2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练14 菱形的性质与判定(拓展篇)

专题1.4菱形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、平面直角坐标系中的菱形问题

1.如图，在平面直角坐标系中、四边形048C为菱形，。为原点，4点坐标为（8,0）,ZAOC

=60°,则对角线交点E的坐标为（）

A.（4,2万）B.（2打，4）C.（2万，6）D.（6,2也）

2.如图，菱形OA8C在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOC=45°,04=2,则点C

的坐标为（）

V

A.（72,1）B.（&,&）C.（1,72）D.（V2+1J）

3.如图1,点尸从菱形A6CD的顶点A；H发，沿Af。fB以lcm/s的速度匀速运动到点

6.图2是点P运动时，AP8C的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数关系图象，则菱形ABCD

的周长为（）

4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,四边形Q43C是菱形,

ZAOC=60°,以08为边作菱形084C，使顶点用在。。的延长线上，再以。片为边作菱形

OB.B2C2,使顶点不在0G的延长线上，再以。打为边作菱形08再。3,使顶点与在0G的

延长线上，按照此规律继续下去，则打。21的坐标是（）

Z/^\2Q2IqlOII

A.（-3,o",O）B.）

22

q2O23qlOII

C.（-（后产1,0）D.

类型二、折叠中的菱形问题

5.如图，在RaABC中，47=90。，/4=30。,48=2,将•BE/沿EF所在直线翻折得到/DEF,

点。为NABC的平分线与边AC的交点，则线段所的长度为（）

A.；B.近C.D.-y/3

2233

6.图，在Rt/XABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=G，点P是斜边A8上一动点，连结

CP,将△8CP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，8点的对称点为夕，连结A9,则在产

点从点A出发向点5运动的整个过程中，线段49长度的最小值为（)

A.1

7.RSABC中，ZC=90°,NB=30。，点。为AB的中点，点E在边8c（包括点8、C）

上，将4BDE沿着直线OE翻折得到^B'DE,设NBOE为a,当a为（）度时，以

点A、CB'、。为顶点的四边形为菱形.

B'

A.60°B.30°C.30。或120。D.45°或60°

8.如图1,点。为菱形A8CO的边5c上一点，将菱形A8CO沿直线AQ翻折，点8的对

应点P落在3c的延长线上.已知动点M从点3出发，在射线8C上以每秒1个单位长度运

动.设点”运动的时间为彳，AAPM的面积为y.图2为），关于x的函数图象，则菱形ABCD

的面积为（）

A.12B.24C.10D.20

类型三、菱形的最值问题

9.如图，在菱形A6c。中，AC与6。相交于点O,A6=4,BD=4后,E为A6的中点,

点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）

A.4B.2石C.2季D.8

10.如图，在平行四边形45C。中，对角线80平分ZA8C,BC=8,ZA8C=45。，在对角

线8。上有一动点P,边8c上有一动点Q,使PQ+PC的值最小，则这个最小值为（）

A.4B.4&C.4百D.8

11.如图,AC是菱形A8CD的对角线，ZA8C=120。.点E,户是AC上的动点，且所=14C,

4

若A£）=2,则OE+质的最小值为（）

A.姮B.痘C.2D.叵

222

12.如图，已知菱形ABCO的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边8C、CO的中点,

P是对角线5。上一点，则PM+PN的最小值是（）

D

A.5B.10C.6D.8

类型四、菱形的旋转问题

13.如图，在AABC中，AC=BC,点£＞、E分别是边AB、AC的中点，将AADE绕点E旋

转180°得△（了£,则四边形AOC尸一定是（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.梯形

14.如图，在平面直角坐标系直刀中，菱形4灰?。的8C边的中点。在坐标原点上，AB=4,

4=60。，A8〃y轴，将菱形ABCD绕原点。逆时针旋转90。，点人的对应点为点4,则

点H的坐标为（)

C.(1,-2^)D.卜3,一6)

15.如图.将菱形ABC。绕点4逆时针旋转Na得到菱形4SC。，/8=/人当AC平分

NH4C时，/a与满足的数量关系是（)

Dr

B.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°

16.如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,

对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是(

A.石-1B.痒2C.25/3-1D.25/3-2

二、填空题

类型一、坐标系下的菱形问题

17.如图，若菱形A8CO的顶点48的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在)，轴上，则点

是______.

