PFi+PF2=2a=4,又PFLPF?

=2,所以PB=3,PF2=1.又FR=2c=2取,所以有PK=PF3+FIFZ,即4

尸£尸2为直角三角形，且NPB尸为直角，

所以SAPFiF2=；FiF2PF2=gx2小义1=巾.

(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有PG=r+l,PC2=9-r.

>

所以PCi+/C2=10>CiC2,

即「在以Cl（一3,0）,。2（3,0）为焦点,长轴长为10的椭圆上，

?2

得点P的轨迹方程为*'+汽=1.

答案⑴啦⑵号+汽=1

考点二椭圆的标准方程

【例2】（1）椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（一|，|）,他,

小），则椭圆方程为.

⑵过点（小，一小），且与椭圆号+5=1有一样焦点的椭圆标准方程为.

解析（1）设椭圆方程为加/+〃>2=1（6，〃>0,

由卜|）2租+如1,

[3m+5n=1,

解得加=3，M=JQ.

二椭圆标准方程为2F^=l.

27

（2）法一椭圆标+方=1的焦点为（0,—4）,（0,4）,即c=4.

由椭圆的定义知，2a=叱•-0）2+（一小+4>+q（小一0）2+（一小—4）2,解得

a=2小.

由/=/一序可得〃=4.

所以所求椭圆的标准方程为为+『=1.

法二设所求椭圆方程为马三+生=1伙<9）,将点（小，一小）的坐标代入可

ZJ—K9—K

得（呼+嚼=1,解得仁5/=21舍去），所以所求椭圆的标准方程为磊+?

25—Z9—kzu4

=1.

答案（唔+?=1Q备+（=1

规律方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首

先确定焦点所在位置，然后根据条件建设关于。，的方程组，如果焦点位置不

确定，可设椭圆方程为1(m>0,H>0,m#n),求出机，〃的值即可.

【训练2】(1)(2017.常州监测)椭圆的中心在原点，离心率e=T，且它的一个焦

点与抛物线尸=一4犬的焦点重合，则此椭圆标准方程为.

(2)椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴，则椭

圆的标准方程为.

解析(1)依题意，可设椭圆的标准方程为也+否=15>b>0),由可得抛物线的

z»1

焦点为(-1,0),所以c=l,又离心率e=Z=],解得a=2,b2=a2—c2=?),所以

椭圆标准方程为。+1=1.

(2)法一假设椭圆的焦点在x轴上，设方程为奈及

⑵z=3X2b,一、

f所以椭圆的标准方程为看+产1.

由题意得2+«.=1解得

?9

假设焦点在y轴上，设方程为方+*1(心心0).

'2a=3X2b,

。=9,

由题意得，2_旦_解得，

二5+L2=1，b=3.

综上所述，椭圆的标准方程为看+户1或5+gi.

法二设椭圆的方程为\+亍=1(加>0,n>0,mW”)，则由题意知

[9,C9,

—=]—=1

-m,或加，

.2"\/nj=3X2^/H2y[n—3'X2y[tn,

m=9,

解得

/?=81.

二.椭圆的标准方程为5+尸=1或《■+言=1.

7o1y

答案(U=l(2备+户1或若+.=1

考点三椭圆的几何性质

【例3】⑴(2016•全国川卷改编)0为坐标原点，尸是椭圆C：，+/=1(。>。〉0)

的左焦点，A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFLx轴.过点A

的直线/与线段PF交于点M,与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，

则C的离心率为.

(2)椭圆$+/=l(a>b>c>0,/=/+才)的左、右焦点分别为R,Fi,假设以

仍为圆心，匕一。为半径作圆/2,过椭圆上一点尸作此圆的切线，切点为T,且

IP7］的最小值不小于坐(a—c),则椭圆的离心率e的取值范围是.

解析(1)设M(—c,m),则40,-J,OE的中点为。，

则。9,2(a-c)r又&D,M三点共线，

,77mI

所以号----所以a=3c,所以e=Q.

