2024-2025学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式一不等式第二课时基本不等式练习新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1其次课时基本不等式[基础达标]1.下列不等式肯定成立的是A.lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lgx(x＞0) B.sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈R)解析应用基本不等式：x，y∈R＋，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，留意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x＞0时，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故选项D不正确.答案C2.下列各式中，最小值等于2的是A.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x) B.eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))C.tanθ＋eq\f(1,tanθ) D.2x＋2－x解析∵2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立.答案D3.设x，y∈(0，＋∞)，且满意x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是A.40 B.10 C.4 D解析∵x，y∈(0，＋∞)，∴eq\r(4xy)≤eq\f(x＋4y,2)(当且仅当x＝4y时，等号成立).∴eq\r(xy)≤eq\f(x＋4y,4)＝10，∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2(当且仅当x＝4y＝20时，等号成立).答案D4.已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对随意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.解析(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(xa,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴1＋a＋2eq\r(a)≥9，即a＋2eq\r(a)－8≥0，故a≥4.答案45.函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值.解析∵loga1＝0，∴函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1).∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(2（2m＋n）,n)＝2＋eq\f(n,m)＋2＋eq\f(4m,n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(4)＝8.当且仅当4m2＝n2，即n＝2m时，等号成立，此时2m＋2m＝1，∴m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2).∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8.[实力提升]1.设a∈R且a≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋eq\f(1,a)；④a2＋eq\f(1,a2).A.1 B.2C.3 D.4答案A2.设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则A.x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B.x＋y≤2(eq\r(2)＋1)C.x＋y≤(eq\r(2)＋1)2 D.x＋y≥(eq\r(2)＋1)2答案A3.若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是A.6＋2eq\r(3) B.7＋2eq\r(3)C.6＋4eq\r(3) D.7＋4eq\r(3)解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(ab)＞0，,ab≥0，,3a＋4b＞0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0.))又log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，所以3a＋4b＝ab，故eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(3a,b)＋eq\f(4b,a)≥7＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(4b,a))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\f(3a,b)＝eq\f(4b,a)时取等号.故选D.答案D4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是eq\f(4,x)m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160，当且仅当2x＝eq\f(8,x)，即x＝2时取得等号.答案C5.下列结论正确的是A.当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B.当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C.当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最大值为2D.当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值答案B6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，假如在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A.5千米处 B.4C.3千米处 D.2解析设仓库与车站的距离为x千米，则y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，∴2＝eq\f(k1,10)，8＝k2·10，∴k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x.∵eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5时取等号.答案A7.函数y＝eq\f(3x,x2＋x＋1)(x<0)的值域是________.解析∵y＝eq\f(3x,x2＋x＋1)＝eq\f(3,x＋1＋\f(1,x))≥eq\f(3,－2＋1)＝－3，当且仅当x＝－1时，等号成立.又x<0，x2＋x＋1>0，∴eq\f(3x,x2＋x＋1)<0.∴函数的值域为[－3，0).答案[－3，0)8.设x，y∈R，且xy≠0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为________.解析∵x，y∈R且xy≠0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝5＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当eq\f(1,x2y2)＝4x2y2即xy＝±eq\f(\r(2),2)时，取得最小值9.答案99.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.解析设一年的总费用为y万元，则y＝eq\f(400,x)×4＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x≥2eq\r(\f(1600,x)·4x)＝2×80＝160，当且仅当eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20时，y最小.答案2010.设a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不行能同时成立.证明由a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2eq\r(ab)＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1冲突.故a2＋a<2与b2＋b<2不行能同时成立.11.若a＞0，b＞0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab).(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b解析(1)由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，得ab≥2，且当a＝b＝eq\r(2)时等号成立.故a3＋b3≥2eq\r(a3b3)≥4eq\r(2)，且当a＝b＝eq\r(2)时等号成立.所以a3＋b3的最小值为4eq\r(2).(2)由(1)知，2a＋3b≥2eq\r(6)eq\r(ab)≥4eq\r(3).由于4eq\r(3)＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.12.某单位有员工1000名，平均每人每年创建利润10万元.为了增加企业竞争力，确定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创建利润为10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创建的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创建的年总利润不低于原来1000名员工创建的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创建的年总利润始终不高于剩余员工创建的年总利润，则a的取值范围是多少？解析(1)由题意得10(1000－x)·(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0.因为x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.(2)从事第三产业的员工创建的年总利润为10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,500)x))万元，则10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x≤10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,500)x))，所以a