新高考数学二轮复习强化练习思想03 数形结合思想（讲）（解析版）

第三篇思想方法篇思想03数形结合思想（讲）考向速览方法技巧典例分析一．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．二．特别提醒数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．三.命题规律1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）平面向量（4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；（7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用【与函数方程思想相结合】．2．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．01研究图形的形状、位置关系、性质等【核心提示】1.函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．【典例分析】典例1.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四））函数SKIPIF1<0的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项SKIPIF1<0；再利用特殊值即可排除选项SKIPIF1<0，进而求解.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，图象关于原点对称，排除SKIPIF1<0选项，只需研究SKIPIF1<0的图象，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，排除SKIPIF1<0选项.故选：SKIPIF1<0．点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)利用函数值考察特征点，排除不合要求的图象．（5）应用导数研究函数的性质，考察图象升降的快慢、极值点，发现图象差别.利用上述方法排除、筛选选项．典例2.（2022·北京·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.【详解】对于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误，故选：SKIPIF1<0.典例3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆SKIPIF1<0的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足SKIPIF1<0，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设椭圆C的右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．由椭圆的性质分析出以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆有公共点，得到SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，即可求出离心率的取值范围.【详解】设椭圆C的右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．由椭圆的性质得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即椭圆上存在点A，满足SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆有公共点．设椭圆C的半焦距为SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以椭圆C的离心率的取值范围为SKIPIF1<0．故选：C02构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围【核心提示】含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.【典例分析】典例4.（全国·高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】作出函数SKIPIF1<0的图像，和函数SKIPIF1<0的图像，结合图像可知直线SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴之间，利用导数求出直线SKIPIF1<0的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数SKIPIF1<0的图像，和函数SKIPIF1<0的图像.由图像可知：函数SKIPIF1<0的图像是过原点的直线，当直线介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴之间符合题意，直线SKIPIF1<0为曲线的切线，且此时函数SKIPIF1<0在第二象限的部分的解析式为SKIPIF1<0，求其导数可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故只需直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.典例5.（2020·天津高考真题）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有4个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】注意到SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0恰有4个零点，只需方程SKIPIF1<0恰有3个实根即可，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有SKIPIF1<0个不同交点.因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，如图1，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同交点，不满足题意；当SKIPIF1<0时，如图2，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0个不同交点，满足题意；当SKIPIF1<0时，如图3，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，联立方程得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.典例6.（2015·全国·高考真题（理））设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问题转化为存在唯一的整数SKIPIF1<0使得满足SKIPIF1<0，求导可得出函数SKIPIF1<0的极值，数形结合可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由此可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，函数SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.03构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系【核心提示】熟练掌握常见函数的图象以及函数图象的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．【典例分析】典例7.【多选题】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，则下列不等式中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.【详解】令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在同一坐标系中分别绘出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图像，因为函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为反函数，所以由反函数性质知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC【点睛】关键点睛：对于零点关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0是反函数，故两个交点A、B关于点SKIPIF1<0中心对称.典例8.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知关系式的特征可构造函数SKIPIF1<0，利用导数可求得SKIPIF1<0单调性，并确定SKIPIF1<0的图象，根据SKIPIF1<0，结合图象可确定SKIPIF1<0的大小关系.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0图象如下图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查构造函数比较函数值大小的问题，解题关键是能够根据已知关系式的结构特征，准确构造函数，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，从而利用导数确定函数的单调性和图象来进行求解.典例9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值点，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到SKIPIF1<0所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为单调函数，无极值点，不符合题意，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两个不同零点，且在SKIPIF1<0左右附近是不变号，在SKIPIF1<0左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左右附近都是小于零的.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0成立.故选：D04构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式【核心提示】向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【典例分析】典例10.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，SKIPIF1<0且交AB于点E．SKIPIF1<0且交AC于点F,则SKIPIF1<0的值为____________；SKIPIF1<0的最小值为____________．【答案】1SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求出；将SKIPIF1<0化为关于SKIPIF1<0的关系式即可求出最值.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<0.典例11.（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=23，BC=2，AA1=27，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上动点，AP+PC1【答案】