2(a—c)a+cJ

(2)因为PT=^PFi-(b-c^(b>c),

而PFi的最小值为a-c,所以PT的最小值为"\/(。一，)2—(/?—.依题意,有

.____________、八

q(a—c)2—•(》-c)2»^-(a—c),所以(a—c)224S—c>,所以a—c22(〃一c),所

以a+c22/7,所以(a+c)22%/—/),所以5/+2ac—3a220,所以5e2+2e—32o.

①

又b>c,所以从><?,所以/—/>，，所以2e2<l.②

联立①②，得卜e(当.

答案吗⑵E■

规律方法(1)求椭圆离心率的方法

①直接求出dc的值，利用离心率公式直接求解.

②列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助于序=层一,2消去仇转化为

含有e的方程（或不等式）求解.

（2）利用椭圆几何性质求值或范围的思路

求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进展分析，当涉及顶点、焦

点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.

【训练3】（2017.盐城模拟）椭圆：，+方=l（0VY2）的左、右焦点分别为Fi，

Fi，过R的直线/交椭圆于A,B两点,假设3尬+4尸2的最大值为5,则8的值

是.

解析由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知，AF2+8F2+A8=4a=8,所

以AB=8-（AF2+BF2）^3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，

则工-=3.所以〃=3,即/?=小.

答案事

考点四直线与椭圆的位置关系

[例4]（2015・江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆，+方=1（4。

>0）的离心率为勺，且右焦点F到左准线/的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过尸的直线与椭圆交于A,8两点，线段的垂直平分线分别交直线/和AB

于点P,C,假设PC=2AB,求直线A8的方程.

解（1）由题意，得§=坐且c+（-=3,

解得a=啦，c=l,则b=l,

所以椭圆的标准方程为曰+尸=1.

（2）当轴时，AB=巾,又CP=3,不合题意.

当A3与x轴不垂直时，设直线48的方程为y=&（x-1）,A（xi，州）,伙心，”），

将A8的方程代入椭圆方程，

得（1+2斤）/-4dx+2（斤一1）=0,

2后川2(1+2)

则Xl,2=

1+2正

C的坐标为,且

AB=yl(X2-x\)2+(y2—yi)2=-\l(]+^)(X2-X\)2

_2仞+&2)

・1+2F,

假设％=0,则线段A8的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.

从而左W0,故直线PC的方程为

>+7占=-疝-尚)

5好+21

则P点的坐标为-2,硝+2a)

2(3炉+W+M

从而PC=

因(1+2F)

2(3d+l)41+启4/(1+必)

因为PC=2AB,所以肉(1+2后)=1+2后

解得k=±\.

此时直线A8的方程为y=x—l或y=-x+L

?2

【例5】(2017.南通调研)如以以下列图，椭圆$+g=l(a>b>0)的右顶点为

A(2,0),点为椭圆的离心率).

(1)求椭圆的标准方程;

(2)假设点8,C(C在第一象限)都在椭圆上，满足我?=%丽，且说.西=0,求实

数％的值.

解⑴由条件，4=2,e=全代入椭圆方程，得号+於=1.

V/?2+C2=4,.,.炉=1,<?=3.

...椭圆的标准方程为］+y2=l.

(2)设直线OC的斜率为A,则直线。。方程为y=

代入椭圆方程1+y2=l,即/+4尸=4,

2

得(1+4必)/=4,•,•xc=^^?

(22k、

则Q而京石m

又直线A3方程为y=k(x-2),

代入椭圆方程f+4y2=4,

得(1+4F)%2—16dx+16Z?—4=0.

2(43-1)eJ2(4d—1)~4k}

•炀=2,・.XB=]+/，则用"I，甲目・

'：OCOB=0,」空U•/22+11*/2k=0.

1+4标W+4F1+4幺/+4标

.,.d=T，在第一象限，.OO，A:=2'

规律方法与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常

规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后

根据所给的向量条件再建设方程，解决相关问题.涉及弦中点问题用“点差法”

解决往往更简单.

