2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估一课时作业含解析新人教A版选修2-1

其次章单元质量评估(一)eq\o(\s\up7(时限：120分钟满分：150分),\s\do5())一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(D)A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±eq\r(69))解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．2．已知焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m＋9)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝(A)A．3B．3或－eq\f(9,4)C．－eq\f(9,4)D．6eq\r(3)－9解析：依据题意，eq\f(1,2)＝eq\f(\r(m),\r(m＋9))，解得m＝3.3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(A)A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)解析：由题意得|CA|＋|CB|＝10>|AB|，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且a＝5的椭圆．又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．4．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，点(3，－4)在渐近线上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋eq\f(16,9)a2＝eq\f(25,9)a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).5．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(A)A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D.eq\f(8,3)解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，故双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1①，又e＝eq\f(c,\r(m))＝eq\r(\f(m＋n,m))＝2②，联立方程①②，解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4).故mn＝eq\f(3,16).6．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，则椭圆的方程是(D)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝2eq\r(3)，∴b2＝42－(2eq\r(3))2＝4，∴椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.7．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)A．x2＝2y－1B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y－eq\f(1,2)D．x2＝2y－2解析：焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝eq\f(p,2)，y＝eq\f(q＋1,2)，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.8．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(D)A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，过点M作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝eq\r(3)a，所以M(2a，eq\r(3)a)．将点M的坐标代入双曲线方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq\r(2).9．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为(B)A．3x＋2y－12＝0 B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－144＝0 D．9x＋4y－144＝0解析：设满意题意的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x\o\al(2,1)＋9y\o\al(2,1)＝144，,4x\o\al(2,2)＋9y\o\al(2,2)＝144.))两式相减得4(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋9(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(2,3).由此可得所求的直线方程为y－2＝－eq\f(2,3)(x－3)，即2x＋3y－12＝0.10．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(D)A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1解析：因为椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，c2＝eq\f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(1,4)a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝eq\f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq\f(4,5)b2，x＝±eq\f(2,\r(5))b.所以y＝±eq\f(2,\r(5))b.则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))b，\f(2,\r(5))b))，所以四边形的面积为4×eq\f(2,\r(5))b×eq\f(2,\r(5))b＝eq\f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1，故选D.11．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，eq\o(FA,\s\up6(→))与x轴正向的夹角为60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝(B)A.eq\f(21,4)pB.eq\f(\r(21),2)pC.eq\f(\r(13),6)pD.eq\f(13,36)p解析：易知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).设A(x0，y0)，则eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)，y0)).x轴方向上的单位向量为i＝(1,0)，由夹角为60°，得cos60°＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·i,|\o(FA,\s\up6(→))||i|)＝eq\f(x0－\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0)))，将yeq\o\al(2,0)＝2px0代入上式并化简，得eq\f(x0－\f(p,2),x0＋\f(p,2))＝eq\f(1,2)，解得x0＝eq\f(3p,2)，yeq\o\al(2,0)＝3p2.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9p2,4)＋3p2＝eq\f(21p2,4)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21)p,2).12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(B)A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)D.eq\r(10)解析：设AB所在直线方程为x＝my＋t.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋t，,y2＝x，))消去x，得y2－my－t＝0.设A(yeq\o\al(2,1)，y1)，B(yeq\o\al(2,2)，y2)(不妨令y1>0，y2<0)，故y1＋y2＝m，y1y2＝－t.而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋y1y2＝2.解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．所以－t＝－2，即t＝2.所以直线AB过定点M(2,0)．而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝eq\f(1,2)|OM||y1－y2|＝y1－y2，S△AFO＝eq\f(1,2)|OF|×y1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝eq\f(1,8)y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋eq\f(1,8)y1＝eq\f(9,8)y1－y2.由eq\f(9,8)y1－y2＝eq\f(9,8)y1＋(－y2)≥2eq\r(\f(9,8)y1×－y2)＝2eq\r(\f(9,8)×2)＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知以原点O为中心，F(eq\r(5)，0)为右焦点的双曲线C的离心率e＝eq\f(\r(5),2)，则双曲线C的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，渐近线方程为x－2y＝0和x＋2y＝0.解析：设双曲线C的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由题意知c＝eq\r(5)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，因此a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝1.故双曲线C的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，即x－2y＝0和x＋2y＝0.14．如图，过直线y＝2与抛物线x2＝8y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2＋(y－2)2＝16.解析：依题意，抛物线x2＝8y的焦点(0,2)即为圆心，准线y＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝16.15．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是eq\f(1,2).解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝am，,2n2＝2m2＋c2，,c2＝m2＋n2，))消去m，n得4c2＝a2，故椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).16．已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合；过点M(1,1)且斜率为－eq\f(1,2)的直线交椭圆C于A，B两点，且M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.解析：焦点坐标为(2,0)．设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),a2－4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),a2－4)＝1，②))②－①得，eq\f(x2＋x1x2－x1,a2)＝－eq\f(y2＋y1y2－y1,a2－4).③∵eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝1，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(1,2)，∴代入③式解得a2＝8.∴b2＝a2－c2＝4，∴所求椭圆方程为：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离为3，求椭圆的标准方程．解：依题意，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋y2＝1.设右焦点为(c,0)，则eq\f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，∴c＝eq\r(2)，a2＝b2＋c2＝3，∴椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.18．(12分)抛物线y＝－eq\f(x2,2)与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．解：设直线方程为y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y＝－\f(x2,2)，))得x2＋2kx－2＝0，∴Δ＝(2k)2－4×(－2)＝4k2＋8>0，∴x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，又1＝eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(kx1－1,x1)＋eq\f(kx2－1,x2)＝2k－eq\f(x1＋x2,x1x2)＝2k－k＝k，即k＝1，故所求直线方程为y＝x－1.19．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)依据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1，))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).20．(12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点(2，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意，得eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，又点(2，eq\r(2))在C上，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，两方程联立，可解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2kb,2k2＋1)，yM＝kxM＋b＝eq\f(b,2k2＋1).所以直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(1,2k)，所以kOM·k＝－eq\f(1,2).故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．(12分)设抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以点B(a＋4,0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图所示，设M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝xM＋xN＋2a.因为抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a,0)．又B(a＋4,0)，所以|AB|＝4.所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax