全息散斑干涉计量

第11章全息散斑干涉计量

光信息处理技术的另一个重要应用是全息散斑干涉计量。众所周知，光的干涉是精密

计量的i个重要方法。用于计量的传统的光的干涉是在两束相对平滑的波阵面之间发生

的，该方法直到二十世纪五十年代还不能用于散射表面的测量。这是因为在散射光场之间

或散射光场与平滑的波阵面进行干涉时干涉条纹的分布过于复杂密集，且散射光场与散射

表面之间的关系难于定量计算。六十年代初激光的产生促进了全息术的发展，由于全息术

具有三维记忆功能，它可以将存在于不同时间域和空间域中的随机光场波阵面引入同一时

间域和空间域中，为仅用于检测光学平滑表面的光干涉技术扩展到光学粗糙表面的检测提

供了可能。从1965年的最早报道"…⑶之后，围绕不同的应用对象提出了许多方法

对测量结果的分析也由对拍摄的全息干涉图做手工分析"发展成计算机条纹自动判读

5|o同时激光散斑测量自1968年关于散斑照相方法W-6I发表以来，发展出各种不同的散斑

测最方法R与全息二涉测曷方法结合产牛了可以测最三维变形的全息一散斑干涉法"

81o最初建U在光程差分析基础上的全息干涉条纹形成的理论也被能够更精确反映粗糙表面

散射光干涉现象的统计光学理论所取代⑼。本章将从这一理论入手，研究全息散斑干

涉计量技术。

1U光学粗糙表面散射光场的统计特性

仝息散斑干涉过程中信息的载体是作为电磁波的光，测量的对象是光学粗糙表面及其

有关物理量，如面型、应变、流场等。信息加载的方式很简单，激光照射到粗糙表面二，

由该表面散射的光波场就成为携带了信息的载体。研究全息散斑干涉首先要建立光学粗糙

表面散射的模型。光由产生、传播到接收的过程是一个多重随机过程，但是在本章讨论的

范围内，只考虑具有良好单色性的激光光源，而且一般认为工作环境是不变的。因此我们

约定把讨论的对象限制为单色的线偏振空间随机光场，只在某些必要的情况下特别指出

时，才涉及到时间变化的光场的随机特性。

11.1.1物面系综上物表面散射光场的统计特性“山”

不失一般性，假设全息散斑干涉所测量的物表面为位于（%,%）的一个平面（见图

11.1），其复反射率可表示为火（%,），0）=厂（工0,1/0*0，%）］。照明光场复振幅为

AJx。,），。），因而物表面散射光场可表示为

A)，＞o)=R(x°,Jo)430，＞0)

="%，No)4(/，＞0)exp,Jo)](11.1)

X。Js平面

（b）全息记录平面上物光照明产生的收斑图像

图11.1全息记录原理

式中，与。（%,见））是与表面特定散射基元有关的量，在物表面系综意义上，它

们都是随机变量。由于照明光场一般都是空间缓变的量，散射光场特性主要由反射特性决

定。大量实验表明，光学粗糙表面上的散射光场具有以下统计特性：

（1）被测表面上各散射基元散射出的光场复振幅值与相位。（%,凡）彼此

统计独立，不同散射基元散射出的光场复振幅彼此统计独立。

（2）被测表面从光学上讲是粗糙的，即其表面起伏高度的标准差远大于照明光波的

波长，以至于可以认为。（%,凡）在区间［-匹4］上均匀分布，其概率密度函数

为

“0）旧…）

［。（其它）（11.2）

（3）被测表面散射基元非常细微，与照明区域及测量系统在物面上所形成的点扩散

函数的有效覆盖区域相比足够小，但与光波波长相比又足够大。由被测表面散

射出的光场在物面上的相关函数可以表示为

〃（3一%）=＜4（3）A：（%）＞=＜/。（ro）＞演％一％）（113）

式中运算符＜•＞表示系综平均运算，函数5（・）为二维5函数，＜/（r0）＞为照明光

场及物面宏观反射特性决定的空间缓变强度函数，矢量r为坐标（X，）'）的简写。该式

表明，散射后物面光场不再是激光器发出的空间相干场，而是变成了严格空间非相干

的。如果物表面的变化还是时间函数，严格相干的照明激光束还会变成时间部分相干

场。

11.1.2散射光场的一阶统计特性

描述光场的本质的量是复振幅，而有实际意义的量是可以记录和探测的光强。我们不

仅要讨论光场复振幅实部与虚部的联合统计特性，也要导出光强的统计特性。为了使讨论

更具一般性，我们考察物面散射的光场经过一个线性系统传播后的光场

A（r）=1&（「0）/?（r-r0）drQ（11.4）

叠加积分中力（「-r0）为传播权函数，2为照明区域。这就是众所周知的散斑场。当然一般

散斑场并不要求通过线性系统才能产生，相干光照射到敌射表面后传播到菲涅耳区以外都

会生成散斑场。通过线性系统传播生成的散斑场是空间平稳的，便于在全息散斑干涉计量

技术中应用。而且在多数情况下相干光照射到散射表面后的传播过程可以用线性系统模型

做良好的近似，故本章内都假设传播过程是线性的。式（11.4）表明，散射光场即散斑场

任一点处的复振幅的实部和虚部可表示为

A，(「)=£LV(「o*(r-r。)-A)'(ro)〃'(r-山「o

(1L5)