Y2V2

【训练4】（2017.南京、盐城模拟）椭圆了+1=1（6!>/?>0）的离心率e=2'一条

准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆

于另一点P，尸关于x轴的对称点为Q.

（1）求椭圆的标准方程；

⑵假设直线AP,A。与x轴交点的横坐标分别为加，〃，求证：〃?〃为常数，并

求出此常数.

⑴解因为5=坐,7=2,

所以。=啦，C=l,所以—

9

故椭圆的标准方程为5+y2=i.

（2）证明法一设P点坐标为（xi，6）,则Q点坐标为（xi，-6）.

因为以P=M=*U，所以直线AP的方程为丁=当4+1.

令尸0,解得机=一言.

因为以。=得=—y

XL0X\

所以直线AQ的方程为y=—“普+1.

令产。，解得〃二卷・

—X

所以mnyi_1yi+1]—yy

又因为（XI,yi）在椭圆，+9=1上，

所以,+济=1,即］—y?=5，

2

所以］j=2,即mn.~2,

所以加〃为常数，且常数为2.

法二设直线AP的斜率为MAWO）,则AP的方程为y=Ax+l,令y=0得加=

y=kx+1,

联立方程组k।2

[5+户1,

4k

消去y得（1+2必）f+4日=0,解得以=0,xp=_］+2

所以yp=/xp+l=

则。点的坐标为1（—ITAL而,一1立-2商制，

1-2一

―1+23-111

所以MQ=----77—=57,故直线AQ的方程为y=^x+L

乙K乙K

―1+2-

令y=0得n—―2k,

所以〃?〃=（一：）（—2Q=2.

所以〃?〃为常数，常数为2.

［思想方法］

1.椭圆的定义提醒了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定

义中的常数大于F砂2,防止了动点轨迹是线段或不存在的情况.

2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系数法）.先“定

位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看

焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据条件，通过

解方程（组）等手段，确定片,〃的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方

程.假设不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为的2+〃尸=1（m>0,〃

>0且机#〃）.

［易错防范］

1.判断两种标准方程的方法为对比标准形式中％2与V的分母大小.

2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e6（0,l）进展根的

取舍，否则将产生增根.

3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，—aWxWa,-b&y&b,0

<e<l等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.

根基稳固题组

（建议用时：40分钟）

一、填空题

1.椭圆\+?=1的焦距为2,则m的值等于.

解析当〃?>4时，加-4=1,/.m=5；当0<机<4时，4~m=1,.'.m=3.

答案3

2.（2017.苏州调研）中心在原点的椭圆C的右焦点为尸（1,0）,离心率等于;，则C

的方程是.

解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c=l,e=\=|=>a=2,b2=a2

—d=3,因此其方程是?+g=L

答案Y+?=l

3.假设椭圆冬十三=1上一点P到焦点乃的距离为6,则点尸到另一个焦点f2

ZJlo

的距离是,

解析由椭圆定义知PB+PF2=10,又PQ=6,...尸凡=4.

答案4

4.（2017•扬州期末）设椭圆C的左、右焦点分别为R,F2,

P是C上的点，PF2M尸2,ZPFIF2=30°,则。的离心率为.

O

解析在RtAPF2Fi中，令P%=1,因为ZPFIF2=30,所以PFi=2,FiF2=\f3.

,,2cFiFi

故e~2a~PF\+PFo~3•

答案申

5.（2016.全国I卷改编）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心

到/的距离为其短轴长的点则该椭圆的离心率为.

解析如图，由题意得，BF=a,OF=c,OB=b,OD=^X2b=^b.

在RtZ\ObB中，OFXOB=BFXOD,即仍即a=2c,故椭圆离心率e

-Q_2，

6.（2016-南京师大附中模拟）椭圆加+力2=1（。＞0,〃＞0）与直线y=1一九交于A,

8两点，过原点与线段A3中点的直线的斜率为半，则（的值为.