BO\Ax

18.如图，在平面直角坐标系中，己知菱形。48c的顶点。、B的坐标分别为(0,0)、(2,

2),若菱形绕点。逆时针旋转135。时，菱形的对角线交点。的坐标为.

19.如图，在平面直角坐标系中，菱形QMC的对角线。8上有P,。两个动点，且PQ=2,

己知点A(2"0),NAOC=60。，当△CPQ周长最小时，点P的坐标为

20.已知：在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点4在x轴的负半轴上，直线)，=・石

x+gG与x轴、轴分别交于8、C两点.四边形A8CO为菱形，连接4C,点、P为&ACD

内一点，且NAPB=60。，点E在线段AP上，点尸在线段8P上，EBF=AE,连接4凡EF,

类型二、折叠中的菱形问题

21.如图，A。是△ABC的高，在A8上取一点E,在AC上取一点F,将△ABC沿过E、F

的直线折叠，使点A与点。重合，给出以下判断：①E尸是AABC的中位线；②△£>£：尸的周

长等于AA8C周长的一半；③若A3=AC,则四边形4E£>尸是菱形；④若NB4C是直角，则

四边形AED尸是矩形；其中正确的是.

A

22.如图，在菱形A8co中，尸为6c边上一点，将△CD尸沿。尸折叠，点C恰好落在C8延

长线上的点E处，连接DE交AB于点G,若BE=3,BF=2,则。尸的长为.

23.如图，在菱形A8CO中，NA=120。，AB=2,点E是边AB上一点、,以力七为对称轴将

△D4E折叠得到AOGE,再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点”，折痕为

E尸且交8c于点F.

(1)NDEF=；

(2)若点E是AB的中点，则。尸的长为

24.如图，在菱形ABC。中，NB=60。，AB=4,E,产分别是边A3,8c上的点，将△匹尸

沿EF折叠，使点3的对应点9落在边AO上，若AE=AB',则C产的长为.

B

类型三、菱形的最值问题

25.如图，菱形ABC。中，对角线AC,8。交于点0,点E,尸分别在对角线AC和边4。

上，连接EF,若人C=4,BD=2,贝lj£)£"'之和的最小值为.

26.如图，在菱形A8co中，A8=5,AC=8,点M,N在AC上，且MN=1,连接BM,

ON,则BM+ON的最小值为.

27.如在菱形48co中，BC=2,ZC=120°,E为A8的中点，P为对角线BO上的任意一

点，则丛+PE的最小值为.

28.如图，在菱形A8C曾中，N月8c=120。，对角线AC、BD交子点、O,BD=4,点、E为

。。的中点，点尸为A4上一点，且4尸=38凡点P为AC上一动点，连接PE、PF,则PF

・产石的最大值为一.

类型四、菱形的旋转问题

29.如图，已知菱形ABCO的边长为2,NA=45。，将菱形A8CO绕点A旋转45。

、、

,得到菱形AAGA，其中BC。的对应点分别是s、cPD,那么点c、G的距离为

30.如图，菱形ABC。，ZBAC=atM是AC、BO的交点，P是线段BM上的动点（不与点

B、M重合），将线段而绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ,点。恰好在CD上，若要使得

PQ=QD,则a的范围为.

31.如图，已知等边三角形A8C绕点8顺时针旋转60。得到E,尸分别为线段AC

和线段8上的动点，且AE=C尸：有以下结论：①四边形。为菱形；②AABE-CBF；

③所为等边三角形；④/CFB=NCGE.其中正确结论有.（填序号）

32.如图，在平面直角坐标系中，。是菱形ABCO对角线BO的中点，AO〃x轴，AD=4,

NA=60。.将菱形ABC。绕点O旋转，使点。落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是

三、解答题

33.如图，在平面直角坐标系中，直线A8的解析式为y=]X+3,它与x轴交于点8,与y

轴交于点4,直线产子与直线交于点C.动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速

度沿射线CO运动，运动时间为/秒.