A，(r)=((r0)/?(r-r())+A：(r0)，(r-r())]偏

由于A*(r)和A，(r)都是由来自照明区域内无数发光点元发出光场的叠加，根据中心吸限

定理，A，r)与A/(r)都可以看成高斯随机变量，其统计特性可以由其统计平均值和方差

完全确定。根据上述对物表面散射光场统计特性的基本假设，不难导出

<A^Cr)>=<A7(r)>=0(11.6a)

<[^^(r)]2>=^[</(r)>|/7(r-r)|2(11.6b)

00drQ

2J》

/22

<h(r)]>=：[</(r0)>|/?(r-r0)|6/r0(11.6c)

2JE

<z4/?(r)A,(r)>=0(ll.6d)

这就是说，A[r)与A/(r)均值相同，方差相同，且互不相关。在随机过程理论中，满足

上述条件的两个高斯随机变量称为联合圆对称的，其联合密度函数为

尸K」AR(r)，A'(r)]二1上(「)『+[4,

-----—exp《(11.7a)

2衣r-(r)2。2(「)

式中

(11.7b)

具有这种概率密度函数的随机变量通常称为圆型复高斯随机变量。

散射光场的强度为其复振幅的模平方，而复振幅则可由强度和相位表示为

4"(r)=qI(r)cos^>(r)

A1(r)=y[7(r)sin(p(r)(11.8a)

利用多元概率变换方法I”⑵，可由此导出强度和相位的联合概率密度函数为

/(r)

(11.8b)

2o(r)

强度的概率密度函数为其边缘概率密度函数

[/(r)]=[E.』(r),夕(1•出0(r)

/(「)

(/(P)>0)

2cr2(r)(11.8c)

0(其它)

这是一个负指数分布的随机变量，其〃阶矩、均值和方差分别可由定义计算出为

2

</"(「)>=n^2(J(r)p(11.9a)

</(r)>=2cr2(r)(11.9b)

a,(r)=2(r2(r)(11.9c)

就是说散射光场光强的均值与标准差相等。通常把标准差与均值之比称做散斑场的衬度，

即

c(r)=a,(r)/</(r)>(11.9d)

衬度的倒数定义为散斑场的信噪比。显然,散斑场的衬度与信噪比都是单位信。

类似地还可以导出相位的概率密度函数为

》「)］」△-(H.10)

0(其它)

由式(11.8b)、式(11.8c)、式(11.10)可以看出

火<)］二川/(间?［以川(HID

这说明，对于经过传播后的线偏振光形成的散射光场，光强和相位是统计独立的。

11.1.3散射光场的强度自相关函数

为了描述散斑场的空间结构的粗糙程度，需要讨论其光强的自相关函数，这是散斑场

的二级统计特性。在如图11.1所示的观察平面上，光强分布的自相关函数定义为

/?/(内，,；/，8)=</区，M)/(巧，为)>⑴.⑵

自相关函数的宽度给散斑的“平均宽度”提供了一个合理量度。当玉二%,时，

R,总是达到最大值，而当R/达到最小值时，散斑场相关运算相错开的值看，

H-%应当相当于散斑颗粒的宽度，这是很自然的。由于在每一点处散斑场复振幅

A(x,y)都是圆型复高斯随机变量，根据圆型复高斯矩定理w-⑵，光强的自相关函数可以

进一步表示为

与区，M；工2，)=</(X，M)></。2，¥2)>T<A®，M)A'*2，刈)>『

无论对于自由空间传播产生的散斑场(所谓客观散斑场)，还是对于成像过程产生的散斑

场(所谓主观散斑场)，都可以导出光强的自相关函数"⑵为

2

R/(△],△)，)=<l(x9y)>(1+U(Ax,A)，『)

JJ|PGm)「expp^|Mx+r\Ay)虏小(H13)

=<I(x,y)>2]l+---------------——----------------------,

JJ|PG仇)「公仇

式中〃(△%,△)，)为(6.41b)定义的复自相干度，也就是散斑场的复振幅自相关函数。对于

面积为LxL的均匀方形散射表面生成客观散斑场的情况，有

|P(^,/7)|2=rect

式中，当rectCr)=1；当凶>,，rectU)=0；而相应的光强自相关函数为

R,(Ar,Ay)=</>2(1+sinc2-^^sinc2

散斑的“平均宽度”，即通常讲的散斑颗粒大小，可以合理地取为sinc2(ZAt〃Z)第一次

降到零时的AY值。用/表示这个所谓散斑大小，则有

AZ

盘e=—(11.14)

xL

对于生成主观散斑场用的成像光学系统光瞳的直径为。的圆孔时，有

&2+T

|=circ

Dil

式中，当x<l,circ(x)=l：当x>l,circ(x)=0：而相应的光强自相关函数为

2

7iDr|7iDr

Rj(AA\AV)=<I>21+2J[lz

工Z

式中，人为一阶贝塞尔函数，r=[(A.v)2+(A>')2]2,这时散斑大小为

o=1.22---(11.15)