解析设析了1,yi）,B（x?,j2）,

则ax1+by]=1,cvd+by^=1,

ooobyi—byi

即漏一以3=_（b?一明），髭—康=-l,

b（y\-yi）（y\+yi）__.b^3=_

«（X1-X2）（X1+X2）-5（02-

"a~3,

依安维

口案3

7y

7.（2017・昆明质检）椭圆互十会=1上的一点尸到两焦点的距离的乘积为加，当初

取最大值时，点尸的坐标是.

解析记椭圆的两个焦点分别为B,F2,有尸月+P&=2a=10.

则m=PF-PF2W（P”[0尸2）2=25,当且仅当PF]=尸产2=5,即点P位于椭圆的

短轴的顶点处时，机取得最大值25.

二点产的坐标为（-3,0）或（3,0）.

答案（-3,0）或（3,0）

8.（2017•苏、锡、常、镇四市调研）”（一&0）,~2（&0）为椭圆，+%=1（。＞。＞0）

的两个焦点，P为椭圆上一点，且府「存2=。2,则此椭圆离心率的取值范围是

解析设尸(x,y),则师1・庠2=(—c—x,—y)-(c—x,—y)=x2—c2+y2=c2,①

/,2

将一方代入①式解得

9(2/—》2)/(3。2-〃2)。2

，

又幺£[0,a2],/.2c2^6r2^3c2,

aL3,2J

宏安揖正

a条L3，2_

二、解答题

9.设尸|,加分别是椭圆C：，+£=13>/?>0)的左、右焦点，M是C上一点

且MB与x轴垂直，直线MB与C的另一个交点为N.

⑴假设直线MN的斜率为本求C的离心率；

(2)假设直线MN在y轴上的截距为2,且MN=5FiN,求a,b.

解⑴根据c=后二中及题设知M(c，篇，2b2=3ac.

c\c1

将。2=/一/代入2b2=3ac,解得;;=5或;;=—2(舍去).故C的离心率为不

(2)由题意，知原点。为KF2的中点，MF2〃y轴，所以直线ME与y轴的交点

0(0,2)是线段MB的中点，故"=4,即廿=4a.①

由MN=5FiN,得OFi=2RN.

设N(xi，yi),由题意知yi<0,则

G/、—f3

2(-c-x,)=c,R=

I-2k2，-L

代入。的方程，得写+/=i.②

将①及c=后才代入②得/仁甸+今=L

解得〃=7,。2=4。=28,故a=7,/?—2寸

10.(2017•苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：J+p=l(a>/?>0)

的右准线方程为x=4,右顶点为A,上顶点为8,右焦点为凡斜率为2的直线

/经过点A,且点尸到直线/的距离为手.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)将直线/绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P,当B,F,P三点共线时,

试确定直线/的斜率.

解(1)由题意知，直线/的方程为y=2(x—a),即2x—2a=0,

所以右焦点尸到直线/的距离为

|2c—2a|2^5在]_

一5，所以。—C—1.

又椭圆。的右准线方程为x=4,

22

即5=4,所以c=f,

将此代入上式解得a=2,c=l,

所以"=3,

所以椭圆C的标准方程为0+?=L

⑵法一由⑴知3(0,小)，尸(1,0).

所以直线BF的标准方程为y=一小(x—1),

[y=-V3(x-i),

联立方程组，得H+'=]

r8

解得5逋味x==小0,(舍)•

〔产一5

法二由⑴知8(0,®尸(1,0),

所以直线BF的方程为y=一品x—D，由题意知A(2,0),显然直线I的斜率存在,

y=1S(x-1),

设直线/的方程为y=&(x-2),联立方程组得

[y=k(x—2),

2k+小

解得，

一小k

y=k+p

代入椭圆解得左=^^或k=-2»

屋等|<0得k>0或Z<—S，

又由题意知，y=

所以左=岁.

