2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1-1VIP

PAGEPAGE13．3.3导数的实际应用1.了解导数应用的广泛性．2.理解利用导数解决优化问题的步骤．3.会用导数解决某些实际问题．[学生用书P63]1．优化问题生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路是1．电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为()A．30 B．35C．40 D．45解析：选C.y′＝x2－39x－40＝0，解得x＝40或－1(舍)，所以最佳速度为40.2．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．解析：设底面边长为x，则高为h＝eq\f(256,x2)，其表面积为S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，则x＝8，则高h＝eq\f(256,64)＝4(dm)．答案：4面积、体(容)积有关的最值[学生用书P63]如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？【解】设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，eq\f(y－25,2)cm，其中x＞20，y＞25.两栏面积之和为2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25.广告的面积S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18000,x－20)＋25))＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，S′(x)＝eq\f(18000[（x－20）－x],（x－20）2)＋25＝eq\f(－360000,（x－20）2)＋25.令S′(x)＞0得x＞140，令S′(x)＜0得20＜x＜140.所以函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，所以S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．eq\a\vs4\al()解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[留意](1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，肯定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要留意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路途是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽视不计)．新长城公司打算投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．解：以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4，2)．设抛物线方程为y2＝2px.因为点D在抛物线上，所以22＝8p，解得p＝eq\f(1,2).所以抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4)．设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.所以矩形游乐园的面积为S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得3y2＋4y－4＝0，解得y＝eq\f(2,3)或y＝－2(舍去)．当y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))时，S′＞0，函数S为增函数；当y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))时，S′＜0，函数S为减函数．所以当y＝eq\f(2,3)时，S有最大值，得|PQ|＝2＋y＝2＋eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，|PN|＝4－y2＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(32,9).所以游乐园最大面积为Smax＝eq\f(8,3)×eq\f(32,9)＝eq\f(256,27)(km2)，即游乐园的两邻边分别为eq\f(8,3)km，eq\f(32,9)km时面积最大，最大面积为eq\f(256,27)km2.用料(费用)最省问题[学生用书P64]某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【解】设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为eq\f(128×104,1000x)＝eq\f(1280,x)元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋eq\f(1280,x)＝800＋160lnx＋eq\f(1280,x)(x>0)，所以g′(x)＝eq\f(160（x－8）,x2)(x>0)，令g′(x)＝0，则x＝8，当0<x<8时，g′(x)<0，当x>8时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得微小值，且为最小值．故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节约时间等问题都须要利用导数求解相应函数的最小值．依据f′(x)＝0求出极值点(留意依据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点旁边满意左减右增，则此时唯一的微小值就是所求函数的最小值．eq\a\vs4\al()已知A，B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8＜v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意得y＝y1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)，所以y′＝eq\f(2000v（v－8）－1000v2,（v－8）2)＝eq\f(1000v2－16000v,（v－8）2).令y′＝0，得v＝16，所以当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；当v0＜16，即v∈(8，v0]时，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数，所以当v＝v0时，ymin＝eq\f(1000veq\o\al(2,0),v0－8)(元)．综上，当v0≥16时，即v＝16km/h时全程燃料费最省，为32000元；当v0＜16，即v＝v0时全程燃料费最省，为eq\f(1000veq\o\al(2,0),v0－8)元．利润最大(成本最低)问题[学生用书P65]某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)．求：(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；(2)年造船量为多少艘时，可使造船公司的年利润最大？【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N且x∈[1，20])．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x＋9)(x－12)(x∈N且x∈[1，20])，当1＜x＜12时，P′(x)＞0，P(x)单调递增；当12＜x＜20时，P′(x)＜0，P(x)单调递减；所以x＝12时，P(x)取最大值，即年造船量为12艘时，造船公司的年利润最大．eq\a\vs4\al()(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很简单建立函数关系，从而可以利用导数来分析、探讨、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产实力，进而提高产品的增加值．已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技改投入比率eq\f(x,60－x)∈(0，5]．(1)求技改投入x的取值范围；(2)当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？解：(1)由题意，eq\f(x,60－x)∈(0，5]，x＞0，所以0＜x≤50，所以技改投入x的取值范围是(0，50]．(2)设f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]，则f′(x)＝－3x(x－40)，0＜x＜40时，f′(x)＞0；40＜x≤50时，f′(x)＜0，所以x＝40时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值为32000万元．解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题动身，抽象概括，利用数学学问建立相应的数学模型，再利用数学学问对数学模型进行分析、探讨，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的推断，确定其答案．1．应用题主要考查阅读理解实力，通过审题获得有用的信息，再进行分析、抽象、转化，建立数学模型，进而解决问题．