2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1第2课时量词课时作业含解析新人教B版必修第一册VIP

PAGEPAGE1课时作业7量词时间：45分钟分值：100分eq\a\vs4\al(一、选择题每小题6分，共计36分)1．下列语句不是全称量词命题的是(C)A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二·一班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小解析：“高二·一班绝大多数同学是团员”是存在量词命题．2．命题“存在实数x，使x＋1<0”可写成(B)A．若x是实数，则x＋1<0B．∃x∈R，x＋1<0C．∀x∈R，x＋1<0D．以上都不对解析：由存在量词命题的表示形式可知，选项B正确．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使eq\f(1,x)>2解析：A选项是全称量词命题，所以A不正确；eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C不正确；对随意负数x，都有eq\f(1,x)<0<2，所以D不正确；存在实数x＝0，使x2＝0，所以B正确．4．下列四个命题中，为真命题的是(C)A．∀x∈R，x2＋3<0B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5<1D．∃x∈Q，x2＝3解析：由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．5．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相像；③有些相像三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：由存在量词及存在量词命题的定义知①③④为存在量词命题．6．设非空集合A，B满意A⊆B，则(B)A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A解析：因为非空集合A，B满意A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题8分，共计24分)7．命题“有些负数满意不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0.解析：“有些”为存在量词，因此用存在量词命题来表述．8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②正多边形的内角都相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是①②，既是存在量词命题又是真命题的是③④(填全部满意要求的命题的序号)．解析：①②既是全称量词命题又是真命题，③④⑤是存在量词命题，且③④为真命题，⑤为假命题．9．下列命题是全称量词命题的是②(填序号)．①在整数中，有些数x，使4x2－1是素数；②集合{1,0，－1}中的任一元素，都能使2x＋1>0成立；③在自然数集中，必有元素x，使它的平方小于其本身．解析：①等价于∃x0∈Z,4xeq\o\al(2,0)－1是素数；②等价于∀x∈{1,0，－1},2x＋1>0；③等价于∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)<x0.故是全称量词命题的是②.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)推断下列语句是不是命题，假如是，说明其是全称量词命题还是存在量词命题．(1)存在两个相像三角形不全等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)过直线外一点的全部直线中，有一条直线和这条直线垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是存在量词命题，(3)是全称量词命题．(4)是疑问句，不能推断真假，因此(4)不是命题．11．(15分)将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根．解：(1)∀x∈R，x2≥0；(2)∃x0<0，axeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<1)．12．(15分)推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并推断真假．(1)∃x∈R，x－2≤0；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)凡三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解：(1)存在量词命题．当x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题；(2)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平