"vD

总之，式(11.13)中P《,〃)为自由空间传播时的散射光场的光强分布，或成像过程中的

光瞳函数。散斑场的自相关函数由一个常数项加上函数的归一化傅里叶变换的模

平方所组成。

11.2全息干涉的统计光学描述

11.2.1全息干涉的基本原理

作为波前重现术，全息照相所成的像具有相干性。它具有确定的振幅和相位分布，光

波长与偏振方向在很大程度上可以加以控制，因而任何一种利用全息术得到的两个或两个

以上的像同时形成而又叠加在•起，就能形成干涉场。适当的光路安排便可利用干涉场的

形成达到测量的目的。最基本的全息干涉计量技术是多次曝光方法，即通过全息图的多次

曝光，获得复杂的波前的相干叠加。这一点很容易根据全息术原理加以说明。假设全息记

录介质对N次不同的光强分布"，乙，…，八，顺序进行曝光，其总曝光量为

N

E=£T3(U.16)

*=1

式中，T、,4,…，公是N个单次曝光的时间。现进一步假设，每次曝光时入射光是由

一个固定的参考波R(x,y)和逐次不同的物波前旧叠加而成，总曝光量便可表示为

NNNN

石时十X，.「十Z/R%十Z/M(”•⑺

*=1*=1A=1Jt=l

对于正比于曝光量的透过率分布，处理后记录介质的透过率中有两个透过率分量由上式右

边后两项表示为

NN

%4，iD(11.18)

k=\

这两个表达式说明，当用波前R照射记录介质时，其透过光场分量将有一部分正比于波前

《，。2,…，的加权和；而用波前R*照射记录介质时，会有一个透射光场分量正比

于该波前加权和的共挽。显然这两种加权和均会产生干涉，并可以用于测最。以上给出的

是全息干涉计量技术的普遍原理，当N=2时参加干涉的光波前只有两个，曝光只进行两

次，对应的是全息干涉计量技术中最基本的二次曝光全息干涉。通过分析二次曝光型全息

干涉条纹产生的物理过程可以阐明全息干涉的统计光学描述方法。

11.2.2二次曝光全息干涉术的十•涉场

图11.2为二次曝光全息干涉术记录全息图的原理光路。激光器发出的光被分束镜BS分

成两束以后，一束经反射镜:透镜L及空间滤波器SK照明物体，另一束参考光经反

射镜M2、透镜l及空间滤波器SF2照射到记录平面上。全息记录材料放在记录平面上，

两路光需要根据激光器的相干长度进行适当的光程匹配,物光与参考光在记录介质上相干

叠加，而在变形前后各曝光一次，再经过适当处理形成一张二次曝光全息图。当记录介质

复振幅透过率与光强满足线性记录条件时，制成的二次曝光全息图的复振幅透过率可表示

为

图11.2二次曝光全息干涉术记录原理光路

22

7⑷，%)=%+夕,®，yfl)+Am⑷,%)|+\R(xh,?/,)+A/l2(xh,yh)\]

式中，R为参考光在巧,-方面上更振幅分布，4“(i=1,2)为物表面散射光场在物面变

形前后传播到巧-以面上的复振幅分布。

在二次曝光全息干涉术中，由二次曝光全息图再现两个相关波面，并由此形成干涉场

产生干涉条纹，其原理如因11-3所示。当再现光源即为记录时的参考光源时，二次曝光全

息图透过的光场即为变形前后物面上散射出的两个光场的叠加。设。=1,2)分

别表示物面上变形前后的两个光场，4表示相应的像面光场分布，则有

图11.3二次曝光全息波面再现及干涉场形成原理光路

4(x,y)=JJ5(%,No)4(x一/，)'一No)dx°dy°(i=1,2)(11.20)

式中，〃为光学成像系统的脉冲响应函数，而且物像面坐标已经过适当归一化，放大出变

为1。具有光学粗糙表面放射性质，满足式(11.2),式(11.3),而积分结果产生的

则是一个典型的像面散斑场。进而像面上干涉场的强度分布成为

2A

I(x,y)=krpr\A(x,y)+4(x,y)/(11.21)

式中，厂为参考光振幅，1为再现光与参考光强度之比，夕为线性系数。该式说明，干涉

场中含有待测物表面的变化信息，是作为二维随机过程的一个样本函数的散射场分布。该

干涉场是定义在物面系综上的•个随机场，物面的变形信息存在于该随机过程的系综平均

的空间分布之中，且

<l(x,y)>=kg'<|A(x,y)+>

2

=>+<|A2(x,y)|>+2Re[<(x,y)A^(x9y)>]}

(11.22)

式中前两项为变形前后两波面各自的光强分布的系综平均值，第三项则为变形前后两波面

之间互相干函数实部的两倍。

11.2.3表面变形特性与散射光场特性的关系

在对式(11.22)中各项进行具体运算之前，首先要对被测表面变形特性与散射光场特性

的关系加以分析。如同上节描述的那样，被测的光学粗糙表面可以看成由大量散射点组

成。这些散射点位置与取向均不相同，形成相互独立的敌射基元。不失一般性，可以将散

射基元等效分布在一个平面散射物面上，将其反射率表示为

<r>

/?(r,))=r(r0)^»(11.23)

