无穷小的比较-函数的连续性(一)VIP

§1-5无穷小的比较例如,极限不同,反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限都是无穷小.不存在比x要快得多；与x大致相同；1定义：记作：(1)如果就说是比较高阶的无穷小；(2)如果就说是比较低阶的无穷小；(3)如果就说与同阶的无穷小,(4)如果就说是关于的k阶无穷小.记作：设是同一过程中的两个无穷小，且特别地,若C=1时,就说与是等价的无穷小；2如又如例1证令则类似可证3例2求解令则当并且恒有所以例3求证证1.4例3求其中解令则取对数有于是1.则注意5证等价无穷小代换定理且存在（或无穷大）则也存在(或无穷大),且=若（等价无穷小代换定理）(或无穷大),6例4

求解例5求解0.7例6解解错

8例7解只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.切记:若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式则可对其中的的极限．原式9§1-6函数的连续性（一）一、连续函数的概念xy12o观察图形的连续性发现：在处无定义，在处无定义，导致不连续2-232xoyxyoy=xxoy1-1xyo110y=x.发现：对于有对于不存在,但从而导致不连续.xyoy=xxoy1-1xyo1即考察点0处的连续性导致不连续.而对于y=x来说,在0处有定义，存在,连续11y=x与相比，还满足：极限值等于函数值.不连续的原因：(1)函数在处无定义；(2)不存在；(3)于是：1.函数在点连续的定义：(1)函数在点的某邻域内有定义，如果(2)存在；(3)则函数在点连续.定义：12如函数

在x=2处连续.再如函数y=sinx在x=0处连续.因为因为解例1试讨论函数在的连续性.在处连续.在x=0处有定义，13解例2试讨论函数在的连续性.在处连续.故例3试讨论函数在的连续性.解左连续不存在，在处不连续.故右不连续142.左右连续定义若函数在内有定义，且则函数在处左连续.若函数在内有定义，且于是：定理：函数在处连续的充分必要条件是：则函数在处右连续.15例4

k为何值时解在处连续，此时时，当16函数的增量设函数在内有定义，对于就称为函数在处的增量；称为函数的增量；相应于即173.函数在处连续的等价性定义设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量时，相应的函数增量即则称函数在点连续，或称为连续点.简之，其中：则令有则回忆定义184.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,该区间叫函数的连续区间.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.如y=sinx的图形是连续曲线，故y=sinx在定义域内连续。19例5证：同理可证y=cosx在定义域内也是连续的.20二.连续函数的运算,初等函数的连续性定理1

证明设21注意:因为所以y=x在其定义域内连续.由以上知，幂函数、指数函数、三角函数在其定义域内连续.3.由此知,在其定义域内连续.2.由此知,y=tanx,y=cotx在其定义域内连续.1.和、差、积可推广到有限个.如：22定理2设函数在处连续，且而函数在点连续，则复合函数在点也是连续的.证明在点连续.（复合函数连续性定理）23定理3

若函数y=f(x)在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，而且它们的单调性相同.借助于该定理知,反三角函数,对数函数在其定义域内也是连续的.结论:基本初等函数在其定义域内是连续的.定理4:初等函数在其定义区间内是连续的.故初等函数的定义区间即为其连续区间.（反函数连续性定理）24注意：定义区间定义域2.“定义区间”与定义域不应混淆1.该定理很重要,应熟记.如：初等函数的定义域为是离散的，是不连续的.定理4:初等函数在其定义区间内是连续的.25小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.一定是无穷小因子的乘积.才可作无穷小的等价代换但并不是所有的无穷小都可进行比较.3.常用的无穷小等价代换因子：注意:一定是无穷小因子