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文档简介
河北深州市长江中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则()A. B. C. D.2.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.43.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在中,,,,则边上的高为()A. B.2 C. D.5.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}6.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.7.已知双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.410.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知实数满足约束条件,则的最小值为()A.-5 B.2 C.7 D.1112.已知集合,则=()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.对于任意的正数,不等式恒成立,则的最大值为_____.14.在中,内角所对的边分别是.若,,则__,面积的最大值为___.15.如图,已知圆内接四边形ABCD,其中,,,,则__________.16.若变量,满足约束条件,则的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前18.(12分)己知,,.(1)求证:;(2)若,求证:.19.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.20.(12分)记为数列的前项和,N.(1)求;(2)令,证明数列是等比数列,并求其前项和.21.(12分)已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.(1)求实数的值及函数的单调区间;(2)设函数,证明时,.22.(10分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:日期1234567全国累计报告确诊病例数量(万人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据:,,,.参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的除法运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:由,得,∴.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.2、A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题3、C【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.4、C【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,求得边长,由此求得边上的高.【详解】过作,交的延长线于.由于,所以为钝角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即边上的高为.故选:C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,属于中档题.5、C【解析】
根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.6、C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.7、D【解析】双曲线的渐近线方程是,所以,即,,即,,故选D.8、B【解析】
考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.9、C【解析】
根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.10、C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.11、A【解析】
根据约束条件画出可行域,再将目标函数化成斜截式,找到截距的最小值.【详解】由约束条件,画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线,为在轴的截距,最小的时候为过点的时候,解得所以,此时故选A项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数,属于常规题型,是简单题.12、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的补集,然后求【详解】,所以.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据均为正数,等价于恒成立,令,转化为恒成立,利用基本不等式求解最值.【详解】由题均为正数,不等式恒成立,等价于恒成立,令则,当且仅当即时取得等号,故的最大值为.故答案为:【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围,关键在于合理进行等价变形,此题可以构造二次函数求解,也可利用基本不等式求解.14、1【解析】
由正弦定理,结合,,可求出;由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为,所以由正弦定理可得,所以;所以,当,即时,三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题,熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解,属于基础题型.15、【解析】
由题意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得,.连接BD,在中,有.在中,.所以,则,所以.连接AC,同理可得,所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查余弦定理解三角形,同角三角函数基本关系,意在考查方程思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质,对角互补.16、【解析】
根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)an=2n【解析】
(1)先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,即可得出结果.(2)利用裂项相消法求出数列的和.【详解】解:(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn则:1S则:Tn=1【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)采用分析法论证,要证,分式化整式为,再利用立方和公式转化为,再作差提取公因式论证.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性质论证.【详解】(1)要证,即证,即证,即证,即证,即证,该式显然成立,当且仅当时等号成立,故.(2)由基本不等式得,,当且仅当时等号成立.将上面四式相加,可得,即.【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题..19、(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】
(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所以数列是等差数列,又,∴,,公差,所以.(II).【点睛】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道容易题.20、(1);(2)证明见详解,【解析】
(1)根据,可得,然后作差,可得结果.(2)根据(1)的结论,用取代,得到新的式子,然后作差,可得结果,最后根据等比数列的前项和公式,可得结果.【详解】(1)由①,则②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③则④④-③可得:则,且令,则,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以【点睛】本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用,考验观察能力以及分析能力,属中档题.21、(1);函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)详见解析.【解析】
试题分析:(1)由题得,根据曲线在点处的切线方程,列出方程组,求得的值,得到的解析式,即可求解函数的单调区间;(2)由(1)得根据由,整理得,设,转化为函数的最值,即可作出证明.试题解析:(1)由题得,函数的定义域为,,因为曲线在点处的切线方程为,所以解得.令,得,当时,,在区间内单调递减;当时,,在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)得,.由,得,即.要证,需证,即证,设,则要证,等价于证:.令,则,∴在区间内单调递增,,即,故.22、(1)可以用线性回归模型拟合与的关系;(2),预测2月10日全国累计报告
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