式中矢量%代表(%,方)，”r。)和0(%)分别表示反射率的振幅和相位特性。若物表面发

生微小变形(在全息干涉计量中测量的变形量都很小)，由于变形物相对于散射基元空间

位置是个缓慢变化的函数，可以认为，变形只会改变每个散射基元的位置，并不改变其散

射特性，因而变形只会使散射基元产生附加的相位变化，根据图114这一相位变化可表

示为

A(r0,S,r)=kjr,+k3r3-k2r2-k4r4

式中r0,r,S分别为散射基元变形前后位置和光源位置，口(j=1,2,3,4)为相应点的距离矢

量,至上为传播矢量,并且有

2hl

rr

2-i=r3-r4=d(r0)

令k2=k1+Ak-k4=k,+Ak,,Ak।与Ak3分别为照明光束与照明光束由于变形引

起的微小传播矢量变化，d(r。)为表面变形矢量。在实际系统中，卜J及卜21远远大于M，

可以认为政|和&<3分别垂直于「2化2)和「4低4)，因而可以导出

△(r0,r)=d(r0)-(k3-kJ-Ak,-r2-Ak3r4

=d(r0)(k3-kJ

=d(r0)k(H.24)

式中，k=k3-%称为灵敏度矢量，对于散射表面上不同点及不同观察方向，灵敏度矢

量均不相同，但如照明光源与观察点处于远场位置，可以近似地认为灵敏度矢量是一个常

量。式（11.24）表示的由变形引起的光场相位变化，可以等效为变形后物表面散射特性分布

的变化，即

此（:）=小。一明储），｛而E%小似5

ex

=和。一d2储）］P［；A（r0）］（11.25）

式中，d2为d的面内分量（<1在与-，）平面上的投影）。变形前后表面散射光场之间的

关系可表示为

%（；）=A”卜。-d2（r0）］exp［,/A（r0）］（11.26）

在全息干涉计量术的许多实际应用中，照明光源到物面的距离要远大干被测区域的线度，

测量系统的有效工作视场也很小，因而在整个被测区域上，照明光的传播矢量、散射光的

传播矢量以及灵敏度矢量均可视为常量。相位的变化A（r。）只与表面的变形状态d（r。）有

关。

11.2.4二次曝光全息干涉场的统计光学描述

有了表面变形特性与散射光场特性的关系，现在可以对式（1L22）中各项作具体运

算，进而对二次曝光全息干涉场干涉条纹产生的物理过程加以说明。式（11-22）右边花括弧

中第一项可以写作

2

<|A（r）|>=Jf<AH（1,01）AL（ro2）>力（!'一％）/（「一%）公01小。2

将式（11.3）代入，并考虑到在脉冲响应函数不为零的区域中可视为常数，有

2r

<|A（r）|>=</01（0）>f|〃（r一叫））『小

同理

2r

<|A2（r）|>=</O2（o）>f一「）『与

另外

<A（「）4（r）>=<JJ<A）,（r01）A；2（r02）>/z（r-r01）/f（r-r02）Jr0IJr02

由于

<A（「oi）A；（r02）>=<%（%）41k2-d2（r02）］exp［jA（r02）］>

=<An(；i)>加02Toi-d?(r02)]exp[jA(r02)]

代入上式，便有

r

<A(「)4(r)>=<4i(oi)>exp[；A(r02)]J/?(r-r01)^[r-r01-d2(r02)}/r01

在点扩散函数的范围内，d2(r°2)可视为常数，而由于</°>及d2的缓变性，可令

/°(r)=<70;(r0)>=<Z02(r0)>=<70,(r0I)>

d2(r)=d2(rO2)

其中，r取代；是因为归一化系统放大率为1。最终得到

<|A(r)|2>=，o(r)伽小

<i4(r)r>=，()(「)伽(「_「0)|2打

<A(r)A；(r)>=/0(r)exp[jA(r)]jh(r-rQ)/?"[r-r0-d2(r)p/r0

代入式(11.22)中，可得

24

<I(x,y)>=2kr/3rSIQ(r)[l+//mvA(r)](11.27a)

其中

2

S=j|A(r-r0)|Jr0

4

f一r°)//[r-r0-d2(r)}/r0

〃=----------------p-----------(H.27b)

J|^(r-r0)|dr0

式(11.27b)表示的相关因子就是式(11-13)表示的复自相干度(见习题11.3)。

图11.5与对比度有关的积分域

(a)点扩散函数定义域(b)变形造成的重叠区域

考虑图1L3中成像系统是完善的，即没有渐晕，因而S是个常数。式(11.27)说明，

在像面上的光强分布呈现出余弦型干涉条纹系统，即当△(「)=2〃乃(〃=0,1,2,…)，出现

亮条纹；当△(「)=(2〃+1)%5=0,1,2,…)，出现暗条纹。干涉条纹表示了变形产生的附

加光程差的信息。余弦函数前的系数体现了干涉系统的对比度，与变形的面内位移dzT)

及点扩散函数的分布区域大小有关。〃的分母就是参数S,而分子的积分区域是两个点扩

散函数重叠区域的面积。当面内变形小于艾里圆直径时，对比度总大于零，因而可以探测

到干涉条纹，从而进行测量。对丁•一般圆形孔径来讲，点扩散函数具有贝塞尔函数的形

式，当面内变形达到其第一个零点半径时，对比度第一次降到零。定义对比度第一次变为

零时对应的变形量为可测量的条件，则有

|d2(r")|<1.22/l/o/D(11.28)