(I)求△AOC的面积；

(2)设△雨。的面积为S,求S与，的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑶M是直线OC上一点，在平面内是否存在点M使以A,0,M,N为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

34.矩形A8C。中，AD=5,AB=3,将矩形ABC。沿某直线折叠，使点A的对应点H落在线

段8C上，再打开得到折痕£尸.

(1)当H与B重合时(如图1),EF=；

(2)当折痕E尸过点£＞时(如图2),求线段E尸的长；

(3)观察图3和图4,①利用图4,证明四边形AE/V尸是菱形；

②设BA。，当”的取值范围是时，四边形AE4,是菱形.

35.如图，在菱形ABC£＞中，ND4B=60。，点E为A8边上一动点(与点A,B不重合)，

连接CE,将/ACE的两边所在射线CE,C4以点C为中心，顺时针旋转120。，分别交射线

AO于点凡G.

(1)若NACT=a,求NAR7的大小(用含a的式子表示)；

⑵证明4£+AF=>/5CG；

(3)若AB=4,点M为菱形4BCO对角线AC(不含A点)上的任意一点，则的最

小值为.

36.综合与探究

问题情境：

数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的

菱形相似的菱形AMG,把透明的菱形放在上面记作菱形A8CD,它们的锐角顶点A重合,

且NBAD=NEAG,连接8E,DG.

(1)操作发现：

如图I,当边A。在边AE所在的射线上，直接写出BE与06的数量关系：

⑵探究发现：

如图2,将菱形ABCO绕点A按逆时针方向旋转，使点O落在所边上，连接和DG

.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）探究拓广：

如图3,在（2）的条件下，当/胡O=N£4G=90°时，探究并说明线段跖和力G的数量关

系和位置关系.

参考答案

1.D

【分析】

过点上作EFLx轴于点F,由直角三角形的性质求出E尸长和。尸长即可.

解：过点E作破_Lx轴于点尸,

■:四边形OABC为菱形，ZAOC=60°,

，NAOE=g"OC=30。，0B1AC,ZME=60°,

ZAEF=30°

VA(8,0),

.*.AO=S,

・・・AE号AO4X8=4,

••4尸二—AE-2,EF=\lAE2-AF2=V42-22=V12=2V5，

/.OF=JO-AF=8-2=6,

・•・E(6,2V3).

【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30。直角三角形的性质，正确作出辅助线是

解题的关键.

2.B

【分析】

作CDJ_x轴，根据菱形的性质得到OC=OA=2,在心△08中，根据勾股定理求出。。的

值，即可得到。点的坐标.

解：作C£)_Lx轴于点O,

y

贝i」NCDO=90。，

•・•四边形048c是菱形，OA=2,

：.OC=OA=2,

又：Z4OC=45°,

:.ZOCD=90°-ZAOC=90°-45°=45°,

NDOC=/OC3

:.CD=OD,

在阳△OCO中，OC=2,CD2+OD2=OC2

:.2002=002=22=4,

••・0。2=收，

：・0D=CD=O,

则点C的坐标为（夜,也）,

故选：B.

【点拨】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等

腰直角三角形的性质求出也是解决问题的关键.

3.D

【分析】

由图1可知点尸在A。上运动时，APBC的底和高不变，面积不变；在。8上运动时，面积

在减小；故结合图2可知菱形的边长为m高为3,BD=5,进而构建直角三角形，由勾股定

理可得到答案.

解.：由图可知菱形的边长为小BD=5,菱形8。边上的高是3,如图

D

则有O〃=3

，BH=<BD+DH，=4

:.CD=a.CH=4-a

，由C£>2=C〃2+Q〃2有°2=（4-a）2+32

解得4a=B

故选：D.

【点拨】本题考查菱形的性质，解直角三角形；懂得从图中数据提炼图形的边长并构建直角

三角形是解题的关键.

4.A

【分析】

连接AC、BJ,分别交08、03/于点。、利用菱形的性质及勾股定理即可得08的长，

进一步在菱形0B8/G计算出0历，过点3/作3/M_Lx轴于M,利用勾股定理计算出BM

0M,从而得助的坐标，同理可得&,&,B4,Bs,&,历，BQ,BIO,8/2,根据

循环规律可得比⑶的坐标.

解；如图所示，连接入C,PG分别交OB,。马与。、

•・•点4的坐标为（1,0）,

AOA=1,

•・•四边形0ABe是菱形，NAOC=60。，

：,OC=OA=\t08=200,NCOO=30°,N80=90°,

：.CD=-OC=-,

22

•**OD=j+（；>=亭，

OB=A

•・•NAOC=60。,

・•・Zfi/OC/=90°-60°=30°,

•.•四边形OKA/G是菱形,

.•.NCQO=90。，OC\=OB=G磔=2叫,

在R於oCiDj中c"=goq=等

**•OD]=｝厨-(争2=；,

・•・0B[=20D尸3,

过点8/作8/M_Lx轴于点M,

13

在放△。历夕中，OM=-0B[=-

22

.•.B.A/=^32-(1)2=|V3

***»

22

同理可得员（0,3扬,用（弓竽），84（-三,竽），B5（-27,0）,

攀），8,（-3，-苧），&（0,-81扬，

为苧一号乌,B吟，一青旦,昂（729,。）.

o,7296729.

用2（2，^―），

由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形

的边长变成原来的6倍即OBti=（右）用,

72021-12=168......5,

・•・&⑼的纵坐标符号与&的相同，则&⑼在），轴的负半轴上,

又。8谢=（石严2=严

・・・&02/的坐标为（-3叫0）,

故选A

【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理

方法是解题的关键.

5.C

【分析】

连接3。，求证四边形8EO尸是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形

的判定和性质求解即可.

解：如图，连接8。，

VZC=90°,ZA=30°,AB=2,

:.BC=-AB=\ZABC=90°-ZA=60°，

2f

•・•点D为NABC的平分线与边AC的交点，

・•・/ABD=/CBD=LzABC=30°,

2

•・•将48所沿E尸所在直线翻折得到

:・BE=DE,BF=DF,

・・・NEOB=/CBD=30°,ZFDB=ZABD=30°,

：.ZEBD=ZFDB=30°fNEDB=NFBD=300,

：.BE//DF,BF//DE,四边形5££）尸是平行四边形，ZADF=ZC=90°,

又•：BE=DE,

・•・四边形BEDr是菱形，

:,BE=BF=DF=DE,

在R/A4。尸中，

•・•ZA=30°,

*：AF=2DF=2BF,

:.AB=AF+BF=2BF+BF=3BF,

•*BF=—AB=一,

33

又•；BE=BF,ZABC=60°,

••.△8£产是等边二角形.

:,BE=BF=EF=',

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性

质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点.

6.D

【分析】

由题意可知点&在AC上时，线段A9长度最短，故可求解.

解：•・•将ABCP以直线b为对称轴进行轴对称变换，0点的对称点为8',AC.8c长度不

变，故当A、C在三点共线时，符合题意，

即点5'在AC上时，线段A9长度最短，即

•・•在RtZVIBC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=£,

：,AB=2BC=243,

\lAB1—BC~=3，

・•.线段A*长度最短为AC-8C=3-6，

故选D.

【点拨】此题主要考查三角形的长度求解，解题的关键是熟知轴对称变换的特点及含30。的

直角三角形的性质.

7.C

【分析】

分AD为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可

解：・・・RSA8C中，ZC=90°,ZB=30°,点。为48的中点,

AAC=AD=CD=DB,ND4C=60°

“OC是等边三角形

•••折叠

..DZ=DB

①如图，当为菱形的边长时，ACUDB'

•••zmc=60°

ZAZ)B/=120°

.-.ZBDB/=60°,则a=30。

②当AO为菱形的对角线时，此时E与C重合，如图

同理可得/。。6=120。，则a=120°

故选C

【点拨】本题考查了菱形的性质，含30度角的宜角三角形的性质，折您的性质，确定^AOC

是等边三角形是解题的关键.

8.D

【分析】

由图2,可知2A6,SAABP=12,由图1翻折可知，AQA-BP,进而得出人。=4,由勾股定理，

可知8C=AB=5,菱形ABCO的面积为BOA。即可求出.

