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文档简介

甘肃省天水市第二中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关2.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A. B.C. D.3.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.4.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.5.要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位6.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()A. B. C. D.7.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.8.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了,达到,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息,正确的统计结论是()A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B.10年来全球新增装机容量连年攀升C.10年来中国新增装机容量平均超过D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过9.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()A.9 B.10 C.18 D.2010.设,则““是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必条件11.已知复数z,则复数z的虚部为()A. B. C.i D.i12.若集合,,则=()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知平行于轴的直线与双曲线:的两条渐近线分别交于,两点,为坐标原点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为______.14.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),则⋅_____,△ABC的面积为_____.15.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.16.如图,直线是曲线在处的切线,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,三棱柱中,平面,点,分别在线段,上,且,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.19.(12分)已知函数,记不等式的解集为.(1)求;(2)设,证明:.20.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.21.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522.(10分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解析】

由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.【详解】根据题意,,所以点的坐标为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题.3、C【解析】

先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.4、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.5、D【解析】

直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【详解】解:函数,要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位.故选:D.【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题.6、A【解析】

结合所给数字特征,我们可将每层数字表示成2的指数的形式,观察可知,每层指数的和成等比数列分布,结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前10层的指数之和为,所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选:A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题,逻辑推理,等比数列前项和公式应用,属于中档题7、A【解析】试题分析:由题意,得,解得,故选A.考点:函数的定义域.8、D【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量,再结合数据研究单调性、平均值以及占比,即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增,A错误;全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势,B错误;经计算,10年来中国新增装机容量平均每年为,选项C错误;截止到2015年中国累计装机容量,全球累计装机容量,占比为,选项D正确.故选:D【点睛】本题考查条形图,考查基本分析求解能力,属基础题.9、B【解析】

由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)=f(2﹣x),得函数f(x)图象关于x=1对称,∵f(x)为偶函数,取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函数周期为2.又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,∴当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.10、B【解析】

解出两个不等式的解集,根据充分条件和必要条件的定义,即可得到本题答案.【详解】由,得,又由,得,因为集合,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.11、B【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】,则复数z的虚部为.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

根据为等边三角形建立的关系式,从而可求离心率.【详解】据题设分析知,,所以,得,所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解,根据条件建立之间的关系式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.14、【解析】

①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解;②结合①求出,根据面积公式即可得解.【详解】①2(sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°),②,,∴,∴.故答案为:.【点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用,涉及平面向量数量积的坐标表示,三角恒等变换,根据三角形面积公式求解三角形面积,综合性强.15、8(写为也得分)【解析】

由,得,.当时,,所以,所以的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列;其偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列.则,.16、.【解析】

求出切线的斜率,即可求出结论.【详解】由图可知直线过点,可求出直线的斜率,由导数的几何意义可知,.故答案为:.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中点为,根据几何关系,求证四边形为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量和平面的法向量,即可求得线面角的正弦值.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,.如下图所示:因为,分别是线段和的中点,所以是梯形的中位线,所以.又,所以.因为,,所以四边形为平行四边形,所以.所以,.所以四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为,且平面,故可以为原点,的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,如下图所示:不妨设,则,所以,,,,.所以,,.设平面的法向量为,则所以可取.设直线与平面所成的角为,则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,以及用向量法求解线面角,属综合中档题.18、(1);(2)见解析【解析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,解得(2)证明:(方法一)由(1)知,.设则只需证明,设则,在上单调递增,,使得且当时,,当时,当时,,单调递减当时,,单调递增,由,得,,设,,当时,,在单调递减,,因此(方法二)先证当时,,即证设,则,且,在单调递增,在单调递增,则当时,(也可直接分析显然成立)再证设,则,令,得且当时,,单调递减;当时,,单调递增.,即又,点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,借助中间量来完成.19、(1);(2)证明见解析【解析】

(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)将不等式坐标因式分解,结合(1)的结论证得不等式成立.【详解】(1)解:,由,解得,故.(2)证明:因为,所以,,所以,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,属于基础题.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.【详解】(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.∴曲线的方程为;(2)证明:设直线方程为,,则,设,由得,①,则,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【点睛】本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次方程,应用韦达定理得,,代入题中其他条件所求式子中化简变形.21、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii)

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