一维非稳态传递过程

第四讲一维非稳态传递过程求解传递问题的通用程序求解一个特定传递问题的通用程序包含五个基本步骤:1.提炼物理模型；2.建立

数学模型；3.求解数学模型；4.计算

过程参数；5.分析

解算结果。通用程序第一步：提炼物理模型

(1)

当你面对一个传递问题时,要做的第一件事就是从物理层面对问题进行仔细的分析：首先给出问题的完整物理描述，再列出问题所涉及的所有变化不大因而可以忽略的因素，由此提炼出决定性的关键因素，从而使问题的物理图像尽可能地简化。

通用程序第一步：提炼物理模型

(2)例如:过程是否稳态过程?局部复杂传递情况是否可以忽略，以便物理量场可以简化为更均匀的结构？流体物性在过程中的变化是否可以忽略，以便可以采用常物性假设和不可压缩流体近似？传递过程是否具有某种几何对称性，例如轴对称或中心对称？通用程序第二步：建立数学模型

(1)按照以下步骤建立数学模型：1）遵循以下两点选择一个合适的坐标系：

(1)利用传递过程的对称性以便降低

物理量场的几何维度；

(2)用最简单的方式表达物理量场的

边界条件。通用程序第二步：建立数学模型

(2)2)化简变化方程组

按照物理模型，把对应于每一项物理简化的数学表述逐一列出。然后把变化方程组中等于零的项统统略去，从而得到该特定传递问题的控制方程组。此控制方程组与相应的边界条件和初始条件一起构成了该传递问题的数学模型。通用程序第三步：求解数学模型传递问题的数学模型一般是一组微分/积分方程，用解析法求解这些方程通常需要应用特别的数学方法。我们将在随后的课程内容中讨论其中的一些典型方法。求解传递问题的关键步骤是获得速度场、温度场和浓度场的分布函数。通用程序第四步：计算过程参数获得速度场、温度场和浓度场的分布函数后，就可在此基础上计算过程参数和导出过程参数之间的函数关系。诸如流量、阻力、扭矩、升力、最大速度、压力分布、传热通量、传质通量等等。一般只需在相应分布函数的基础上进行积分或微分运算即可。通用程序第五步：分析解算结果获得上述结果后，还应该仔细检查以下几点：1）结果是否合理，包括定性的合理和

定量的合理；2）结果在什么时空区间里有效；3）结果带有哪些限制条件。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(1)问题的描述:一块平板被浸没在大空间里的液体中，平板和液体在初始时刻都处于静止状态。平板突然在沿其表面的方向上以恒定速度滑动。希望知道靠近平板表面的流体怎样流动。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(2)1.

物理模型:

当平板突然滑动时，由于液-固界面处的粘附边界条件，紧靠壁面处的流体首先受到影响，然后动量将传递给距壁面更远的流体，从而使流动区域的厚度将随时间增大。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(3)1.物理模型（续）：如果在所考虑的时间区间内流动区域的厚度远小于平板的长度和宽度，而我们感兴趣的又仅仅是靠近平板中心区域的流动，我们不妨认为平板具有无穷大的长度和宽度。如果受影响的流体区域并没有到达平板对面的外边界，我们不妨认为外边界距离平板无限远。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(4)1.物理模型（续）：

于是，我们获得了此问题的一个简化的物理图像：1)在一个充满流体的半无穷空间中，边界面突然以恒定的速度滑动；2)流动处于层流状态；3)流动在平行于边界面的方向上一致不变；4)具有恒定

和

的牛顿流体。1)使数学模型无因次化问题1的答案1-1扩散系数的非稳态法测定(13)当平板突然滑动时，由于液-固界面处的粘附边界条件，紧靠壁面处的流体首先受到影响，然后动量将传递给距壁面更远的流体，从而使流动区域的厚度将随时间增大。在时刻t=0时，单位平板表面的阻力s的值趋于无穷大。分析解算结果。2)流动处于层流状态；在一个半无穷空间中，边界温度按时间的余弦函数变化；然后把变化方程组中等于零的项统统略去，从而得到该特定传递问题的控制方程组。气相可视为理想气体混合物；按照物理模型，把对应于每一项物理简化的数学表述逐一列出。组分A在气-液界面上的分压始终等于在该温度下的饱和分压；流体物性在过程中的变化是否可以忽略，以便可以采用常物性假设和不可压缩流体近似？1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(2)求解传递问题的关键步骤是获得速度场、温度场和浓度场的分布函数。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(5)2.

数学模型:选择右图所示的直角坐标系，因为该坐标系(1)利用了流动在x方向和z方向的对称性，使流场简化为一维流动。(2)使边界条件简化为“y

=0

处，……”。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(6)2.

数学模型:2)物理简化的数学描述：(1)根据物理模型(3)，(2)根据物理模型(2)和(4)，运动方程可采用纳维-斯托克斯方程(B.5-1,2,3)并将压强和重力项合并用修正压强表达。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(7)2.

数学模型（续）:(3)化简纳维-斯托克斯方程x–

分量化简为(a.1)

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(8)2.

数学模型（续）:y–分量(a.2)(a.3)化简为化简为z–分量

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(9)从式(a.2)

和式

(a.3),

(a.4)将式(a.1)对x求导，得2.

数学模型（续）:化简为

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(10)对式(a.4)积分，得于是式(a.1)化简为(4.1-1)2.

数学模型（续）:式(4.1-1)即为此问题的控制方程

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(11)相应的初始条件和边界条件可表达为(4.1-2)(4.1-3)(4.1-4)式(4.1-1,2,3,4)一起构成了此问题的数学模型。2.

数学模型（续）:1-11,12)]确定上式中的积分常数，得到特解(1)利用了浓度和速度在x方向和y方向的对称性，使问题简化为一维问题。由于B不溶于液态A，有NBz0=0，式(20.但当地层在周期性的温度边界条件下经历足够长时间后，初始条件的影响将越来越弱直至消失殆尽。传递问题的数学模型一般是一组微分/积分方程，用解析法求解这些方程通常需要应用特别的数学方法。1-1)可以被重新表示为无因次形式：其物理意义为无因次摩尔平均速度。通用程序第一步：提炼物理模型(1)问题2的答案因此，我们的解——式(4.摩尔平均速度与摩尔通量的关系为建立数学模型；1-1扩散系数的非稳态法测定(13)1-15)表明：当t>0时，在任何有限的y值处的流体速度vx值都不等于零。导致这一结果的原因是什么？

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(12)1)使数学模型无因次化(a.5)令v0、T和L分别代表系统的特征速度、特征时间和特征长度，式(4.1-1)可以被重新表示为无因次形式：于是对所有动力学相似的系统，必然存在下列形式的相似解(a.6)2.

求解数学模型:§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(13)在此问题中，并不存在代表性的特征时间和特征长度，因此

T和

L的选择是随意性的。于是对于给定的流体，以下两种得到

vx(y,t)/

v0的方法是等价的。(1)在函数f(y*,

t*;

T/L2)中，保持相似准数

T/L2

不变而改变无因次坐标

y*和

t*2)组合变量

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(14)于是，我们不妨令

y*=1和

t*=1因而(a.7)(2)在f(y*,

t*;

T/L2)中，保持无因次坐标

y*和

t*不变而改变特征时间

T和特征长度

L：§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(15)3)

把控制方程变换为常微分方程式(a.7)可以重写为(a.8)根据式(a.7)，无因次速度

v*的值仅依赖于组合变量

t/y2的值。令(a.9)§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(16)然后我们可以把式(4.1-1)中的各个导数用新变量表示为

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(17)选择适当的n和k值可以使这个方程的结构更为简单。把这些表达式代入式(4.1-1)

，我们有(a.10)

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(18)令

n=-1/2和

k=4，(4.1-9)(4.1-10)(4.1-11)(4.1-6)式

(a.10)

的结构变得非常简单

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(19)4)常微分控制方程的解根据

B.C.1*,

式(4.1-9)的通解是

根据

B.C.2*,

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(20)于是式(4.1-9)

的特解为(4.1-14)式中的积分函数erf(x)称为误差函数（参见附录

）。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(21)变换回原始变量，我们得到以下速度分布式：(4.1-15)式中的函数cerf(x)称为余误差函数（参见附录

）。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(22)4.