能力提升题组

（建议用时：25分钟）

11.（2016•苏州调研）椭圆C：、+*=1（。泌>0）的左焦点为F,假设厂关于直线小

x+y=O的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为

解析设尸（一60）关于直线小x+y=O的对称点A（〃z,〃），

•(—^/3)=-1,

m-vcv

则彳"哆〃=拿,

小r-L(m+-cs\=tno,

c231

~4/

代入椭圆方程可得”+审1,并把从二/一寸代入,

化简可得e4—8e2+4=0,解得e?=4±2/，又OVeVl,.、=小一1.

答案A/3-I

92

12.（2017・盐城中学模拟）直线/：尸依+2过椭圆a+5=1（。>8>0）的上顶点8

和左焦点尸，且被圆/+尸=4截得的弦长为L,假设L2竽，则椭圆离心率e

的取值范围是

解析依题意，知6=2,kc=2.

设圆心到直线/的距离为d,则L=2572半,

解得公?又因为4=房诵所以目5号

解得F2%

，於142、万

于是02=a=赤m=备，所以05导解得0<eW..

答案(o,明

13.椭圆，+尸=1的左、右焦点分别为.，2,点P为椭圆上一动点，假设/

F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是.

解析设椭圆上一点尸的坐标为(x,y),

则币=(》+4,y),@=(xf,y).

,.•NRPR为钝角，:.后&<0,

即f—3+y<0,①

代入①得x2—3+1—[<0,

解得反答,x(答¥).

答案(2乖2佝

3，3)

14.(2017•南京模拟)椭圆C：，+*=1(a>8>0)过点P(—l,-1),c为椭圆的

半焦距，旦，=啦。.过点P作两条互相垂直的直线/”/2与椭圆C分别交于另两

点M,N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)假设直线人的斜率为一1,求△PMN的面积；

⑶假设线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.

解⑴由条件得A+/=1,且d=2从，

4

所以。2=3廿，解得。2=1,a2=4.

22

所以椭圆c的方程为，Y+于3V=1.

[y=kx-\-k-1,

(2)设公的方程为y+l=k(x+l),联立彳，

\x^।jy4,

消去y得(1+3^)/+6%伏一l)x+3伏-1)2-4=0.

因为P为(一1，-1)，

“/-3F+6k+1+2左一

解将M―1+31-'1+31)

当左wo时，用一;代替女，

K

,I俾_6k_3一f一2k+31

得乂必+3'-F+3—\

将人=-1代入，得M(—2,0),MU).

因为P(T,-1),所以PM=啦，PN=2吸,

所以△PMN的面积为6=2.

(q+34=4,

(3)设M(»,y),N(X2,”)，贝,"+3«=4

两式相减得(xi+]2)(汨-X2)+3(yi+力)(6—”)=0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以yi+”=0,

从而可得(X1+*2)(为一及)=0.

假设Xl+x2=0,则N(一X”—yi).

因为PMLPN,所以丽・丽=0,得看+货=2.

又因为好+3行=4,所以解得汨=土1,

所以M(—1/)，N(l，-1)或M(l,-1),N(—l,l).

所以直线MN的方程为y=-x

假设xi—为=0,则N(xi，-yi),

因为PMLPN,所以丽•丽=0,得必=(尤1+1尸+1.

又因为％?+34=4,所以解得xi=-3或—L

经检验：即=—£满足条件，为=-1不满足条件.

综上，直线MN的方程为*+旷=0或*=一

第6讲双曲线

考试要求双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称

性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求.

知识梳理

1.双曲线的定义

⑴第一定义：平面内到两定点R，6的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定

点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线.

⑵双曲线的定义用代数式表示为|MFi—MF2|=2a,其中2。<尸噂=2。.

(3)当MQ—M「2=2。时，曲线仅表示靠近焦点22的双曲线的一支:当MFLMF?

=一2。时，曲线仅表示靠近焦点西的双曲线的一支；当时，轨迹为哒

R，尸2为端点的两条射线;当2。>尸|尸2时，动点的轨迹不存在.