解：由图2,得BP=6,SMBP=12

：.AQ=4

由翻折可知，AQ±BP

由勾股定理，得BC=AB=442+32=5

・•・菱形ABCD的面积为BCXAQ=5X4=20

故选：D

【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数

图象找HI几何图形中的对应关系是解决本题的关键.

9.C

【分析】

连接OE交AC于点P,连结BR根据菱形的性质推出A。是8。的垂直平分线，推出

PE+PB=PE+PD=OE且值最小，根据勾股定理求出OE的长即可.

解：•・•四边形A8CO是菱形，

AAC1BD,AO=^AC,B0=3BD=26,

*：AB=4f

•*-AO=JAS-BO2=2,

连接。E交AC于点P,连结BP,作EM_L5。于点M,

・・•四边形ABC。是菱形，

：.AC1BD,KDO=BOf即人。是8。的垂直平分线,

:,PD=PB,

:.PE+PB=PE+PD=DE且值最小,

:七是A4的中点，EMVBD.

：.BE=2

：.EM=-A0=\,

2

：•BM7BE?-EM?=石

3

:.DM=BD-BM=580=35

•*-DE=VEA/2+DM2=Jf+（3石）2=2币，

故选c.

【点拨】此题考查了轴对称•最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据题意

确定P点位置从而确定尸E+P3的最小值的情形.

10.B

【分析】

根据平行线的性质得到NADB=NCBD,由角平分线的定义得到NABD=NCBD,得到平

行四边形ABCD是菱形，推出点A,C关于BD对称，过A作AQ_LBC于Q交BD于P,

则PQ+PC最小值=AQ,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,

，NADB=NCBD,

•；BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,

AZABD=ZADB,

AAB=AD,

・•・平行四边形ABCD是菱形，

・••点A,C关于BD对称，

过A作AQXBC于Q交BD于P,

则PQ+PC最小值=AQ,

VZABC=45°,

•••△ABQ是等腰直角三角形，

VAB=BC=8,

.•・AQ=在AB=4日

2

・••这个最小值为4,2，

故选：B.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰

直角三角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键.

11.D

【分析】

如图，作出辅助线，当点G,凡8共线时，DE+3万有最小值，利用题目中的条件，在他AB0G

中，求出60，OG的长度，即可求HIBG的长度，即为的最小值.

解：如图，过点、DG//EF,过点尸作尸G〃OE,DG,FG交于点、G,

B

则四边形DEFG是平行四边形，

：,DG=EF,DE=FG,

当点G,F,B共线时，DE+8厂有最小值.

连接6Q,由菱形的性质可知AC_L8O,

ZOAD=1/BAD=1(180°-^ABC)=30°,

I1c

OD=-AD=\tOA=+OD=6,80=28=2,AC=2』,DG=^AC=^~,

又•・•DG//AC,

，ZBDG=ZB£>C+ZCDG=ZBZ)C+ZACD=60o+30o=90o.

当G,F,B共线时，BG=\BD，+DG?=卜+惇=程,

故。E+8歹的最小值为亚，

2

故选：D.

【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G,凡

8共线时，止+3厂有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键.

12.A

【分析】

作M关于8。的对称点Q,连接M2,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小，连接

AC,求出CP、BP,根据勾股定理求出8。长，证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.

解：作M关于8。的对称点Q,连接N。，交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,

连接其。，则。是AC中点，

•・•四边形4BCO是菱形，

.\AC1BD,/QBP=/MBP,

即。在48上，

VA/G±BD,

：,AC//MQ,

为BC中点,

；・Q为AB中点，

•:N为CD中点、,四边形A8C。是菱形,

：.BQ//CD,BQ=CN,

・•・四边形BQVC是平行四边形，

：.PQ//ADf

而点。是A8的中点，

故尸Q是△人△力的中位线，即点。是的中点，

同理可得，PM是△4BC的中位线，

故点P是AC的中点，

即点尸是菱形ABCO对角线的交点，

•・•四边形A8CO是菱形，

则为直角三角形，

CP=-AC=\BP=-BD=4.

