2024-2025学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面学案含解析新人教A版必修2VIP

PAGE其次章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[目标]1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系；3．驾驭三个公理并会简洁应用．[重点]平面的画法、表示；用符号语言描述点与直线、直线与平面、点与平面的关系；三个公理及简洁应用．[难点]对平面的理解及三个公理的简洁应用．学问点一平面的概念[填一填]1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平；②无限延展；③没有厚薄．2．画法：(1)通常用平行四边形来表示平面．(2)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，且横边长是邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常把平行四边形的一组对边画成铅垂线．3．表示法：一般用希腊字母α，β，γ，…来表示，还可以用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．学问点二eq\o(\s\up7(点、直线、平面之间位置关系的),\s\do5(三种语言表示))[填一填][答一答]4．如图，点A∈平面ABC；点A∉平面BCD；BD⊂平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.学问点三平面的基本性质[填一填][答一答]5．假如线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？提示：直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的全部点都在平面α内，故线段AB上A，B两点肯定在平面α内，由公理1可知直线AB在平面α内．6．经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由公理2可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有多数个平面．7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．类型一平面的概念、画法及表示[例1](1)给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是肯定平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是__________________________________________．[分析]依据平面的特征及表示来推断．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以推断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有依据画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．[答案](1)1(2)④(1)平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用随意平面图形来表示．(2)在平面几何中，凡是所引的协助线都要画成虚线，但在立体几何中，能望见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线．[变式训练1]下列对平面的描述语句：①安静的太平洋面就是一个平面；②平面ABCD的面积为100cm2；③三角形、圆、平行四边形都可以表示平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是③④.解析：序号正误缘由分析①×太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的②×平面不能度量大小③√三角形、圆、平行四边形都是平面图形，可以用来表示平面④√平面是空间中点的集合，是无限集类型二eq\o(\s\up7(用符号语言表示点、直线、平面),\s\do5(之间的关系))[例2](1)用文字语言表述语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．[解](1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．(2)题图表示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l.1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2要留意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.[变式训练2]把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：③.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：④.(3)a⊄α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.类型三公理的应用命题视角1：共面问题[例3]过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．[分析]依据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内．[证明]如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴PA，PB，l共面．证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后依据有关定理，证明这两个平面重合．[变式训练3]如图，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a和b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l⊂α.又a∥c，∴a和c确定一个平面β.同理l⊂β.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．命题视角2：共线与共点问题[例4]如右图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．[分析]解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．[证明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．1证明三点共线的常用方法：,方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.依据公理3知，这些点都在交线上.,方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.2证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.[变式训练4]在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23，求证：EF，GH，BD交于一点．证明：如图，因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DFFC＝DHHA＝23，所以FH∥AC，从而FH∥GE，故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明白GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点.1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(D)解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空间随意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定4个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定7个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P