(4)第二定义：平面内，到定点尸的距离与到定直线/的距离之比等于常数e(e>l)

的动点轨迹叫作双曲线

2.双曲线的标准方程及简单的几何性质

图形

层-庐一层一尸

标准方程

3>0,力>0)(。〉0,b>0)

范围仅12a|)，12a

焦点Fi(—c,0),F2(C,0)尸1(0,—C),22(0，。

几顶点AI(—a,0),Aa(a,O)A](0,一。)，4(0,a)

何对称性关于X轴、y轴轴对称,关于原点中心对称

性

实、虚轴长实轴44=2。，虚轴

质

e=?也等于双曲线上任意一点到一个焦点厂与到这个焦点对

离心率

应的准线的距离之比)

2

6Ta2

准线方程X=±-y=±-

C/C

ba

渐近线方程=±x

7y=±^axyb

3.(1)等轴双曲线：实轴和虚轴长度相等的双曲线叫作等轴双曲线，也叫等边双

曲线.

(2)等轴双曲线台离心率e=6台两条渐近线垂直(位置关系)0实轴长=虚轴长.

(3)双曲线的离心率e与第=4?二T)都是刻画双曲线开口的大小的量.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“或"义")

⑴平面内到点尸(0,4),凡(0,—4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲

线.()

⑵平面内到点B(0,4),%(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()

(3)方程宾一亍=1(加〃〉0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

22?2

(4)双曲线方程£一弓=4心0,〃〉0,2W0)的渐近线方程是£-5=0,即

11L1111L/1•/fLfl-

0.()

(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于啦.()

解析(1)因为MF2|=8=B尸2,表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当初>0,〃>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而加<0,〃<0时则表示焦点

在y轴上的双曲线.

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

92

2.(2016•全国I卷改编)方程=1表示双曲线，且该双曲线两焦点

m+n3m~n

间的距离为4,则〃的取值范围是.

?2

解析方程"?；+3〃；；_〃=1表示双曲线，二("及+〃>(3加2—〃)〉0,解得一

m2<n<3m2,由双曲线性质，知<?=(旭2+〃)+(3加2—〃)=4加2(其中,是半焦距)，

二焦距2c=2X2制|=4,解得|加|=1,：.~l<n<3.

答案(一1,3)

72

3.（2017•南京调研）双曲线:一方=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线的方程为2x—y=0,

则该双曲线的离心率为.

解析由题意得双曲线的一条渐近线方程为y=%=2x,所以（=2,则双曲线的

离心率为6=寸1+1=小.

答案小

22

4.（2017・南通调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线，一方=1（。＞0,。＞0）过点

P（L1）,其一条渐近线方程为丁=啦》，则该双曲线的方程为.

解析由于双曲线过点P（l,l）,则有点一"=1,又双曲线的渐近线方程为y=±t

〃11

X,则有£=6，与添一/=]

联立解得/=今反=1,故所求的双曲线的方程为2f—y2=L

答案

5.（选修1-1P41习题6改编）经过点4（3,-1）,且对称轴都在坐标轴上的等轴

双曲线方程为.

解析设双曲线的方程为：f—y2=〃4W0）,把点A（3,-1）代入，得2=8,故

所求方程为点一三=1.

OO

fV2

答^案——二=1

口木881

考点一双曲线的定义及其应用

?2

[例1]⑴（2017・盐城中学模拟）设双曲线，一5=13＞0,Q0）的左、右焦点

分别为B，B，离心率为e,过尸2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,假设

△RA8是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则a=.

2

（2）（206全国I卷）F是双曲线C：%-7O=1的右焦点，P是C左支上一点，

A（0,6y/6）,当4AP/周长最小时，该三角形的面积为.

解析（1）如以以下列图，因为AFi—4B=2a,BFi-BF2=2a,BF尸AF2+BF2,

所以AF2=2a,AFi=4a.

所以BFi=2由a,所以BF2=2巾a—2a.

因为FIF3=BFHBF3,

所以(2c)2=(26a)2+(2y/2a—2a)2,

所以/=5—2P.