22

在放ABPC中，由勾股定理得：8c=5,

即NQ=5,

:.MP+NP=QP+NP=QN=5.

故选：A.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股

定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出尸的位置.

13.A

【分析】

根据旋转的性质确定4E=CE,DE=EF,进而确定四边形是平行四边形，再根据

等腰三角形三线合•的性质确定乙位）C=90。，进而确定四边形A0CF是矩形.

解:•:AADE绕i点、E旋转180°得芯，

：・AE=CE,DE=EF,

・•・四边形ADCF是平行四边形，

VAC=BC,点。是边AB的中点，

:.NAQC=90°,

，四边形AOCF是矩形.

故选：A.

【点拨】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点

是解题关键.

14.D

【分析】

根据60。的菱形的性质得到。8长，再根据旋转的性质和解直角三角形得到OP,A'P,OP

长，结合图形从而得到点⑷的坐标；

解：如图1，连接。A,・・・NABC=60。，点O为菱形ABC。中BC边的中点，・・・Q4_L8C,

404=90。，・・・/班0=30°,・・.O5=1AB=[X4=2,由旋转的性质可知，OB'=OB=2,

22

在Rt△9OP中，OP=O&sin£=#x2=G，=OB'cosB'=gx2=1,/.

4P=A8'—P8'=4—1=3,J点才的坐标为"，一G),故选D.

【点拨】本题考查了菱形的性质，坐标由图形的性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的

识别图形是解题的关键

15.C

【分析】

根据4c平分NBNC,得到N8AC=NC4C,根据旋转角为Na,得到/848=NCAC=Na,

根据4c平分/BAQ,得至IJ/BAC=ND4C,推出NBAg=NOAC,推出N8AU=/84C=

ZG4C=ZDAC=Za,根据AO〃8C,得到N8+NH4O=180。，推出4Na+/0=180°.

解：・・・AC平分/£4(7,

:.ZB'AC=ZCAC,

•・•菱形ABCD绕点A逆时针旋转Na得到菱形ABC。,

：.ZBAB'=ZCAC=Za,

••・AC平分NBA。，

Z.ZBAC=ZDAC,

：.ZBAB'=ZDACt

・•・ZBAB'=ZB'AC=ZCAC=ZDAC=Na,

,:AD〃BC,

.*.ZS+ZBAD=180°,

/.4Za+Zp=180o.

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质,

旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键.

16.A

【分析】

连接BD交AC于0,根据四边形ABCD是菱形,得至ljAD=CD=AB=2,ZBCD=ZBAD=60°,

ZACD=ZBAC=|ZBAD=30°,OA=OC,AC±BD,求出AC=2万，由旋转得AE=AB=2,

NEAG=NBAC=60。，求出CE=AC-AE=273-2,再证得/CPE=90。，求出PC=QPE=3-G，

根据DP=CD-PC求出数值即可.

解：连接BD交AC于O,

•・•四边形ABCD是菱形，

AAD=CD=AB=2,ZBCD=ZBAD=60°,NACD=NBAC=/NBAD=30°,0A=0C,

AC1BD,

•••△ABD是等边三角形，

.\0B=^AB=l,

AOA=ABcos30°=>/3,

・・・AC=25

由旋转得AE=AB=2,ZEAG=ZBAC=60°,

.,.CE=AC-AE=2V3-2,

•・•四边形AEFG是菱形，

AEF/7AG,

・•・ZCEP=ZEAG=60°

•・,ZCEP+ZACD=90°,

r.ZCPE=90°,

・・・PE=3CE=G-1,PC=73PE=3-X/3,

:.DP=CD-PC=2-(3-75)=^-1,

故选：A.

【点拨】此题考查旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定，直角三角

形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记菱形的性质是解题的关键.

17.10

【分析】

利用菱形的性质以及勾股定理得出。。的长，进而三角形的面积.

解：•・•菱形ABC。的顶点A,8的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在y轴上，

：.AB=3-(-2)=5,AB//CD,AD=CD=AB=5,

即CO〃x轴，

在mZkAO。中，

由勾股定理得：济/="二孕=4

/.S=5x4x—=10

故答案：10.