计算过程参数

以单位平板面积上的流动阻力为例。根据式(4.1-15)，我们有即，流动阻力随时间减小。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(23)5.

分析解算结果1）问题

1

在时刻t

=

0

时，单位平板表面的阻力

s的值趋于无穷大。

在实际情况下这是不可能发生的现象。

导致这一结果的原因是什么？

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(24)

问题1的答案

在我们的物理模型中，假定平板的速度在

t

=

0

时刻突然从0改变到v0，这意味着平板的加速度是无穷大，这显然是不真实的。在实际情况中，平板以一个有限的速率逐渐加速，其加速度的大小取决于传递给它的动量通量。

因此，以上所得到的壁面阻力表达式在接近

t=0区间是无效的。

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(25)1）问题

2

余误差函数cerf(x)的值从cerf(0)=1到cerf(

)=0连续变化。因此，我们的解——式(4.1-15)

表明：当

t>0时，在任何有限的y值处的流体速度vx值都不等于零。这与实际情况相矛盾。导致这一结果的原因是什么？

§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(26)在我们的物理模型中运用了牛顿粘性定律，而在牛顿粘性定律中我们只考虑了动量传递的量是速度梯度的函数，但并没有考虑动量从一个空间位置传递到另一个空间位置还需要时间。

问题2

的答案§4.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(27)

为了缓解这一矛盾，广泛接受的约定是定义流体速度下降到壁面速度的1%，即vx=v0处，的距离为流动区域的边界，记为(t)，称作动量渗透深度或流动边界层厚度。

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(1)问题的描述:在沙漠里，炽热的阳光可使正午时地面温度达到60℃。许多沙漠小动物为了生存而采取了钻到地下去躲避白天的高温。如果地表温度的变化可近似表达为余弦函数，式中T0=60℃，T

=35℃，

=2/24h-1。而沙层的

=1515kg/m3，k=0.389W/m

k，Cp=800J/kg

K，试问需要深入地下多少距离才能使最高环境温度不高于36℃。

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(2)物理模型:此问题是一个非稳态传热问题。假定地层最初是处于T的均匀温度状态，在受到周期性的地表温度影响后，地层温度将经历一个从均匀态到周期性波动的过渡过程。但当地层在周期性的温度边界条件下经历足够长时间后，初始条件的影响将越来越弱直至消失殆尽。温度场将趋近一种与边界温度同步波动的周期性稳定状态，即温度场波动的频率处处相同，但振幅与相位随深度发生变化，称之为强迫振荡状态。

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(3)物理模型（续）：此问题的简化物理图像：在一个半无穷空间中，边界温度按时间的余弦函数变化；各向同性介质，物性为常数；介质处于静止状态；温度在平行于边界面的方向上一致不变；边界温度周期性变化的时间足够长，介质初始温度的影响可以忽略，介质温度处于强迫振荡状态。

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(4)2.数学模型:选择右图所示的直角坐标系，因为该坐标系(1)利用了传热在x方向和z方向的对称性，使温度场简化为仅沿y方向变化。(2)使边界条件简化为“y

=0

处，……”。

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(5)2.数学模型（续）:2)物理简化的数学描述：(1)根据物理模型(4)，(2)根据物理模型(2)，能量方程可采用附录B中的（B.9-1)。(3)根据物理模型(3)，

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(6)2.数学模型（续）:3)化简能量方程：简化为

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(7)2.数学模型（续）:

记，称为介质的导温系数，此问题的数学模型可表达为(12.1-33)

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(8)3.