故审题不细致，题意理解不透彻是解答这类题目出错的主要缘由．2．应用题的运算求解错误也是常见的，尤其对实际问题中自变量的取值范围，函数表达式的实际意义考虑不全面，很易丢分．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时改变率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：选C.原油温度的瞬时改变率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时改变率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台 D．9千台解析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.3．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．解析：设长为xcm，则宽为(30－x)cm，所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.答案：1515[学生用书P115(单独成册)][A基础达标]1．一质点沿直线运动，假如由始点起经过t秒后的距离为s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度为0的时刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末解析：选D.由题意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对解析：选B.设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2且0≤x≤8，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0，所以当x＝4时，y取得微小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150 B．200C．250 D．300解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)．P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.4．三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O­ABC体积的最大值为()A．4 B．8C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：选C.V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x2（3－x）,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0<x<3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．所以x＝2时，V最大为eq\f(4,3).5．某工厂要建立一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，假如箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A．900元B．840元C．818元 D．816元解析：选D.设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，依据题意得箱底面积为eq\f(48,3)＝16(m2)，箱底另一边的长度为eq\f(16,x)m，则l＝16×15＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3x＋2×3×\f(16,x)))×12＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0<x<4时，l′<0；当x>4时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则其底面半径为eq\r(202－x2)cm，体积V＝eq\f(1,3)π(202－x2)x＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x＝eq\f(20,3)eq\r(3)或x＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．当0＜x＜eq\f(20,3)eq\r(3)时，V′＞0；当eq\f(20,3)eq\r(3)＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝eq\f(20,3)eq\r(3)时，V取得极大值，也是最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)7．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．解析：可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出容积最大时x的值为eq\f(5－\r(7),3).答案：eq\f(5－\r(7),3)8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝eq\f(500,\r(x)).总利润y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形态的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).所以当x＝20cm时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，假如产品的销售价格提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量削减的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，所以y关于x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍去)，当0<x<eq\f(1,2)时，y′>0；当eq\f(1,2)<x<1时，y′<0，所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝eq\f(1,2)处取得最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋eq\f(1,2))＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．[B实力提升]11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：选C.设直棱柱的底面边长为a，高为h.则eq\f(\r(3),4)a2·h＝V，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2).则表面积S(a)＝3ah＋eq\f(\r(3),2)a2＝eq\f(4\r(3)V,a)＋eq\f(\r(3),2)a2.S′(a)＝－eq\f(4\r(3)V,a2)＋eq\r(3)a.令S′(a)＝0，得a＝eq\r(3,4V).当0＜a＜eq\r(3,4V)时，S′(a)＜0；当a＞eq\r(3,4V)时，S′(a)＞0.所以当a＝eq\r(3,4V)时，S(a)最小．12．某银行打算新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行汲取的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243 D．0.0486解析：选B.依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9.4－\f(1,30)x2，0<x≤10，,\f(110,x)－\f(432,x2)，x>10.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解：(1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋3x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9.4－\f(1,30)x2))－10－3x＝6.4x－eq\f(x3,30)－10；当x>10时，W＝xR(x)－(10＋3x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,x)－\f(432,x2)))－10－3x＝100－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x))).所以W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6.4x－\f(x3,30)－10，0<x≤10，,100－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))，x>10.))(2)①当0<x≤10时，W′＝6.4－eq\f(x2,10)，由W′＝0，解得x＝8.故当x∈(0，8)时，W′>0，当x∈(8，10]时，W′<0.所以当x＝8时，W取得最大值，最大值为6.4×8－eq\f(83,30)－10≈24.②当x>10时，W＝100－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))eq\s\do7(min)＝24(此时x＝12)，故W＝100－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≤100－3×24＝28(当且仅当x＝12时取等号)．综合①②，知当