2024-2025学年高中数学第1章统计§44.14.2数据的数字特征教师用书教案北师大版必修3VIP

PAGE1-§4数据的数字特征4．1平均数、中位数、众数、极差、方差4．2标准差学习目标核心素养1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点)2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点)1.通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培育数学运算素养．2．通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养.一、平均数、中位数、众数1．众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．2．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的依次排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．3．平均数的定义假如有n个数x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)，叫作这n个数的平均数．二、极差、方差、标准差1．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]其中，xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2.2．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．3．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．思索：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？[提示]一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数D[可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.]2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2D[∵样本的平均数为1，即eq\f(1,5)×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.]3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清晰，其末位数记为x，则x等于()18011703x89A.5 B．6C．7 D．8D[由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.]4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．(1)7(2)2[(1)eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]平均数、中位数、众数的计算【例1】在一次中学生田径运动会上，参与男子跳高的17名运动员的成果如表所示：成果(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成果的众数、中位数与平均数．[解]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的依次排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69.所以这17名运动员成果的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.中位数、众数、平均数的应用要点中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需依据实际须要选择运用．(1)求中位数的关键是将数据排序，一般依据从小到大的依次排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大许多或小许多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的牢靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体．有时也采纳剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体．eq\O([跟进训练])1．(1)16位参与百米半决赛同学的成果各不相同，按成果取前8位进入决赛．假如小刘知道了自己的成果后，要推断能否进入决赛，则其他15位同学成果的下列数据中，能使他得出结论的是()A．平均数B．极差C．中位数D．方差(2)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么该组数据的众数是________，平均数是________．(1)C(2)65[推断是不是能进入决赛，只要推断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成果中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成果排列后看第8位的成果即可，小刘的成果高于这个成果就能进入决赛，低于这个成果就不能进入决赛，这个第8位的成果就是这15位同学成果的中位数．(2)因为中位数为5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.所以该组数据的众数为6，平均数为eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.故填6和5.]方差、标准差的计算【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)依据计算结果推断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数eq\x\to(x).(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)．(3)算出(2)中xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)的平方．(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差．(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差．2．标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．(2)在实际应用中，经常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的状况下，比较方差或标准差以确定稳定性．eq\O([跟进训练])2．(1)在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均值和方差分别为()A．92,2 B．92,2.8C．93,2 D．93,2.8(2)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是eq\r(2)，则xy＝________.(1)B(2)96[去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92，方差为s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝eq\f(1,5)(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.(2)由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，所以x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.故填96.]数据的数字特征的综合应用[探究问题]1．在一次人才聘请会上，有一家公司的聘请员告知你“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高收入达到了100万，他们年收入的平均数是5.5万”．假如你希望获得年薪4.5万元，你是否能够推断自己可以成为此公司的一名高收入者？提示：这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各类岗位收入的离散状况．2．极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定．【例3】在一次科技学问竞赛中，两组学生的成果如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请依据你所学过的统计学问，进一步推断这两个组在这次竞赛中的成果谁优谁劣，并说明理由．[思路探究]解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析．[解](1)甲组成果的众数为90分，乙组成果的众数为70分，从成果的众数比较看，甲组成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲组成果比乙组成果稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成果的中位数、平均数都是80分．其中甲组成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成果在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成果较好．(4)从成果统计表看，甲组成果大于等于90分的有20人，乙组成果大于等于90分的有24人，∴乙组成果集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成果较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去确定哪一组的成果好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.eq\O([跟进训练])3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成果状况如图所示：(1)分别求甲、乙两人打靶成果的平均数、中位数及命中9环以上的次数(含9环)；(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成果好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成果好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？[解](1)由图可知，甲打靶的成果为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成果为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成果较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成果较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必需先排序．2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一样的，在实际应用中一般多采纳标准差.1．思索辨析(1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变． ()(2)一组样本数据的众数只有一个． ()(3)样本的中位数可以有两个值． ()(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定． ()(5)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定． ()(6)样本的标准差和方差都是正数． ()[解析](1)×，依据平均数的定义可知错误．(2)×，依据众数定义知众数可以一个，也可以多个．(3)×，由中位数的定义可知错误．(4)√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度．(5)×，平均数与数据的波动性无关．(6)√，依据标准差与方差的公式可知．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2.若某校高一年级8个班参与合唱竞赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A[将这组数据