式中，。为成像透镜的孔径，为物距。式(11.28)右边是散射光场像面上散斑点直径在物

面上的共规量。这也说明，在像面上变形前后两散射光场的横向错动量不能超过放斑点的

直径，否则干涉条纹就会消失。反之，主要测量离面变形，而且变形场的面内分量比点扩

散函数分布区域小得多时，对比度接近于单位值，条纹易于探测。

上述分析说明，全息干涉术术产生的干涉场是由随机散射表面(至少其中•个波面如此)

干涉产生的，实际上是一个散斑场。干涉条纹调制在这个散斑场之上，被测信息包含在这

种空间二维随机过程的系综平均值之中。这样一类干涉条纹与过去在物理光学中讨论的光

学平滑表面反射产生的干涉条纹不同，条纹质量不仅与干涉条纹对比度有关，还与干涉场

中散斑点大小有关。一般讲，光学系统的光瞳越大，散斑点越细小，它所允许的最大面内

变形也越小，或者说，在面内变形存在的情况下条纹的对比度变差。反之，当光学系统的

光瞳变小时，散斑点变大，条纹的调制度也变大。小光瞳会带来两个问题，一是光能利用

率降低，对接收装置灵敏度要求提高，易受环境变化的影响；二是会产生消相关效应。在

导出式(11.27)时，曾假设在点扩散函数确定的范围内变形所引起的相位差保持不变，而小

光瞳会削弱这一假设的近似程度，因而产生消相关，使条纹对比度降低。鉴于•上述几方面

考虑，在实际工作中应该根据具体情况合理地选择记录却再现系统的有关参数.

由于全息干涉计量的测量灵敏度高，测量的范围小，它测量的是空间缓慢变化的小变

形场。当测量区域内包括绝对零点时，也就是物表面包含有变形(位移)为零的部位时，

通过适当调节系统参数来安排光路，一般可得到高质量的干涉条纹。但实际上也常常会遇

到由刚体位移、刚体倾斜与一个变形场叠加而成的位移场。在刚体位移和倾斜较大时，测

量区内就不再含有绝对零点，通过参数调节和光路布置无法得到高质量地反映相对变形场

分布的干涉场。为此，需要采用一些措施补偿并消除刚体位移和倾斜的影响。一种方法是

用两张全息图分别记录两个波面，并采用不同的参考光束。再现时，调整再现光束的方向

来产生刚体位移，实现补偿。另一种方法是夹层全息技术⑶。这种方法用紧贴在一起的

・对全息图记录物体的•种状态。再现时，通过不同状态全息图的不同组合实现不同状态

波面之间的干涉。而对•于刚体运动的补偿则可通过不同状态全息图之间的相对平移及整体

转动来实现。

式(11.22)给出了像面上光强度的系综平均值，并说明了被测信息与光强系综平均值的

关系，但是系综平均值并不是一个可以直接探测的物理量。再者，像面光强的调制说明，

这个空间随机过程不是真正平稳的，也并不是各态历经的，不能用空间平均来代替系综平

均。实际上，作为干涉场，全场的空间平均自然会失去条纹分布的信息。因此，只能通过

局部的空间平均来近似在二维空间被调制的系综平均值，以提取被测物体的变形信息。

二次曝光全息干涉术实施时对物光场及环境的稳定性都有严格要求。光场的稳定性与

光源的稳定性、被测物表面的稳定性、环境的稳定性(包括振动和空气湍流)都有关系。

要求在全息记录过程中，在满足记录材料所需能量的曝光时间内，物光与参考光之间相对

光程变化至少要小于1/10波长。在两次曝光之间，物光场发生的变化应当是由被测量引起

的。任何环境变化引起的附加光程差都直接影响到测量精度，它必须远小于被测量引起的

物光场变化。

二次曝光仝息干涉术的上述要求使它主要用于静态问题的研究，它的一种直接推广是

可用于研究稳态振动的双冰冲频闪全息干涉术1"川。应该说明的是，对于二次曝光全息干

涉的分析是以下讨论的各种全息散斑干涉技术的基础，这种分析方法是普遍适用的。

113时间平均全息干涉术

时间平均全息干涉测量方法是解决稳定的动态现象分析的一种基本测试技术，其

特点是在张全息图上记录表面在个振动周期内的所有状态，通过所有这些状态的叠加

形成干涉测量场。时间平均全息干涉技术的记录和再现光路仍如图11.2及图11.3所示，

只要增加一个正弦型激振器驱动被测物体达到稳定的连续振动状态。对位r全息记录平面

上的记录材料进行远大于物体振动周期的7；时间的连续曝光，经过适当处理得到全息图.

这一全息图再现物光场复振幅分布可表示为

『4小）力(11.25)

A"?J0

式中，7；为全息图记录时间，余下的参数在第一节中已有定义。由于（远大于振动周期,

式（11.29）中积分上限与分母中T,均可用振动周期丁代替。再现的像面光场复振幅可表示

为

4r)=可01A(r-r0)Jr0

若在静止时物面上被测点复振幅为A（r0）,当物体做振幅为3、角频率为。的正弦里强

迫振动时，振动引起的光学相位变化为

△°（r）=-j--2Bsincot

因血振动时的复振帕内表不为

4乃

A)(ro=A)(%)exp-J—8(r0)sincot

A

根据恒等式

exp[-jacosS-（/＞）]d0=J^a）

1.71

式（11.29）中的积分可化为

44

A(r)exp-j—B(r)sin(otdt=A(r)./口解）

TJo(l000

为零阶第•类贝塞尔函数。进而像面上光场复振幅变为

4「）=灰夕日4（”047r

—B(r0)/z(r-r0)t/r0

/t

光强度为

7(r)=V2r4jA)(roVo47r

—B(r0)/?(r-r0)Jr0

光强的系综平均值则为

羡B(r。)</(r)>J|Mr-r)|\/r

<I(r)>=k,/3%Jo000

在均匀照明情况下，＜/。(%)＞在物面系综上是不变的常数，不考虑渐晕时点扩散函数积

分也是常数，把所有的常数合并为一个攵，再现像面上光强分布可表示为

,4万

</(「)>=%/：—B(r)(11.30)

A

图11.6时间平均全息干涉术光强系综平均分布曲线

该式表明，在时间平均全息干涉术中，再现像的光强系综平均按零阶贝塞尔函数的平方分

布。其分布曲线如图11.6所示，由图可以看出，当贝塞尔函数自变量为零，即B(r)=0

时，函数取最大值。因此，在重现像的振动图样中不运动的区域(即节线处)将显示最亮

的条纹，随着条纹级次的增加，亮条纹的强度逐渐下降,由于J'oCr)=-4(x),除零级条

纹的位置都由一阶贝塞尔函数的根给出。无论是亮条纹还是暗条纹，它们的条纹间距均不

同。时间平均全息计量方法可以测量振动的物体，但是它所形成的贝塞尔函数条纹体系的

重要局限之一就是随条纹级数增加，条纹能见度不断下降，这就限制了可以测量的振动的

振幅。另外一个局限性是，这种方法不能测量振动的位用，不能做全面的振动测量。时间

平均全息干涉方法不仅可以对简谐振动进行分析，还可以对其他运动规律的稳态现象进行

分析研究。

11.4外差与准外差全息干涉术

外差全息干涉技术是外差干涉技术与全息干涉技术用结合的产物。外差干涉相位测量

较少受光强分布影响，在光学粗糙表面的检测中表现出明显的优越性，是一种精度很高的

测量技术。Dandliker于1973年首次实现了外差全息干涉叶闻，其后得到了不断发展，现

在已相当成熟。根据外差干涉的两波面的特点，可以分为外差与准外差全息干涉两种技

术。

11.4.1外差全息干涉技术

图11.7所示为二次曝光型外差全息干涉技术的原理光路。这是一个双参考光全息干涉

系统。由激光器射出的光线经过两个分束器分成三束光，其中一束经过“3反射照明物

面，再散射到全息图记录平面HI-.O两束参考光分别经过频率调制器，反射镜、扩束镜照

到全息记录介质上。记录物面变形前状态的第一次曝光只用反射的第一束参考光与光

干涉，记录物面变形后状态的第二次曝光用反射的第二束参考光。通常频率调制器用

声光调制器制作，它可以使激光产生若干兆的频移，调节其调制频率便可使参考光之间有

一个频差。在记录全息图时，频率调制器不工作，因而参考光与物光频率(波长)相同，

可以产生稳定的干涉图像，以便记录全息图。记录并处理好的全息图严格复位，用有一个

频差的两束参考光再现原物光场。因为这样小的频差相对于光的频率可以忽略不计，所再

现的光场还与原物光场一样在原先的位置上。这样两束有频差的光在像面上产生光学拍，

也就是产牛外差干涉图像，用测相仪测出每个点光学拍旗信号方间相对位相，便可得到需

要的变形信息。

图11.7二次曝光型外差全息干涉原理光路

复原到全息值录面上的处理好的全思图振幅透过率可表示为

2

%)=7+•忱+A(rh)|+|/?2+A(rhf]

这与普通的双参考束二次曝光全息图是一样的。再现时用调制频率为g与g+A。的两

束光照明全息图，则由全息图射出的光场分布由三部分组成，第一部分为再现光场中的直

透项，不会产生干涉现象，第二部分为再现出的原物光场及交叉再现光场，第三部分为再

现出的原物光场的共枕光场及交叉再现光场。这些光场经光学成像系统后在物面r0的共规

面形成外差干涉场。

根据记录光路的安排，有两种干涉场。一种是第二部分中再现出的两个原物光场形成

的干涉场，在像面L上产生的光强分布可表示为

,£）=1禽周24⑺/如+病网24（n）6-△叫2（11.31）

式中，勺和刈分别为两束再现光与原参考光的强度比。这时，记录光路中两参考光束必须

适当选择参考角。，P，使式（11.31）中两项再现的原物光场与其他再现光场在空间分离

开，这种情况称为分离再现外差全息干涉。对•式（11.31）表示的光强分布作系综平均可以得

出分离再现外差全息干涉术的条纹分布公式：

</（「"）>=+4cos[△初一△（!；）]}（11.32）

式中已把全部常系数归入女，而且两参考光强度设定相同，成像系统放大率设定为1,公

式推导方法与式（11.27）一-样，其中对比度〃的表达式也相同。这是一个典型的外差动态

干涉条纹的表达式。变形信息在统计意义上表示在随时间变化的干涉场的初相位中，只要

找到变形为零的点，或者找到确定点的变形量，就可以通过相对的相位测量，计量出任一

点的变形量。分离再现外差全息干涉要求双参考束有很大的空间角分离，对复位精度要求

很高.

另一种干涉场由包括原物光场及交叉再现光场都在内的整个第二部分形成，这时在像

面r,上产生的光强分布可表示为

/&4）=〃2|后图2A⑺/卬+向网⑺

+"+病|凡剧4,）«”例"叫2（11.33）

式中，（勺）及A（亏）分别是由交叉项R2R；A（%）及i-v&R；A2（%）在像面

上形成的光场分布。这种记录方式中不仅含有两原物光场，还含有其他衍射光场，因而称

为重叠再现外差全息干涉场。式（11.33）中后两项不能产生光学拍，是噪声项，必须降低其

影响。这就要求这两项之间统计独立，而且也与原物光场统计独立。根据散斑波面的特

性，这时两参考束空间频率之间应满足

L/工一囚N1.22/。/。(11.34)

式中，力=$山四//1。=1,2)为两束参考光对应的空间频率，/L”为全息图到物表面距

离，为物表面到成像系统主面的距离，。为成像系统口径。这时干涉场中光强系综平均

除直流项增加一倍而外，与分离再现情况相同。由于式111.34)比分离再现条件容易满足，

对全息图复位也没有特殊要求，因而在实际测量中被广泛使用。

二次曝光型外差全息干涉的光路稍加变换可做成实时外差全息干涉,分析方法类似,不

再赘述.

11.4.2准外差全息干涉技术

准外差全息干涉技术又叫相移全息干涉技术，其原理是使参加干涉的两个波面中的参

考波面增加一个附加的、步进的或连续的相位移动。这个相移对整个参考波面上每个点都

是同步产牛的。坟就便得胳个干涉场变成步进或连续的动态干涉场。通i寸对三个以卜.干涉

状态或连续变化的光强积分的测量，就可以计算出被测波面相对■参考波面每个点相应的相

对位相差⑴⑹。从干涉场来看，准外差与外差方法是相同的。准外差同样有二次曝光型和

实时型两种。图11.8示为二次曝光准外差全息干涉技术的光路，实时型只要把M二反射的

那一条光路去掉即可。

图11.8二次曝光型准外差全息干涉原理光路

与外差全息干涉同样，二次曝光准外差全息干涉也用双参考束二次曝光全息光路，先

拍摄一张静态的二次曝光全息图，其第一次曝光在物体变形前用反射的笫一束参考

光，第二次曝光用加2反射的第二束参考光拍摄物体变形后的状态。处理好的全息图在两

束参考光同时照射下再现出两幅相干波面。在计算机机控制下，压电陶在(PZT)驱动器发生

振动，使沿光路方向位移。这个位移使做为参考的变形前物体波面附加一个位相，形

成动态干涉条纹。CCD摄相机与PZT驱动器同步工作。在条纹振动一周内采集三幅以上的

干涉图，或在PZT步进两次以上的三个状态采集下三幅以上干涉图。经过一定的图像处

理，再做数字相位计算，得到各个像素对应点的相位从而计算出物面上各点的变形量。其

干涉场上光强系综平均值仍可用式(11.32)表达。为说明数字相位算法原理，把式(11.32)

改写成

</(“,，)>=S[+S2cos+A(r.)](11.35)

式中

=kl^(r.)>S2=kIQ(r,)//

/⑺取代△明意味着压电陶瓷驱动下得到的相移是已知的。对于步进式准外差技术，相移

N-1次可得N幅干涉图。为了使计算简化，可使步进式相移在0~2万内等距作相位移

动。这时有

可得初相位

W/sin^

△(勺)=-arctan弋---------(11.36)

SLcos四

1=1

CCD探测器是一种积分式光电器件，它不仅可以用来探测步进式相移干涉图，还可用

来探测连续相移干涉图。当连续相移用锯齿波驱动PZT产生，即施加线性相移时，如果对

中心相移四，曝光时间为△〃的话，总曝光量为

产+阴2

耳-J用M/2{\+S2cosl(z;)4-^.]}J^.

