高等数学第一节对弧长的曲线积分VIP

高等数学第一节对弧长的曲线积分第一节对弧长的曲线积分对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便,但是,有些实际问题与理论问题,这两种积分还解决不了,于是,又引进了曲线积分与曲面积分,它们与前者的基本思想是一致的.本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分,重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green(格林)公式与Gauss(高斯)公式.一、对弧长的曲线积分的定义

二、对弧长的曲线积分的性质三、对弧长的曲线积分的计算四、对弧长的曲线积分的应用线密度为连续函数z=f(x,y),利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量.一、对弧长的曲线积分的定义

定义1如果连续曲线y=f(x)上到处都有切线,当切点连续变动时,切线也连续转动,就称此曲线为光滑曲线.设有一曲线形构件,它在xOy平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-1.图9-1在L上取点M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在上任意取一点(

i,

i),弧段的长度为

si,记Mi-1MiMi-1Mi

=max{

s1,

s2,

,

sn}则该构件的质量为图9-1

定义2设L为xOy平面内的一条光滑曲线,z=f(x,y)为L上的连续函数,用分点M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在存在,则将此极限值称为函数f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为

其中,f(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段.上任意取一点(

i,

i),

si表示的长度,Mi-1MiMi-1Mi记

=max{

s1,

s2,

,

sn},如果

定理1当f(x,y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分存在.二、对弧长的曲线积分的性质

由对弧长的曲线积分的定义可知,定积分的所有性质都可以移植过来.性质1设k为常数,则设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在.性质2

性质3将L分成L1与L2,则其中L0表示L的长度性质4性质5f(x,y)

g(x,y),则

性质6在L上若设m

f(x)

M,则其中L0表示L的长度性质7当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,必有L上某点(

,

),使得三、对弧长的曲线积分的计算

定理2设f(x,y)在曲线L上连续,L的参数方程为(

t

)其中

(t),

(t)在[

,

]上具有一阶连续导数,且

2(t)+

2(t)

0,则有公式(1)成立.(1)设下面的函数和曲线都满足定理2的条件,则还有如下公式.积分上限要大于下限.

设L:y=y(x)(a

x

b),则有设L:r=r(

)(

),则有设L:x=x(y)(c

y

d),则有设L:x=

(t),y=

(t),z=

(t)(

t

),则有

定理3设f(x,y)和L满足定理2的条件,若f(x,y)=f(x,

y),L关于轴对称,L1表示L的位于x轴上方的部分,则有若f(x,y)=

f(x,

y),则例1L是整条星形线解设L1:x=cos3t,y=sin3t,(0

t

/2),由定理3可知,于是例2求L为圆x2+y2=ax(a>0).解把L写成极坐标形式r=acos

,-

/2

/2利用公式(4),有例3求

为螺旋线:x=acost,y=asint,z=bt,0

t

2

.解利用公式(5),有

为圆周:解直接利用(5)完成,计算量很大,注意到于是例4求原式设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧(或分段光滑曲线弧)L,在点(x,y)处的线密度为连续函数f(x,y),利用微元分析法不难推得下面各计算公式.四、对弧长的曲线积分的应用质量设重心为则转动惯量如果曲线L是空间曲线,也可以得出类似的公式.式中Ix,Iy,Io分别表示质量弧L对于x轴、y轴、原点的转动惯量.下面给出第一型曲线积分的几何意义.当f(x,y)

0时,如果f(x,y)在平面曲线L上连续,L光滑或分段光滑,见图9-2曲线积分表示柱面的面积A,即图9-2例5设有柱面被平面z=y所截,求所截得有限部分的柱面面积.解所求柱面面积为式中L为半椭圆其参数方程为于是作业P841、2、3、5每年进入夏季，由于气温高、湿度大，对幼儿的照顾要特别注意，以下是出国留学网为您搜集整理的育儿健康小常识1.不是所有宝宝都需额外补充维生素很多家长会问，孩子多大需要开始补充维生素?小婴儿是否需要补充维生素?刘主任表示，孩子多大补充维生素没有明确的界定，如果宝宝是吃母乳或奶粉，一般营养物质都足够、全面，不需要额外补充维生素，如果出现了某些症状，如缺乏维生素B或维生素C等，再有针对性的补充会更好。维生素D可以促进钙的吸收，小婴儿也应该补充，特别是纯母乳喂养的宝宝，如果没有补充维生素D，常带宝宝晒太阳，也可以转化为维生素D，从而促进钙的吸收。给宝宝晒太阳，一般每天半小时到1小时，注意不要遮挡着晒太阳，如果是戴太阳帽、打伞或擦防晒霜等，起不到晒太阳的效果。2.不能用维生素补充剂代替蔬菜水果有的家长认为，都是补充维生素，用维生素补充剂方便多了，因此就用维生素补充剂代替水果和蔬菜。刘主任表示，只要条件允许，应尽量从食物中摄取维生素，如果是因为某些特殊情况导致不能全面有效获得维生素，则可以考虑食用维生素补充剂。而且维生素补充剂是不能代替蔬菜和水果的。因为蔬菜、水果中的各种维生素是按一定比例存在的天然成份，是多种维生素的集合体;而维生素制剂多数是人工合成的，两者在性质上会有所差别。蔬菜、水果除了含有维生素外，还含有一些虽然对人体的作用与维生素类似的天然物质，如叶绿素、胡萝卜素等。此外蔬菜中含有矿物质、微量元素、碳水化合物、纤维素等非维生素类营养成份。3.维生素补充剂含有的维生素种类不是越多越好有的家长容易陷入一个误区，认为既然要补，那就补得全面一点，总给宝宝吃综合性维生素。刘主任表示，维生素补充剂并不是所含种类越多越好。刘主任建议，对于挑食特别厉害的宝宝，吃东西的品种少，可以选择补充综合性维生素剂;如果是缺乏某些维生素，建议有针对性地补充更合适;如果只是缺乏某一种维生素，没必要补充综合维生素制剂，因为有的维生素会产生蓄积中毒的情况。4.维生素应从正规渠道购买如果是身体缺乏维生素的话，还是要在医生的指导下服用维生素药品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.维生素补多久补多少最好由医生判断给宝宝补充维生素一定要注意用量，特别是维生素缺乏者，最好由医生判