数学模型的解根据在物理模型中的讨论，我们可以舍弃初始条件而假定解具有三角函数的形式：式中T

o(y)是一个复函数。将其代入式(12.1-33)

，我们有(A)5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(2)1-1扩散系数的非稳态法测定(10)由于B不溶于液态A，有NBz0=0，式(20.1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(2)在温度分布式的基础上可以计算其它过程参数。局部复杂传递情况是否可以忽略，以便物理量场可以简化为更均匀的结构？1-1扩散系数的非稳态法测定(10)10)的结构变得非常简单选择右图所示的直角坐标系，因为该坐标系在一个半无穷空间中，边界温度按时间的余弦函数变化；1-15)表明：当t>0时，在任何有限的y值处的流体速度vx值都不等于零。这与实际情况相矛盾。1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(22)(2)根据物理模型(2)和(4)，运动方程可采用纳维-斯托克斯方程(B.变换回原始变量，我们得到以下速度分布式：

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(9)

因为上式必须对任意

值都成立，所以必然有相应的边界条件如下：5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(4)1-1突然滑动的壁面附近的流动

组合变量法(1)于是，我们获得了此问题的一个简化的物理图像：1-1扩散系数的非稳态法测定(1)5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(7)(3)化简纳维-斯托克斯方程1-16)的基础上可以计算液体的蒸发速率：选择适当的n和k值可以使这个方程的结构更为简单。在沙漠里，炽热的阳光可使正午时地面温度达到60℃。建立数学模型；2)流动处于层流状态；(5)根据物理模型(7)，(2)在f(y*,t*;T/L2)中，保持无因次坐标y*和t*不变而改变特征时间T和特征长度L：1-15)表明：当t>0时，在任何有限的y值处的流体速度vx值都不等于零。1-1扩散系数的非稳态法测定(13)

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(10)其通解为根据,根据B.C.1,

于是得到

§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(11)代入到式(A)中，得到上述解表明温度波动的振幅随距地面距离呈指数规律减小，并存在一个正比于该距离的相位移：§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(12)在温度分布式的基础上可以计算其它过程参数。例如，本题所要求的温度不超过36℃的地下深度。因为4.计算过程参数所以温度不超过36℃即§12C.5太阳热量的渗透深度

渐近解方法(13)将已知条件代入，得于是，小动物只需潜入地下30cm即可躲避酷热，安全度过白天。§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(1)问题的描述:在一个测定气相扩散系数的实验中，一根细长管子的底部盛有挥发性液体A，液体的液位保持恒定，液面上用一隔板将液体封闭。隔板上部的空间中充满不溶于液体A的气体B。待系统稳定后，突然将隔板移走，让A的蒸汽穿过B向上扩散。实验在低压下进行且尽量保持系统的温度和压力稳定。试导出需要测量的实验参数和计算扩散系数DAB的公式。§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(2)1.

物理模型:组分A在气-液界面上的分压始终等于在该温度下的饱和分压；气相可视为理想气体混合物；气相的温度和压力处处相同；在管子的横截面上浓度和速度均匀；组分A尚未达到管子的另一端；扩散系数可视为常数；无化学反应。§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(3)2.

数学模型:1）选择右图所示的直角坐标系，因为该坐标系(1)利用了浓度和速度在x

方向和y

方向的对称性，使问题简化为一维问题。(2)使边界条件简化为“z=0

处，……”。§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(4)2.

数学模型:2)物理简化的数学描述：(1)根据物理模型(4)，(2)根据物理模型(2)和(3)，§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(5)2.

数学模型（续）:(3)根据物理模型(1)和(2)，(4)根据物理模型(5)，(5)根据物理模型(7)，§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(6)2.

数学模型（续）:3)化简混合物连续性方程和组分连续性方程(1)用摩尔表达的混合物连续性方程见教材式(19.1-12)

，简化为(20.1-1)§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(7)2.

数学模型（续）:积分式(20.1-1)

，得摩尔平均速度与摩尔通量的关系为(20.1-2)结合上两式，有(20.1-3)§20.1-1扩散系数的非稳态法测定(8)2.

数学模型（续）:由于