+S2sinc—^-cos[A(r.)+•(11.37：

式（11.37）具有与式（I1.35）相同的形式，因此可用与步进式相移同样的方法来测量计算

A（r.）,即经过N个步长为2i/N的区间积分后，用式111.36）求出两相干波面各点之间的

相位差。

11.5散斑干涉术

1970年,Leenderz开创了•类新的以干涉方法实现光学粗糙表面检测的的方法，称

为散斑干涉计量"⑺。它的记录和再现在本质上与全息干涉计量相同，在形式上更加灵

活，即不仅可以用光学方法实现，还可以用电子学和数字方法实现。在光学方法中，原始

数斑场用光学胶片记录，用光学信息处埋技术提取信息，而在电子学及数字方法实现中原

始散斑用光电器件（通常是CQ）光电探测器）记录，用电子学和数字信息处理技术实现信

息的提取。习惯上称光学实现方法为散斑干涉测量，而将电子学和数字实现方法称为电子

散斑十涉测量，或数字散见十涉测量。这一节介绍光学方法，即散斑十涉测量，卜一节讨

论电子散斑干涉测量。

11.5.1参考束型散斑干涉测量方法

由Leenderz提出的参考束型散斑干涉记录方法分为散斑参考束和平滑参考束两

种，其光路区别在于参考束是直接照射记录平面，还是由散射面反射后再照明记录面上的

感光胶片。平滑参考束散斑干涉实质上是一种同轴像面全息干涉方法，读者可以参考本节

和11.3节的方法自行分析。这里只讨论散斑参考束型散斑干涉方法，而且只作定性讨论，

说明提出这种方法的思路，散斑参考束型散斑干涉的记录光路是一种迈克尔逊干涉仪的变

型（图11.9）。相干照明光被分束镜分为两束，分别照明被测表面％与参考散射面

r,由两表面散射出的光场在其共规像面上叠加形成散斑干涉场。若变形前物光束在像面

上某点形成的光振动复振幅为A”=a“expM，参考光复振幅为%=«21expj小则

在该点合成光强为

三

照

明

三

光

一

波

图11.9散斑参考束型记录光路

人=a：+公+2ana2lcos(^H一弧)(11.38)

变形后，参考光复振幅A?2=A2I没有显著变化。物光束在物表面发生变形时，离面位移会

造成物光复振幅的总的位相改变A。，因而有=%卡平,/(。“+A。)。变形后，该点合

成光强为

I2+Q；+2〃][〃21COS(必।-21+卜@)(11.39)

比较式(11.38)和式(11.39)可以发现，由于引入参考光，光强被余弦函数调制。当

△。为2万整数倍时，变形前后散斑干涉图不发生变化。当A。为(2〃+1)不时，变形前后

合成光强变化最大。△。为表面离面位移的函数，散斑干涉图的变化情况就反映了物面变

化情况。用二次曝光方法将变形前后两幅散斑干涉图迭加在一起，在4。=2〃]的位置，

光强达到最大值。在八。=(2〃+1)4的位置.，光强最小。物表面将会分布着与△。有关的

条纹。这种条纹与干涉条纹有着本质的不同，反映出两次散斑干涉光强之间的相关性，可

称之为“相关条纹”。因为它的分布取决于△。的分布，通过对相关条纹的识别可以测量

出△族和与△政有关的表面变形信息。作为粗糙表面散射出的光场，迭加在一起的两幅干

涉图仍然被散斑场所调制。图像相加还会使背景和噪声迭加，所以图像相加得到的相关条

纹质量很差。尽管可以用光学滤波加以改善，这种方法也难以满足测量要求，很少得到实

际应用。为了提高相关条纹质量，一般改用图像相减技术。两散斑图像相减时，在

△。二2〃〃的位置，两散斑图样完全相同，相减后光强为零，散斑也看不到了。在

△0=(2〃+1)乃的位置，相减以后仍有散斑,并呈现出最大的对比度和最大的平均强度.

物表面也会产生相关条纹，只是与相加得到的条纹相比是反相的，但条纹时比度好得多。

用光学方法实现图像相减比较麻烦，电子学和数字方法实现图像相减却很容易，进一步的

图像处理也较方便，现已制成实用的电子(数字)散斑干涉仪。其原理的深入分析在下一

节介绍。

11.5.2剪切散斑干涉测量方法

上面讨论的散斑干涉技术主要用来测量粗糙表面的离面位移。对于力学分析来讲，

更有用的量是应变，即变形场的梯度信息。本小节讨论的剪切散斑干涉方法可以直接得到

应变场分布，无须先测出变形场，再做微分运算。这种方法不仅提高了精度，还避免了大

量的计算，有相当多的优越性。

剪切散斑干涉最早也是由Leenderz提出的"⑻，Hung"⑼做了具有重大实际意义

的发展，并制成了工业用的在线检测设备。前者的基本光路也有多种，我们只介绍后来用

以制成实用仪器的双光楔剪切法，图11.1（）是其典型光路。物体被准直激光照明后，散射

出的光场被透镜成像。透镜前放置一个双光楔，使上、下两半透镜所成的像在像平面二错

位，产生剪切干涉。置于像平面上的记录介质对于变形前后的物体做两次曝光。与散斑参

考束型散斑干涉相同，两次曝光剪切散斑干涉图显示的也是图像相加得到的相关条纹。在

相位差的相对变化△。=2,%的位置，光强达到最大值c在△。=（2〃+1）4的位置.，光强

最小。处理后的两次曝光剪切散斑干涉图用图11.11所示的4/光学信息处理光路作带通

滤波（或高通滤波），便可得到反映两次曝光之间发生的应变场分布的干涉条纹其图像。

其分布为

2〃万（出现亮条纹）

A。（「）=«(11.40)

（2〃+1）不（出现暗条纹）

剪切干涉图是相干照明下错位的两物面本身之间的干涉，其干涉图质量比散斑参考束型散

斑干涉好。

图11.10双光楔剪切散斑干涉记录光路

平=

行=

光=