(2)设左焦点为B,PF—PF尸2a=2,

：.PF=2+PFi,△APF的周长为AF+AP+PF=AF+AP+2+PR,尸周长

最小即为AP+PQ最小，当A,P,a在一条直线时最小，过的直线方程为

2

金+氤=1.与X2—*=1联立，解得尸点坐标为(-2,2&)，此时S=SZ\AR/

-SAFIPF=12A/6.

答案(1)5—2啦、(2)12班

规律方法”焦点三角形”中常用到的知识点及技巧

(1)常用知识点：在“焦点三角形"中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经

常使用.

(2)技巧：经常结合|PB—PF2|=2a,运用平方的方法，建设它与PFi、PB的联

系.

提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点

①距离之差的绝对值.②2“〈尸|尬.③焦点所在坐标轴的位置.

【训练1】⑴如果双曲线石=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点

P到它的左焦点的距离是.

⑵(2017•扬州模拟)点尸为双曲线长一看=1右支上一点，点尸1，6分别为双曲线

1O7

的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，假设SaPMFi=SaPMF2+8,则△MEiB

的面积为.

解析(1)由双曲线方程，得a=2,c=4.设为，&分别为双曲线的左、右焦点，

根据双曲线的定义PF]-PF2=±2a,

：.PFI=PF2±2CZ=8±4,二PQ=12或PF\=4.

(2)设内切圆的半径为R,。=4,b=3,c=5,

因为S/XPMFi=SAPMFz+8,

所以—PF2）R=8,

即aR=8,所以R=2,

所以SAMFIF2=1-2C-/?=10.

答案（1）4或12（2）10

考点二双曲线的标准方程及性质（多维探究）

命题角度一与双曲线有关的范围问题

【例2—1】（1）（2017,苏、锡、常、镇、宿迁五市调研）在平面直角坐标系xOy

?2

中，方程一―三—=1表示双曲线，则实数机的取值范围为_______.

4一〃？2十机

（2）（2015•全国I卷改编）M（xo,州）是双曲线C：y-^=l上的一点，F\,尸2是C

的两个焦点，假设施'i•砥＜0,则和的取值范围是.

解析（1）由题意可得（4一加）（2+加）＞0,

解得—2＜加＜4.

（2）因为尸（1一由,0）,F2（V3,0）,y-yS=l,

所以A7Fi・M&=（一小一xo,-yo）•（小—xo,—yo）=焉3VO,SP3yo—1＜0,

解得一坐＜加＜孝

答案（1）（-2,4）（2）（一坐书

命题角度二与双曲线的离心率、渐近线相关的问题

/v2

【例2—2】⑴（2016•全国II卷改编）B，B是双曲线E：）一京=1的左、右焦

点，点M在E上，与x轴垂直，sin/M/wg，则E的离心率为.

?2

（2）（2017・盐城模拟）以双曲线也一方=1（。＞0,＞＞0）的右焦点/为圆心，。为半径的

圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为.

解析（1）设为（一60）,将x=-c代入双曲线方程，

得&一舌=1，所以、

821

所以y=±].因为sinNMERuj所以

b2

,rMFxa玖__d_.__^_a__e__l__啦济,_^2_

tanZMF2Fee1

'~F\F2~2c~2ac~lac—Za-Zc—'—Ze—4，所以2

=0,

所以e=y[2.

h

(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y=)的距离为m则8=a,该双曲线的离心

率为6=：=41+俳=也

答案⑴&⑵也

规律方法与双曲线有关的范围问题的解题思路

(1)假设条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.

(2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关

系来解决.

【训练2】(1)(2017•苏北四市调研)设双曲线C的中心为点O,假设有且只有一

对相交于点O，所成的角为60。的直线48和4阴，使4山1=42&，其中A”

用和A2,&分别是这对直线与双曲线。的交点，则该双曲线的离心率的取值范

围是.

(2)(2017.南京模拟)双曲线/一(=1的左顶点为4,右焦点为尸2,P为双曲线右

支上一点，则南r苏12的最小值为.

解析