【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出。。的长是

解题的关键.

18.(-72,0)

【分析】

根据菱形的性质，可得。点坐标，根据旋转的性质，可得。点的坐标.

解：菱形OA8C的顶点O(0,0),B(2,2),得。点坐标为(1,1).

；・OO=庐了=夜，。8与)，轴的正半轴的夹角为45。，

而y轴的正半轴与x轴的负半釉夹角为90°,

・••菱形绕点。逆时针旋转135。时，即线段OD绕点O逆时针旋转135。时，此时0D在

轴的负半轴上，

...菱形的对角线交点力的坐标为(-75,0),

故答案为：

【点拨】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键.

19.(2>/3,2)

【分析】

连接AP、4c交8。于点E,过A点作4O〃PQ,且4APQ,连接收、CD,则当点Q在

线段8上时CQ+CP最短，从而ACPQ周长最小，则易得"_LOA,从而可求得点尸的坐

标.

解：连接AP、AC交BD于点E,过A点作A。〃尸Q,且AQ=PQ,连接OQ、CD,如图

・•・四边形4OQP是平行四边形

：.DQ=APfAD=PQ=2

由菱形的对称性知：AP=CP

：,DQ=CP

当点。在线段8上时，CQ+QQ=CQ+CP最短，从而AbQ周长=CQ+CP+2最小

•・•四边形OA3C是菱形

AOC=OA=2>/3,CE=AE,AC.L8D

*/NAOL60。

•••△O4C是等边三角形

：•AC=OA=2-75

\'AD//PQ

：,AC1AD

由勾股定理得CD=ylAD2+AC2=V42+I22=4

:.ZACD=30Q

'：AP//CD

・•・ZPAC=ZACD=30°

:.ZPAO=ZCAO+ZPAC=90C

即PALOA

■:N4OE=30。

:.OP=2AP

在RSBAO中,由勾股定理得：(2y/3)2+AP2=(2AP)2

解得：AP=2

则点尸的坐标为(26,2)

故答案为：(2百,2)

【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾

股定理，两点间线段最短等知识，解题的关键是掌握过A点作AQ〃P。，且

20.25

【分析】

连接CE、CF.证明ACEF是等边三角形以及AELCR然后利用勾股定理得出答案.

.・哈0）,。（0,竽）,

在RtAOBC中，BC=JOC2+OB2=5^

•••四边形45co是菱形,

AB=BC=5,

:.OA=5--=-=OB,

22

-CO1AB,

AC=BC=5f

AB=BC=AC,

•••AA8C是等边三角形，

AZACB=60°,

•・•ZAPB=60°,

:.ZAPB=ZACB,

.ZPAG+ZAPB=ZAGB=ZCBG+ZACB,

:.ZPAG=ZCBG,

在A4CE和ABCF中，

AE=BF

<NEAC=ZFBC,

AC=BC

.­.MCE=ABCF(SAS),

.CE=CF,ZACE=/BCF,

NECF=ZACF+ZACE=ZACF+NBCF=ZACB=60°,

ACE/是等边三角形，

NCAE=ar,EF=FC,

-.•ZAfE=30°,

:.ZAFC=ZAFE+ZCFE=9(y>,

在RlAACF中，AF2+CF2=AC2=25.

:.AF2+EF2=25.

故答案为：25.

【点拨】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、

勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题.

21.①②③

【分析】

由折叠的性质及垂直的条件可得点£、尸分别是A5、AC的中点，从而可判定①正确；由

中位线定理即可判定②正确；由4B=AC及E、产分别为中点可得A£=4F,由折叠的性质即

可判定③正确；当48与AC不相等时，点。不是8C的中点，则OE与4c不平行，从而四

边形AE£>/不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误.

解：由折叠性质得：AE=DE,AF=DF,EFLAD

:.NEAD=NEDA

*：ADLBC

:・NEQA+NEDB=90°,ZEAD+ZB=90°

:.ZEDB=ZB

:.DE;RE

：.DE=AE

即点E是AB的中点

同理：点产是AC的中点

・・・E尸是8c的中位线

故①正确

•・・所是△4BC的中位线

:.EF=-BC

2

VAE=-AB,AF=-AC

22

:.△AEF的周长为4E+E尸+4/7=L(A8+8C+4C)

2

而乙ABC的周长为AB+BC+AC

•••△AE产的周长等于△A5C周长的一半

故②正确v

•：AB=AC,E、尸分别是A3、AC的中点

：.AE=AF

•:AE=DE,AF=DF

:,AE=DE=DF=AF

即四边形AEDr是菱形

故③正确

当48与AC不相等时，点。不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AED尸

不是平行四边形，故不是矩形

故④错误

故答案为：①®©

【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、

尸分别是中点是解题的关键.

22.2而

【分析】

根据折叠的性质得CF=E凡DF±BC,代入相关数据可得C7三5,807,由菱形的性质得

DC=7.最后根据勾股定理可得。尸的长.

解：由折叠得，CF=EF,DF1BC,

V5E=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

：.CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

•・•四边形ABC。是菱形

：.DC=BC=7

在阳△。尸C中，戊?2=+Cf：Z

；・DF=\lDC2-CF2=Ji2-52=2yf6

故答案为：2瓜

【点拨】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得

到CF=EF,O”J_8c是解答本题的关键.

23.9002.8

【分析】

(1)由折叠得=再根据平角的定义可得结论；

(2)首先证明5、G、。在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可.

解：解由折橙得，/AED=QEG,4BEF=NHEF

・•・ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF

•・•ZAED+ZDEG+ZHEF+^BEF=180°

；・/DEG+^HEF=！x180"=90"

2

即N£>EF=90。

故答案为：90°；

(2)•・•四边形ABC。是菱形

：,AD//BC,DCHAB,AB=BC=CD=DA=2

・•・ZB+Z4=180°

•・•ZA=120°

zrB=180o-ZA=180°-120°=60o

・・•点E为AB的中点,且AE=2

・•・AE=BF=-AB=-x2=\.

22

•・•点A与点G重合，

；・ZDGE=ZA=120°

•・•点8与点〃重合

・•・ZEHF=ZB=60°

又4E=EG,BE=EH,AE=BE

:.EG=EH

.••点G与点〃重合

,/ZDGE+NFHE=/DGE+NFGE=100°+80°=180°

・•・B,G,。三点在同•条直线上

过点。作交8c的延长线于点0,如图，

■:DCHAB

••・NDCO=4=60°,DC=AB=2

AZCZX>=30°

.•・CO=-DC=-x2=l.

22

在R/ADCO中，OD=^DC2-OC2=V22-l2=V5

由折叠得，BF=FH,AD=DH=2

设5尸=%，则FC=2-x

ADF=DF+GF=2+x,FO=FC+CO=2-x+\=3-x

在胁4。回。中，DF2=FO2+DO2

：.(2+x)2=(3-X)2+(X/3)2

解得，x=0.8

・•・DF=2+0.8=2.8

故答案为2.8

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造

直角三角形是解答本题的关键.

24.4-2^##-273+4

【分析】

根据菱形性质和N3=60。，可得BC=AB=4,ADiiBC,NB4£>=120。，过点A作AG_LE/

于点G,AP1BC于点P,过点B'Q_L8C于点。，得矩形然后利用含30度角的

直角三角形可得g(4-4E)=#4E,得4E=26-2,再利用勾股定理即可解决问题.

解：在菱形A6C。中，ZB=60°,BC=AB=4,AD//BC,

.\ZR4D=120°,

如图，过点A作4G_LE9下点G,AP_L8C下点产，过点*Q—BC于点。，

得矩形人尸。夕，如图所示：

PQ=AB',B'Q=AP,

-AE-AB',AG±EB',

:.EG=BG=-EB'ZAEG=30°,

2t

由翻折可知：BE=B'E,BF=B'F,

:.BE=B'E=AB-AE=4-AE,

:.EG=B,G=^（4-AE）

-EG=AEcos300,

解得AE=2>/5-2,

..PQ=ABf=AE=2>/3-2,

在mAABP中，ZB=60°,AB=4,

BP=-AB=2,

2

AP=2y/3,

：.B'Q=AP=26

;.CF=B