江苏省南京市田家炳中学2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

江苏省南京市田家炳中学2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.定义运算,则函数的图象是().A. B.C. D.2.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)3.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③4.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.5.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.6.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是7.是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在中,,则=()A. B.C. D.9.已知集合,集合,则().A. B.C. D.10.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()A.2 B. C. D.111.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.12.已知双曲线的一个焦点为,点是的一条渐近线上关于原点对称的两点,以为直径的圆过且交的左支于两点,若,的面积为8,则的渐近线方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.14.已知复数,其中为虚数单位,则的模为_______________.15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a216.若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;(2)若,求的最大值.18.(12分)如图所示,三棱柱中,平面,点,分别在线段,上,且,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.20.(12分)4月23日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:小组甲乙丙丁人数12969(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,求这2人来自同一个小组的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,用表示抽得甲组学生的人数,求随机变量的分布列和数学期望.21.(12分)已知,函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)若,求的值.22.(10分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值,因此函数,只有选项中的图象符合要求,故选A.2、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.3、B【解析】

由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.4、B【解析】

由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选B.【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.5、D【解析】

根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.6、D【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.7、B【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以(逆否命题)必要性成立当,不充分故是必要不充分条件,答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件,属于简单题.8、B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.9、A【解析】

算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.10、B【解析】

,选B.11、C【解析】

如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12、B【解析】

由双曲线的对称性可得即,又,从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为,由双曲线的对称性,四边形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.【详解】,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.14、【解析】

利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解:由,得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.15、-2【解析】试题分析:∵a2考点:等比数列性质及求和公式16、【解析】

因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于,采用参变分离的方法分离出,并将的部分构造成新函数,分析与最值之间的关系;(2)通过对的导函数分析,确定有唯一零点,则就是的极大值点也是最大值点,计算的值并利用进行化简,从而确定.【详解】(1)由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.(2)当时,.则,令,则,所以在上单调递减.由于,,所以存在满足,即.当时,,;当时,,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以,因为,所以,所以,所以.【点睛】(1)求函数中字母的范围时,常用的方法有两种:参变分离法、分类讨论法;(2)当导函数不易求零点时,需要将导函数中某些部分拿出作单独分析,以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间,再分析整个函数的单调性,最后确定出函数的最值.18、(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中点为,根据几何关系,求证四边形为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量和平面的法向量,即可求得线面角的正弦值.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,.如下图所示:因为,分别是线段和的中点,所以是梯形的中位线,所以.又,所以.因为,,所以四边形为平行四边形,所以.所以,.所以四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为,且平面,故可以为原点,的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,如下图所示:不妨设,则,所以,,,,.所以,,.设平面的法向量为,则所以可取.设直线与平面所成的角为,则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,以及用向量法求解线面角,属综合中档题.19、(1);(2)【解析】

(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,根据互化公式得,曲线的直角坐标方程为:当时,,当时,,则曲线与极轴所在直线围成的图形,是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,∴围成图形的面积.(2)由得,其直角坐标为,化直角坐标方程为,化直角坐标方程为,∴,∴.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.20、(1)(2)见解析,【解析】

(1)采用分层抽样的方法甲组抽取4人,乙组抽取3人,丙组抽取2人,丁组抽取3人,从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,基本事件总数为,这两人来自同一小组取法共有,由此可求出所求的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人,所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】(1)由题设易得,问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3(人),从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有(种),抽取的两名学生来自同一小组的取法共有(种),所以,抽取的两名学生来自同一个小组的概率为(2)由(1)知,在参加问卷调查的12名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人,所以,抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2,因为所以随机变量的分布列为:012所求的期望为【点睛】此题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识,考查运算能力,属于中档题.21、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可得出函数的单调递增区间;(2)由得出,并求出的值,利用两角差的正弦公式可求出的值.【详解】(1)当时,,由,得,因此,函数的单调递增区间为;(2),,,,,,.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,属中等题.22、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为

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