SKIPIF1<0

47−29##−2+47【解析】【分析】以SKIPIF1<0为轴，将四边形SKIPIF1<0旋转到与四边形ABB1A1同在一个平面内，利用当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、C1三点共线时，可求得AP+PC1的最小值；设BP=t0≤t≤27，则B1P=27−t，利用基本不等式可求得tan∠PAB+∠PC1B1，利用等号成立的条件求出t的值，即可求得【详解】由已知条件知AB=A以SKIPIF1<0为轴，将四边形SKIPIF1<0旋转到与四边形ABB1A1同在一个平面内，连接AC1交SKIPIF1<0于点T，此时SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、C1三点共线距离最小，点T满足使AP+PC1最小，易得AC设BP=t0≤t≤27，则在Rt△ABP中，tan在Rt△B1所以，tan=8令x=47−t，则令f≤2当且仅当x=47−t=8时，即当此时BPB故答案为：SKIPIF1<0；47−29.典例12.（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；(2)若存在实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）作出函数SKIPIF1<0的大致图象，结合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，及函数的单调性知，SKIPIF1<0，再结合函数的解析式化简及基本不等式可证明SKIPIF1<0；（2）分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三种情况分别讨论求解m的取值范围，最后综合讨论结果可得答案.【详解】（1）证明：函数SKIPIF1<0的图象可由SKIPIF1<0的图象向上平移1个单位，然后保留x轴上交点以及其上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图示：由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，（因为SKIPIF1<0，故等号不成立），故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由题意存在实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可知当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾；∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0是减函数知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不合题意，舍去；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0是增函数知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等实根，且这两根均大于1，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴实数m的取值范围是SKIPIF1<0.05构建几何模型研究代数问题【核心提示】1.在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．2.几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.【典例分析】典例13.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用数量积和模长的坐标表示求得SKIPIF1<0点的轨迹即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，或所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如图，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用作图，构造出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，分别求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，比较后，即可判断选项.【详解】如图，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设棱长为2，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最大，最大值是SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0最小，最小值是SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D典例15.（2022·全国·高三专题练习）求方程SKIPIF1<0的实根个数．【答案】2【分析】将方程根的个数转化为函数图象交点个数，利用数形结合求解即可．【详解】方程SKIPIF1<0的实根个数就是函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象的交点的个数，SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0的上半部分，在平面直角坐标系中画出函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象，可知有2个交点，故方程SKIPIF1<0的实根个数为2.06构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题【核心提示】1.在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.2.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．3.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．【典例分析】典例16.（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】判断函数SKIPIF1<0的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和SKIPIF1<0的几何意义即可得到结论.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0的取值区域如下图阴影部分所示：

∴SKIPIF1<0表示直线SKIPIF1<0在过图中阴影部分的点时斜率SKIPIF1<0，即问题转化为直线与阴影区域有交点时，SKIPIF1<0的取值范围，当与半圆相切，SKIPIF1<0取最大值，而此时圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；当交半圆于右端点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0.故选：A.典例17.（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,i为虚数单位,则SKIPIF1<0的最大值是_______．【答案】4【分析】根据复数的几何意义可知:复数z表示以SKIPIF1<0为圆心的半径为1的圆C,而SKIPIF1<0表示圆C上的点到SKIPIF1<0的距离,结合图形即可得SKIPIF1<0的最大值.【详解】解:记SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以复数z表示以SKIPIF1<0为圆心,半径为1的圆C,而SKIPIF1<0,表示圆C上的点到SKIPIF1<0的距离,所以距离最大为圆心到SKIPIF1<0的距离再加上半径,故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为:4典例18.（2023·吉林·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上不同的两个点，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】作出函数SKIPIF1<0的图形，求出过点过原点且与函数SKIPIF1<0的图象相切的直线的方程，以及函数SKIPIF1<0的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：设过原点且与函数SKIPIF1<0的图象相切的直线的方程为SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，所以，切线方程为SKIPIF1<0，将原点坐标代入切线方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结合图形可知，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数SKIPIF1<0的图象相切的直线的方程以及函数SKIPIF1<0的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.07构建方程模型或函数模型，结合其图象研究零点的范围与个数问题【核心提示】讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；fx<gx可转化为函数y＝fx和函数y＝gx图象的位置关系问题.【典例分析】典例19.【多选题】（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知函数，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据函数的图象关于直线对称建立的关系，由图象判断所在区间，逐项判断.【详解】对A，，由的图象向右向上各平移一个单位得到图象，函数的图象关于直线对称，即可知点A，B关于直线对称.，故A不正确；对B，由，故B正确；对C，，等号不成立，，故C正确；对D，由图知，，易知函数在上单调递减，所以，故D不正确.故选：BC.典例20.（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.【答案】【分析】当时直接求解函数零点，当时，转化为与的图象的交点个数求解即可.【详解】解：当时，，解得；当时，得，易得，作出函数，的图象，如图，所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点，所以当时，有两个实数根，所以，函数的零点个数为故答案为：典例21.（2021·北京·高考真题）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2个零点；②存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1个零点；③存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点；④存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正确；对于②，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一个零点，②正确；对于③，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0